concours alpha annales mathematiques et raisonnement logique

Annales 2016
CONCOURS ALPHA
ANNALES MATHEMATIQUES ET RAISONNEMENT LOGIQUE
Durée de l’épreuve
2h00
Candidats de Terminale concernés
STI2D ou STL
Nombre de questions du sujet
60
Nombre de réponses attendues
50
Consignes à lire avant de répondre aux questions
Cette épreuve comporte trois parties indépendantes que vous pouvez traiter dans l’ordre de votre choix :



Partie 1 : 10 questions de raisonnement logique à traiter par tous les candidats ;
Partie 2 : 20 questions du programme de Terminale STI2D ou STL à choisir parmi 30 posées ;
Partie 3 : 20 questions sur la base d’un mini-cours présentant une notion nouvelle, ces 20 questions
sont à traiter par tous les candidats.
Chaque candidat devra répondre correctement à 50 questions pour pouvoir obtenir la note maximale, avec :
 10 questions de la partie 1 ;
 20 questions de la partie 2 ;
 20 questions de la partie 3.
Pour chacune des questions posées, plusieurs réponses vous sont proposées et une seule est exacte. Vous
devrez reporter votre choix sur la grille de réponse qui vous est fournie en début d’épreuve :
-
Toute bonne réponse vous apporte deux points (+2 points) ;
Toute mauvaise réponse vous retire un point (-1 point) ;
Toute non réponse ou annulation de réponse ne vous rapporte et ne vous enlève aucun point (0
point).
L’usage de la calculatrice ou de tout autre moyen de communication est interdit.
Il ne vous sera fourni qu’une seule grille de réponse pour l’épreuve. En cas d’erreur sur votre choix de
réponse, vous pouvez modifier ce dernier selon les consignes présentées en page 2.
Néanmoins, en cas de force majeure, une seconde feuille pourra vous être fournie par un surveillant.
Page 1
Concours Alpha
Epreuve de Mathématiques et Raisonnement Logique
Série STI2D ou STL
Annales 2016
Instructions importantes pour remplir la grille de réponse
Les réponses aux questions doivent être reportées sur la grille de réponse qui vous a été remise en début
d’épreuve. Cette grille sera corrigée automatiquement. Afin que vos résultats puissent être pris en compte,
nous vous demandons de respecter scrupuleusement les consignes ci-dessous :
Identification de votre grille de réponse

Veillez à reporter votre identité dans
l’emplacement réservé à cet effet en haut de la
grille de réponse ;

Collez sur votre grille de réponse le code barre
qui vous a été remis en début de journée selon
le modèle ci-contre. Le code-barres doit être
collé dans le sens vertical.

N’oubliez pas de renseigner l’intitulé de
l’épreuve
en
noircissant
la
case
correspondante au milieu de votre grille de
réponse.

Pour renseigner vos réponses, utilisez un stylo bille ou une pointe de feutre de couleur noire ou
bleue selon la consigne ci-dessous :

Ne pas raturer votre réponse, ne pas tenter de gommer ou d’utiliser d’effaceur sur votre grille de
réponse ;

Ne pas froisser ou plier votre grille de réponse.
Modifier votre réponse

Chaque case de réponse dispose de deux lignes. Vous devez renseigner votre réponse sur la
première ligne de la case. Si vous souhaitez modifier votre réponse, renseignez votre nouveau
choix sur la deuxième ligne de la case comme indiqué sur l’exemple ci-dessous.
Réponse A
Réponse C
Annuler votre réponse ou ne pas répondre


Pour annuler totalement votre réponse à une question (première ligne et deuxième ligne) vous
devez cocher la case « Annul. » qui se situe sous le numéro de la question.
Si vous souhaitez ne pas répondre à une question, il n’est pas nécessaire de cocher de case
Réponse Annulée
Non réponse
Page 2
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Epreuve de Mathématiques et Raisonnement Logique
Série STI2D ou STL
Annales 2016
Partie I Raisonnement logique


Toutes les questions de cette partie sont obligatoires
Toutes les questions de cette partie sont indépendantes
Question 1.
Pierre se déplace à tâtons dans son dressing non éclairé pour récupérer une paire de chaussettes assorties
. Les chaussettes sont mélangées et il y a :
● 8 chaussettes bleues,
● 4 chaussettes rouges,
● 2 chaussettes blanches,
●1 chaussette noire. Combien Pierre doit-il prendre de chaussettes pour être certain d’avoir une paire ass
ortie ?
Question 1
A:4
C:6
B:5
D:7
Question 2. Question annulée
Deux vaisseaux spatiaux distants de 600 000 km convergent l’un vers l’autre, le premier à une vitesse de 5
0 000 km / h, le second à une vitesse de 100 000 km / h. Les deux vaisseaux se renvoient, en ping-pong, un
signal qui se déplace à 300 000 km / h.
Quelle distance aura parcouru ce signal lorsque les deux vaisseaux se rencontreront ?
Question 2
A : 800 000 km
C : 1 200 000 km
B : 1 000 000 km
D : 1 400 000 km
Question 3.
Pour récompenser le sage Sissa de sa formidable invention, le jeu d’échecs, le roi Belkib lui propose de cho
isir sa récompense. Sissa dépose quelques grains de riz sur la première case du damier et demande au sou
verain de doubler le nombre de grains sur la seconde case, puis encore sur la troisième, et ainsi de suite
jusqu’à la 64ème, ce que Belkib accepte un peu trop vite.
En effet, avec 1020grains de riz, Belkib vient de prendre l’engagement de livrer l’intégralité de la productio
n de riz du royaume sur plusieurs générations.
Combien Sissa a-t-il déposé de grains sur la première case de l’échiquier ?
Question 3
A:2
C : 24
B:6
D : 120
Question 4.
Alain possède un jardin d’une surface rectangulaire de 221 m2
et d’un périmètre de 60 m. Quelle est la différence entre le grand et le petit côté du jardin ?
Question 4
A:2m
C:4m
B:3m
D:5m
Question 5.
Au moment où le peloton atteint la ligne d’arrivée, une mouche s’envole du guidon du cycliste de queue de
peloton vers celui du cycliste de tête. A peine a-t-elle atteint sa destination qu’elle repart dans la direction
opposée pour se poser sur le guidon du cycliste dont elle était partie. Elle l’atteint à l’instant même où ce c
ycliste passe à son tour la ligne d’arrivée. La longueur du peloton est constante et égale à 20 m. Les vitesse
s du peloton et de la mouche sont également constantes.
Quelle distance, au mètre entier le plus proche, la mouche a-t-elle parcourue en vol ?
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Epreuve de Mathématiques et Raisonnement Logique
Série STI2D ou STL
Question 5
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A : 12 m
C : 16 m
B : 14 m
D : 18 m
Question 6.
Au Sushi Express on ne chôme pas. Les formules proposées sont :
● Formule A : 4 sushis, 4 makis, 4 sashimis.
● Formule B : 8 sushis, 4 makis.
● Formule C : 6 makis, 6 sashimis.
●Formule D : 12 sashimis. Ce midi, on a servi 200 sushis, 290 makis, et 350 sashimis. Le nombre d’unités
vendues entre la formule la plus vendue et la formule la moins vendue ne dépasse pas 15.
Combien de formules B et C, en tout, ont été vendues ?
Question 6
A : 30
C : 40
B : 35
D : 45
Question 7.
Alexandre ramène deux factures : “c’est marrant, les deux totaux sont de 222,22 €, il y a trois articles dans
les deux cas, et les six articles ont des prix différents”. Nicolas regarde et commente : “C’est une coïnciden
ce ! D’ailleurs, il y a plus drôle encore : pour chacun des six articles, le montant dans la colonne des euros
est exactement le carré de celui de la colonne des cents”.
Combien de fois le chiffre 1 apparaît-il dans les prix des six articles ?
Question 7
A : 10
C : 12
B : 11
D : 13
Question 8.
Si l’on forme un cercle avec 7 jetons numérotés de 1 à 7 puis qu’on élimine, en partant du second, un jeton
sur deux parmi ceux qui restent, on éliminera dans cet ordre 2, 4, 6, 1, 5, 3, 7.
Le jeton 7 sera donc le dernier éliminé.
Quel sera le dernier jeton éliminé en effectuant la même opération sur un cercle composé de 2017 jetons
numérotés de 1 à 2017 ?
Question 8
A : 1987
C : 2007
B : 1997
D : 2017
Question 9.
- Jean à Paul au bureau : jolie photo de toi et Nath, mais qui est l’autre homme ?
- Paul : c’est mon fils Robin !
- Jean examinant la photo de plus près : tu as dû commencer jeune !
- Paul : le cube de l’âge de Nath est la différence entre les carrés de l’âge de Robin et du mien, alors
comme tu vois, il n’est pas si vieux^^
- Jean : ...
- Paul : le rapport de mon âge à celui de Rob, est le même celui du sien à celui de Nath.
Quelle est la somme des chiffres de la somme des âges de Paul, Robin et Nathalie ?
Question 9
A:8
C : 12
B : 10
D : 14
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Epreuve de Mathématiques et Raisonnement Logique
Série STI2D ou STL
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Question 10.
Barbe Rousse vient de mettre la main sur un coffre rempli d’écus.
Chaque écu pèse environ 4g et la masse totale du coffre plein est de 250 kg.
Le coffre seul représente entre 2,5 et 5 % de cette masse. Barbe Rousse range alors les écus par piles de 5,
et il lui en reste en 1. Il les range ensuite par piles de 7, et il lui en reste alors 2, puis 3 en les rangeant par
piles de 11, et enfin 4 en les rangeant par piles de 13.
Quelle est la somme des chiffres du nombre d’écus contenus dans le coffre ?
Question 10
A : 25
C : 27
B : 26
D : 28
Partie II : questions du programme de Terminale STI2D ou STL



Cette partie comporte 30 questions du programme obligatoire de Mathématiques de Terminale
STI2D ou STL. Vous devez répondre à 20 questions parmi les 30 proposées.
Si vous répondez à plus de 20 questions, seules les 20 premières réponses seront prises en
compte.
Toutes les questions de cette partie sont indépendantes.
Question 11
L'équation différentielle y – 3 y ' = 4 vérifiant la condition initiale y(0) = 9
a pour solution :
A : y = 5 e 3x + 4
B : y = 5 e - 3x + 4
𝑥
𝑥
D : y = 5 𝑒 − 3+ 4
C : y = 5 𝑒3 + 4
Question 12
Question 13
Question 14
L'équation différentielle y" + 25 y = 0 vérifiant les conditions
𝑦ሺ𝜋ሻ= – 3 et 𝑦′ሺ𝜋ሻ= 10 a pour solution :
A : y = 3 cos 5t – 2 sin 5t
B : y = 2 cos 5t – 3 sin 5t
C : y = 3 cos 25t + 2sin 25t
D : y = 3 cos 5t + 2sin 5t
A:
1+cos 2𝑎
2
Pour tout réel a , cos 2 a = :
1−cos 2𝑎
1+sin 2𝑎
B:
C:
2
D:
2
1−sin 2𝑎
2
Dans l'intervalle [ 0 ; 2 𝜋 ] , l'équation 2 sin 3x = 1 possède :
A : aucune solution
B : 2 solutions
C : 6 solutions
D : une infinité de solutions
Laquelle de ces égalités est exacte ?
Question 15
𝜋
𝜋
1
B : cos 2 ቀ 8 ቁ – sin 2 ቀ 8 ቁ =
𝜋
𝜋
𝜋
1
D : cos 2 ቀ 8 ቁ + sin 2 ቀ 8 ቁ =
A : cos ቀ8 ቁ – sin 2 ቀ8 ቁ = 2
2
𝜋
C : cos 2 ቀ 8 ቁ + sin 2 ቀ 8 ቁ = 2
1+𝑖
Question 16
1−𝑖
A:0
Question 17
B:1
𝜋
−
1−𝑖
1+𝑖
𝜋
=
C:i
D:2i
L'équation z 2 – 4 z + 29 = 0 a pour solutions dans ℂ :
A : 𝒮 = {2 – 5 i ; – 2 + 5 i }
B : 𝒮 = {2 – 5 i ; 2 + 5 i }
C:𝒮= {–3;7}
D:𝒮= ∅
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ξ2
2
ξ2
2
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Epreuve de Mathématiques et Raisonnement Logique
Série STI2D ou STL
Question 18
B : ξ6
A:0
Annales 2016
|3–3i|= :
C : 2 ξ3
D : 3ξ2
Lequel de ces quatre nombres est un réel négatif ?
𝜋 4
Question 19
𝜋 3
A : ቀ1 − 𝑒 −𝑖 2 ቁ
B : ቀ1 + 𝑒 −𝑖 2 ቁ
𝜋 2
𝜋 4
C : ቀ1 − 𝑒 𝑖 2 ቁ
Question 20
D : ቀ1 − 𝑒 𝑖 4 ቁ
La forme exponentielle de Z =
7𝑖𝜋
A : Z = 5 𝑒 12
𝑖𝜋
B: Z = 5 𝑒 12
5+5𝑖ξ3
1−𝑖
7𝑖𝜋
C : Z = 5 ξ2 𝑒 12
est
:
D : Z = 5 ξ2 𝑒
11𝑖𝜋
12
Question 21
La somme des 100 premiers entiers naturels est égale à :
A : 50 × 101
B : 50 × 99
C : 49 × 101
D : 49 × 99
Question 22
On considère une suite (u n) de premier terme u 0 = 3
Quelle relation de récurrence la suite (u n) doit-elle vérifier pour être géométrique ?
A : un+1 – un = 2
B : un+1 – un = 2 un
C : un+1 – un = 2 n
D : un+1 – un = un + 2
Question 23
La suite (u n) définie pour tout entier naturel n par u n = 3 n – (– 1) n est :
A : croissante
B : décroissante
C : constante
D : ni croissante ni décroissante
Question 24
La suite (u n) définie pour tout entier naturel n par u n = n e – n est :
A : majorée et non minorée
B : minorée et non majorée
C : bornée
D : ni majorée ni minorée
Question 25
Question 26
𝑢0 = 7
On considère la suite (un) définie par : ൜
𝑢𝑛+1 = 0,5𝑢𝑛 + 3 pour tout 𝑛 ∈ ℕ
On admet que la suite (un) décroît vers 6 . Quel est le rôle de l'algorithme suivant :
Variables
: n un entier naturel
u un réel
Initialisation : n prend la valeur 0
u prend la valeur 7
Traitement
: Tant que u ≥ 6,1
Affecter à n la valeur n + 1
Affecter à u la valeur 0,5 u + 3
Fin Tant que
Sortie
: Afficher n
A : il affiche le premier terme de la suite strictement inférieur à 6,1
B : il affiche le rang du premier terme de la suite strictement inférieur à 6,1
C : il affiche le rang du dernier terme de la suite supérieur ou égal à 6,1
D : il affiche le dernier terme de la suite supérieur ou égal à 6,1
Dans ℝ, l'équation e 2x – 3 e x – 40 = 0 a pour ensemble solution :
A:𝒮={–5;8}
B : 𝒮 = { e –5 ; e 8 }
C : 𝒮 = { – ln5 ; ln8 }
D : 𝒮 = { ln8 }
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Epreuve de Mathématiques et Raisonnement Logique
Série STI2D ou STL
Question 27
Question 28
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Soit f la fonction définie sur ℝ par f ( x ) = x 2 e 1 – x
La dérivée de f est définie par :
A: f '( x ) = ( x 2 – 2 x) e 1 – x
B : f '( x ) = (2 x – x 2 ) e 1 – x
C : f '( x ) = ( x 2 + 2 x) e 1 – x
D : f '( x ) = ( 2 x 2 –x) e 1 – x
L' inéquation x e 1 - x ≤ 0 a pour ensemble solution :
A:𝒮=]– ∞ ;0]
B: 𝒮=]– ∞ ;0[
C:𝒮=]0 ;+ ∞[
D:𝒮=[0 ;+ ∞[
1
Question 29
Question 30
L'intégrale ‫׬‬0 𝑥 𝑒 𝑥
A : e2 – e
B:
𝑒2− 𝑒
2+ 1
C:
2
dx =
𝑒2
D : 𝑒2 −
−𝑒
2
𝑒
2
Soit f la fonction définie sur ] 0 ; + ∞ [ par f (x) = 1 + x ln x
La dérivée de f est la fonction f ' définie sur ] 0 ; + ∞ [ par :
1
1
A : f ' (x) = 1 +
B : f ' (x) =
𝑥
C : f ' (x) =
𝑥
1+𝑥+𝑥ln𝑥
D : f ' (x) = 1 + ln x
𝑥
1
Question 31
4 ln ξ8 + ln 16 – 2ln 64 – 2 ln =
4
A : – 10 ln 2
B : – 4 ln 2
C : 2 ln 2
L'équation
1
ln ቀ𝑥 + ቁ = 1 – ln x a pour ensemble solution
𝑥
A : 𝒮 = ൛ξ𝑒 − 1 ൟ
C : 𝒮 = ൛ξ𝑒 + 1 ൟ
Question 32
Question 34
A : 𝒮 =∅
B:𝒮=ቃ
B : 𝒮 = ൛− ξ𝑒 − 1 ; ξ𝑒 − 1 ൟ
D : 𝒮 =∅
ln ξ𝑥 > – 1 a pour ensemble solution :
L'équation
Question 33
1
𝑒2
; + ∞ቂ
C: 𝒮=൨
1
ඥ𝑒 ⬚
D: 𝒮=ℝ
6
Une entreprise fabrique des lunettes de soleil.
3% des lunettes ont un défaut de monture.
Parmi les lunettes ayant un défaut de monture, 1% ont aussi un défaut de verres.
Parmi les lunettes n'ayant pas de défaut de monture, 2% ont un défaut de verres .
Un client achète une paire de lunettes ; quelle est la probabilité qu'elle n'ait aucun défaut ?
0,97
0,03 ×0,97
A:
B:
0,98
0,98
C : 0,97 ×0,98
Question 36
; + ∞൤
Un joueur mise 2 € puis lance deux fois de suite un dé équilibré à 6 faces.
S'il obtient deux numéros pairs, il gagne 5€ ; s'il obtient 2 numéros impairs, il gagne 3€ . S'il
obtient un numéro pair et un numéro impair, il lance une pièce de monnaie truquée qui a 2
fois plus de chance de tomber sur Pile que sur Face ; s'il obtient face il gagne 1 € sinon le jeu
s'arrête et il ne gagne rien.
On appelle X le gain algébrique du joueur. Quelle est l'espérance mathématique de X?
1
13
A: 0
B:
C:2
D:
6
Question 35
D : 4 ln 2
D :0,03 × 0,01 + 0,97 ×0,98
On choisit un nombre au hasard entre − 10 et 20.
On appelle X la variable aléatoire égale au nombre choisi.
Alors p ( X 2 ≤ 16 ) =
4
7
8
13
A:
B:
C:
D:
15
15
Page 7
15
15
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Epreuve de Mathématiques et Raisonnement Logique
Série STI2D ou STL
Annales 2016
Question 37
La durée de vie d'une montre connectée, exprimée en mois ,est une variable aléatoire qui suit
1
une loi exponentielle de paramètre .
30
Quelle est la probabilité que cette montre fonctionne encore 2 ans après sa fabrication ?
A : e – 0,8
B : 1 – e -0,8
C : 1 – e-2
D : e-2
Question 38
Sur quel intervalle I la fonction f définie par f (x) = 𝑒 − 2 définit elle une densité de
probabilité ?
A : I = [ 0 ; ln3]
B : I = ሾ0 ; ln2ሿ
ሾ0
C : I = ; 2ln2ሿ
D : I = [ 0 ; 2ln3]
Question 39
Une entreprise fabrique des dosettes de café . La masse d'une dosette , exprimée en grammes
, est une variable aléatoire X qui suit une loi normale de paramètres m = 5 et 𝜎 = 0,25 . Une
dosette est commercialisable si elle pèse au moins 4,5 grammes.
La probabilité qu'une dosette de café soit commercialisable est environ égale à :
A: 0 , 84
B : 0,95 C : 0 , 975
D : 0,997
𝑥
Dans une région française en 2014 , la proportion de consommateurs
de produits bio était égale à 0,38 .
Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence de consommateurs
de produits bio dans un échantillon de 900 personnes est :
Question 40
A : ቂ0,38 − 1,96 ×
B : ቂ0,38 −
C : ቂ0,38 −
1
ξ0,38 ×0,62
900
1
; 0,38 +
30
ξ0,38 ×0,62
30
D: ቂ0,38 − 1,96 ×
30
; 0,38 + 1,96 ×
ξ0,38 ×0,62
ቃ
900
ቃ
; 0,38 +
ξ0,38 ×0,62
30
ξ0,38 ×0,62
ቃ
30
; 0,38 + 1,96 ×
ξ0,38 ×0,62
ቃ
30
Partie III : Nouvelle notion
Mini-cours : Fonction de classe C n
La continuité et la dérivabilité sont des notions étudiées au lycée et plusieurs applications en découlent
dans plusieurs domaines. Nous introduisons dans ce cours les fonctions de classe
C n qui sont utilisées
(en particulier) dans la recherche des formes aérodynamiques.
I. Rappels sur la continuité et la dérivabilité d’une fonction numérique
1.
2.
Continuité
Définitions.
Soient I un intervalle ouvert de IR et f : I  IR une fonction définie sur I .
-
Soit a  I , on dit que f est continue en a si lim f ( x)  f (a)
-
On dit que f est continue sur I si f est continue en tout point de I .
xa
Dérivabilité
Définitions.
Soient I un intervalle ouvert de IR et f : I  IR une fonction définie sur I .
Page 8
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-
Annales 2016
Soit a  I , on dit que f est dérivable en a si la fonction x 
limite finie en a on note alors f ' (a)  lim
x a
-
f ( x)  f ( a )
admet une
xa
f ( x)  f (a)
xa
On dit que f est dérivable sur I si f est dérivable en tout point de I , on définit alors la
fonction dérivée de f , notée f ' par :
f ': I  IR
x  f ' ( x)
Exemples
1) Soit
f : IR  IR
f (0)  l
définie par :
et pour
x  IR, x  0, f ( x) 
sin( x)
où l  IR .
x
sin( x)
 1 donc f est continue en 0 si lim f ( x)  f (0) c’est-à-dire 1  l
x 0
x 0
x
lim f ( x)  lim
x 0
Conclusion :
2) Soit
f
est continue en
f : IR  IR
0
si l  1
définie par : pour tout
x  IR, f ( x)  x 2 ,
f est dérivable sur IR et f ': IR  IR est définie par : pour tout x  IR, f ' ( x)  2 x ,
définie par : pour tout
x  IR, f ( x)  sin( x)
alors f est dérivable sur IR et pour tout
x  IR, f ' ( x)  cos( x)
3) Soit
f : IR  IR
Proposition
Si f est dérivable en
a
alors f est continue en
a,
La réciproque est fausse, c'est-à-dire :
f est continue en a n’implique pas que f est dérivable en a .
Exemple
Considérons la fonction f : IR  IR définie par : pour tout x  IR ,
On a f est continue en 0 car lim f ( x)  lim x  0  f (0)
x 0
x 0
mais f n’est pas dérivable en 0 car
pour tout x  0
donc lim
x 0
f ( x)  f (0) x  1 si x  0
 
x0
x  1 si x  0
f ( x)  f (0)
n’existe pas, d’où f n’est pas dérivable en 0 .
x0
Page 9
f ( x)  x
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Série STI2D ou STL
Conclusion : f est continue en
a
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n’implique pas que f est dérivable en
a
II. Opérations sur les dérivées
Théorème. Soit I un intervalle ouvert de IR
f  g, f g ,
1) Si f : I  IR et g : I  IR sont dérivables sur I alors
f
( si g ne s’annule pas sur I ) , f
g
I ),
n
( pour n  IN ),
*
1
( si f ne s’annule pas sur
f
 f (pour   IR ) sont dérivables sur I
et
1
 f' f
f ' g  g' f
( f  g )'  f ' g ' , ( f g )'  f ' g  g ' f , ( )'  2 , ( )' 
, ( f n )'  nf ' f n 1 , ( f ) '   f '
2
f
f
g
g
2) Si f : I  IR est dérivable sur I , g : J  IR est dérivable sur
J telles que pour tout
x  I , f ( x)  J alors x  ( g  f ) ( x)  g ( f ( x)) est dérivable sur I et ( g  f )'  f '( g ' f )
c'est-à-dire pour tout x  I , ( g  f ) ' ( x)  f ' ( x)  g '  f ( x)  .
Exemple : Soit u : IR  IR la fonction définie par : pour tout
x  IR, u( x)  sin( x 2 )
u est dérivable sur IR et d’après le théorème de composition de fonctions dérivables on a : pour tout
x  IR , u ' ( x)  2 x cos( x 2 ) car u ( x)  ( g  f )( x) où g ( x)  sin( x) et f ( x )  x 2
Dérivées successives :

Définition. Soit f : I  IR une fonction définie sur un intervalle ouvert I de IR .
On dit que f est deux fois dérivable sur I lorsque f est dérivable sur I et f ' est dérivable sur I .
On appelle alors la dérivée seconde de f la fonction notée f
n  IN * , on définit de même la notion de fonction n
(n )
( n)
ième
dérivée n
est notée f
et f
  f ( n1) ' ,
Pour
avec la convention
f
(0)
( 2)
 f '' ( f ') '
fois dérivable. Pour une telle fonction, sa
 f ,
Exemples
x  IR, f ( x)  x 2
1) Soit f : IR  IR la fonction définie par : pour tout
Alors
f
est dérivable sur IR et pour tout
Idem
f ' est dérivable sur IR
Idem
f
(2)
et pour tout
x  IR , f ' ( x)  2 x
x  IR , f
est dérivable sur IR et pour tout
Idem pour tout
n  IN * , n  3 , f
(n )
( 2)
x  IR , f
( x)  2
( 3)
( x)  0
est dérivable sur IR et pour tout
Page 10
x  IR , f
( n)
( x)  0
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Epreuve de Mathématiques et Raisonnement Logique
Série STI2D ou STL
f est dérivable sur IR et pour tout x  IR , on a :
2) Soit f : x  sin x ,
f ' ( x)  cos x  sin( x 

2
) , de plus pour n  IN , on montre par récurrence sur n , que f est n fois
dérivable sur IR et pour tout
3) Soit   IR et
Annales 2016

x  IR , f ( n ) ( x)  sin( x  n )
2
*
f : x  e x f est dérivable sur IR , pour tout n IN et pour tout
x  IR, f ( n) ( x)   n e x

Fonction de classe
Cn
Définition
Soient f : I  IR une fonction définie sur un intervalle ouvert I de IR et n  IN . On dit que f est
 f est n fois dérivable sur I

de classe C sur I lorsque et
 f ( n ) est continue sur I

n
1
D’où f est de classe C sur I signifie que f est dérivable I et f ' est continue sur I .
2
Idem f est de classe C sur I signifie que f est
2 fois
dérivable I et f
(2)
est continue sur I
Remarques et exemples
0
1) f est de classe C sur I signifie que f est continue sur I ;
2) la fonction x  x est de classe C sur IR mais elle n’est pas de classe C sur IR
0
1
3) Pour   IR , la fonction constante x   est de classe C sur IR .
2
4) Pour n  IN , si f est de classe C sur I alors f est de classe C
*
n
2
n1
sur I .
1
En particulier, si f est de classe C sur I alors f est de classe C sur I .
5) Soit f la fonction définie sur IR par : f (0)  0 et si
1
x
x  0 f ( x)  x 2 sin( )
1
On a f est dérivable sur IR mais elle n’est pas de classe C sur IR car :
f est dérivable en tout point de IR* (somme, produit et composée e fonctions dérivables en tout point de
1
1
IR* et pour tout x  IR* , f ' ( x)  2 x sin( )  cos( )
x
x
De plus lim
x 0
1
f ( x)  f (0)
1
 lim x sin( )  0 car pour tout x  IR* , 0  x sin( )  x
x

0
x
x0
x
Page 11
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Série STI2D ou STL
d’où f est dérivable en
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0 et f ' (0)  0
Donc f est dérivable sur IR et on a :
1
x
1
x
f ' (0)  0 et pour tout x  IR* , f ' ( x)  2 x sin( )  cos( )
Mais f ' n’est pas continue sur IR car elle n’est pas continue en
1
x
1
x
1
x
0.
1
x
En effet lim 2 x sin( )  cos( )  f ' (0) car lim 2 x sin( )  cos( ) n’existe pas puisque
x 0
x 0
1
1
lim 2 x sin( )  0 et lim cos( ) n’existe pas
x 0
x 0
x
x
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Epreuve de Mathématiques et Raisonnement Logique
Série STI2D ou STL
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Questions




Les 20 questions sont à traiter par tous les candidats.
Les exercices sont indépendants.
Chaque exercice est composé d’une ou de plusieurs questions.
Pour chacune des questions posées, plusieurs réponses vous sont proposées et une seule est
exacte.
Exercice 1. On considère la fonction f définie par :
f (1)  l et si x  IR, x  1 , f ( x) 
x 2 1
où l  IR
x 1
Question 41
f est continue en 1 si
A:
l 1
B:
l 0
C:
l2
D:
l  2
Exercice 2. On considère la fonction f définie par :
f ( x) 
f (0)  l et si x  IR* ,
3 sin(2 x)
où l  IR
2x
Question 42
f est continue en 0 si
A:
l 1
B:
l 0
C:
l
3
2
D:
l 3
Exercice 3. On considère la fonction f définie par :
f (0)  l et si x  IR ,
*
ex 1
où l  IR
f ( x) 
x
Question 43
f est continue sur IR si
A:
l e
B:
l 0
C:
l 1
D : l  Ln(2)
Exercice 4. On considère la fonction f définie par :
f (0)  0 et si x  IR* ,
Question 44
A : f est dérivable en
0 et f ' (0)  0
B : lim f ( x) n’existe pas
x 0
0
D : f est dérivable en 0 et f ' (0)  1
C : f est continue en
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1
f ( x)  x cos( )
x
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Question 45
A : f n’est pas dérivable en
B : lim
x 0
f ( x)
1
x
C : f n’est pas continue en
D : lim
x 0
0
0
f ( x)
0
x
Exercice 5. On considère la fonction f définie par :
f (0)  0 et si x  IR* ,
1
f ( x)  x 2 sin( )
x
Question 46
A : f est dérivable sur IR
B : f est
2 fois dérivable sur IR
1
C : f est de classe C sur IR
2
D : f est de classe C sur IR
Exercice 6. On considère les fonctions f et g définies par :
Pour tout
x  IR ,
f ( x )  x 2 et g ( x)  x
Question 47
A : f  g est dérivable en
0
B : f  g est de classe C sur IR
1
1
C : g est de classe C sur IR
1
D : f est de classe C sur IR
Question 48
A : f g n’est pas dérivable en
0
B : f g est de classe C sur IR
1
C : f g n’est pas de classe C sur IR
1
2
D : g n’est pas de classe C sur IR
1
Question 49
A : f  g n’est pas dérivable en
0
B : f  g est de classe C sur IR
1
C : f  g n’est pas de classe C sur IR
1
D : g  g est de classe C sur IR
1
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Exercice 7. On considère la fonction f définie par :
Pour tout
x  IR ,
f ( x)  x  1  x
Question 50
A : f est dérivable en
0
B : f est dérivable en 1
1
C: f
est de classe C sur IR
D: f
est de classe C sur IR
0
Exercice 8. Soit I un intervalle ouvert de IR .
1
1
Si f n’est pas de classe C sur I et g n’est pas de classe C sur I alors on a :
Question 51
A : ( f  g ) n’est pas de classe C sur I
1
B : f n’est pas dérivable sur I
C : f est dérivable sur I et f ' n’est pas continue sur I
1
D : 2 f n’est pas de classe C sur I
Exercice 9.
1
1
Si f est de classe C sur IR et g n’est pas de classe C sur IR , alors on a :
Question 52
A : ( f  g ) n’est pas de classe C sur IR .
1
B : ( g  g ) est de classe C sur IR .
1
1
C : ( f g ) n’est pas de classe C sur IR .
D : ( f  f ) est de classe C sur IR .
1
Exercice 10.
1
Soient f et g deux fonctions de classe C sur IR on a :
Question 53
A : ( f g ) est de classe C
2
sur IR
B : ( f g ) est 2 fois dérivable sur IR
1
C : ( f g ) ' est de classe C sur IR
1
D : ( f g ) est de classe C sur IR
Exercice 11. Soit I un intervalle ouvert de IR .
Soient f et g deux fonctions définies sur I telles que pour tout x  I , g ( x)  e f ( x )
Question 54
f
B : Si f
C : Si f
D : Si f
A : Si
est dérivable sur I alors pour tout x  I , g ' ( x)  e f ( x )
est dérivable sur I alors pour tout x  I , g ' ( x)  e f ' ( x )
est dérivable sur I alors pour tout x  I , g ' ( x)  f ' ( x) e f ( x )
est dérivable sur I alors pour tout x  I , g ' ( x)  f ( x) e f ' ( x )
Page 15
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Question 55
f est de classe C 2 sur I alors g n’est pas de classe C 2 sur I
2
B : Si f est de classe C sur I alors pour tout x  I , g ' ' ( x)  f ' ' ( x) e f ' ( x )
2
1
C : Si f est de classe C sur I alors g est de classe C sur I
A : Si
D : Si
f est de classe C 1 sur I alors g est de classe C 2 sur I
Exercice 12.
Soient I un intervalle ouvert de IR et f une fonction numérique définie sur I .
Question 56
2
A : Si f est une fonction de classe C sur I alors f " est une fonction de classe C
2
sur I
2
2
B : Si f est une fonction de classe C sur I alors f ' est une fonction de classe C sur
I
2
1
C : Si f est une fonction de classe C sur I alors f ' est une fonction de classe C sur
I
2
D : Si f est une fonction de classe C sur I alors f
3
est une fonction de classe C sur
I
Question 57
A : Si f est 2 fois dérivable sur I alors f
(2)
est dérivable sur I .
1
B : Si f est 2 fois dérivable sur I alors f ' est de classe C sur I .
2
C : Si f est 2 fois dérivable sur I alors f
est de classe C sur I .
D : Si f est 2 fois dérivable sur I alors f
est de classe C sur I .
f définie par :
f ( x)  Ln (1  x) on a :
Exercice 13. On considère la fonction
Pour tout x     ,1  ,
Question 58
1
(1  x) 4
4
B : Pour tout x     ,1  , f ( 4 ) ( x) 
(1  x) 4
6
C : Pour tout x     ,1  , f ( 4 ) ( x) 
(1  x) 4
6
( 4)
D : Pour tout x     ,1  , f ( x) 
(1  x) 4


A : Pour tout x    ,1 , f
( 4)
( x) 
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1
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Exercice 14. Si f est la fonction définie par : pour tout
Alors pour tout
Question 59
Annales 2016
x  IR , f ( x)  x e  x
n  IN , on a :
x  IR , f ( n) ( x)  x  ne x
( n)
x
B : Pour tout x  IR , f ( x)  x  n e
( n)
n x
C : Pour tout x  IR , f ( x)  x  n (1) e
( n)
n x
D : Pour tout x  IR , f ( x)  x  n (1) e
A : Pour tout
Exercice 15. On considère la fonction
f (0)  0
f
définie par :
et si
x  IR* ,
1
f ( x)  x3 sin( )
x
Question 60
A : f n’est pas dérivable sur IR
f est 2 fois dérivable en 0
1
C : f est de classe C sur IR
2
D : f est de classe C sur IR
B:
FIN DE L’EPREUVE
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