La loi des sinus CST, Essc-2012 - 1

La loi des sinus
CST,
Contenu du cours
Lorsque nous travaillons avec un triangle quelconque, les mesures des côtés sont
proportionnelles aux sinus des angles à ces côtés.
Démonstration
Avec une hauteur à partir de C
h
h
et sin B =
b
a
h = b*sin A et h = a*sin B
sin A =
Par comparaison
b*sin A = a*sin B
b
a


sin B sin A
Avec une hauteur à partir de B, on trouverait
a
c

sin A sin C
sin A sin B sin C
a
b
c


ou


a
b
c
sin A sin B sin C
On utilise la loi des sinus dans deux situations précises :
 Lorsque l’on connaît 2 angles et 1 côté.
 Lorsque l’on connaît 2 côtés et 1 angle opposé à un de ces deux côtés.
Donc la loi des sinus est
Exemple 1 :
sin 45 o sin 75o

(Produit des extrêmes = produit des
x
10
moyens)
x*sin75o= 10*sin45 o
10 * sin45o
x=
 x = 7,32
sin 75 o
Exemple 2 :
sin 80 o sin C

(Produit des extrêmes = produit des
18
15
moyens)
o
15  sin 80 o
-1 15  sin 80
sinC =
sin
(
)=C

18
18
L’angle C mesure 55,2o
Donc x = 180o– 80 o- 55,2 o
x = 44,8o
Essc-2012
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La loi des sinus
CST
Exemple 3 :
sin 30 o sin x

(Produit des extrêmes = produit des
,6
3
11
moyens)
o
11 sin 30 o
-1 11  sin 30
sin x =
)=x
 sin (
6,3
6, 3
L’angle x mesure 60,8o . Mais B est un angle obtus.
Donc x = 180o– 60,8 o
x = 119,2o
Pour un angle obtus lorsque l’on utilise la fonction sinus, faire 180o – « l’angle trouvé ».
Essc-2010
-2-
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