Module GLPH311 : Electrostatique et Magnétostatique

Module GLPH311 :
Electrostatique et Magnétostatique
Examen du 10/01/2013
Documents interdits ; calculatrice interdite ; durée : 2h
Rappel :
Partie 1 - électrostatique :
1. Le plan P1 (infini) d’équation en coordonnées cartésiennes x=0 porte une densité
superficielle de charge σ uniforme.
1.a Par analyse des éléments de symétrie montrer qu’il crée un champ électrique de la
forme
x
exEE 
)(
1.b Déterminer la fonction E(x)
2. Le plan P2 d’équation x=-d porte une densité superficielle de charge - σ uniforme.
2.a Déterminer le champ électrique créé par ces deux plans dans tout l’espace.
2.b Calculer la différence de potentiel V=V(0)-V(-d)
3. En réalité, (P1) et (P2) ne sont chargés que sur deux carrés en regard de côté a>>d ; ces
deux carrés portent les charges Q et- Q.
3.a Exprimer la capacité de ce système en fonction de a, d et
o.
3.b Calculer l'énergie du système.
SI104=µo ; SI 109
417-9
0

Partie 2 - magnétostatique :
On considère un cylindre conducteur infini, de rayon Ro. Il est parcouru par un courant
stationnaire circulant dans le sens des z croissants. La densité de courant à un point M à
l’intérieur du cylindre sera notée
)(Mj
.
1. Décrire les éléments de symétrie de cette distribution de courant : plans de symétries et
d'antisymétries, invariances.
1.a En déduire le système de coordonnées le mieux adapté à sa description.
1.b En déduire la direction du champ magnétique
B
crée par cette distribution de courant
en tout point de l'espace. De quelles variables dépend ce champ magnétique ?
1.c Donner le sens du champ magnétique
)(MB
crée par cette distribution de courant en
un point de l'espace extérieur du cylindre.
2. Calculer la valeur de l’intensité I de courant qui parcourt le cylindre.
On donne : Ro=2 cm,
o
R
j
5
10
[A/m²]
2.a Établir l’expression du champ magnétique
)(rB
en fonction de la distance r par
rapport à l'axe du cylindre.
2.b Tracer la variation B(r)
2.c Calculer la valeur du champ B au point M ( r= 50 cm, /3 rad, z= 125 cm).
3. On place à une distance d (d > Ro) du axe du cylindre une charge q>0. Calculer le vecteur
de force
F
qui s’exerce sur cette charge dans les cas suivants :
3.a la charge reste immobilisée dans l’espace.
3.b la charge est mise en mouvement selon l'axe Oz dans la direction de z positif avec une
vitesse vo.
3.c La charge tourne autour du cylindre (mouvement selon un cercle de rayon d) avec une
vitesse linéaire vo.

 Exercice 1 : 10pts
1
Le plan P1 (infini) d’équation en coordonnées cartésiennes x=0 porte une densité
superficielle de charge σ uniforme.
1a
0.5
Tous les plans normaux au P1 sont le plan de symétrie : l'intersection de ces plans
correspond à l'axe Ox.
0.5
La densité s est uniforme dont invariance selon y et z : d’où E=f(x)
1b
1
Théorème de Gauss : définition de la surface de Gauss
1
détails de l'intégration
1
résultat final : E=
2
Le plan P2 d’équation x=-d porte une densité superficielle de charge - σ uniforme
2a
0.5
le champ électrique créé par ces deux plans dans tout l’espace : x  [-d, 0]
0.5
abs(x) >d
2b
1
Calculer la différence de potentiel V=V(0)-V(-d) : formule
1
résultat :
dEdx
do
0
2
En réalité, (P1) et (P2) ne sont chargés que sur deux carrés en regard de côté a>>d
3a
1
Exprimer la capacité de ce système : formule : C=Q/V
1
résultat : C=*a²/d
0.5
Énergie du système : formule : En=CV²/2=QV/2=Q²/2C
0.5
Résultat :
o
da
En
2²²

Exercice 2 : 10 pts
1
Décrire les éléments de symétrie de cette distribution de courant : plans de symétries et
d'antisymétries, invariances.
1
0.5
plans de symétries : tous les plans contenant l'axe 0z
0.5
plans d'antisymétries : tous les plans normaux au Oz
0.5
Invariances : la translation selon Oz; la rotation selon 
1a
0.5
Les coordonnées les mieux adaptées : cylindriques
1b
0.5
la direction du champ magnétique : selon e
0.5
ce champ magnétique dépend de : B=f(r)
1c
0.5
le sens du champ magnétique :
erBB 
)(
2
Calculer la valeur de l’intensité I de courant qui parcourt le cylindre
2
0.5
l’intensité I : formule :
oo
SS
RRjdSjSdjI 52 10 
0.5
l’intensité I : valeur :
kAxI 21023
2a
1
Théorème d'Ampère : définition du contour
0.5
détails de l'intégration
1
résultat final :
o
oo
o
o
couro
Rrpour
r
Rj
Rrpourr
j
r
rj
B  2
2
2
2
2
2b
0.5
Tracer la variation B(r)
2c
0.5
Calculer la valeur du champ B au point M formule : B=µoI/(2r)
2c
0.5
la valeur du champ B au point M : B= µo/ *I/(2r) =4x10-7*2000/1 =8 x10-4= 0.8 mT
3
le vecteur de force
F
qui s’exerce sur la charge :
BvqF 
3a
0.5
la charge reste immobilisée : F=0
3b
0.5
la charge en mouvement selon l'axe Oz :
rzz evBqeevBqeBevqF 
 )(
3c
0.5
La charge tourne autour du cylindre :
0)(  eevBqeBevqF 