Mini-test algèbre, calcul différentiel

Yannick Delbecque — Département de mathématiques, Cégep de St-Laurent
Calcul différentiel — 201-NYA — Automne 2016
Mini-test limite et continuité
La durée de l’examen est de 25 minutes, aucune documentation n’est permise et l’usage de calculateurs électro-
niques est interdit.
Question 1 (6 points)
Évaluer les limites suivantes, si elles existent.
a) lim
x→4
√2x+1−3
x2−16
b) lim
x→−2
x3+3x2+3x+2
x2+x−2
c) lim
x→1f(x), où f(x)=
x2−1
x−1si x>1
1 si x=1
−2x+4 si x<1
.
Question 2 (3 points)
Vrai ou faux? (Il n’est pas nécessaire de justifier vos ré-
ponses)
a) Si a<dom( f) alors fn’est pas continue en x=a.
b) lim
x→af(x)=f(a) pour n’importe quelle fonction f.
c) lim
x→a
log(π)
cos(3) f
( x )=
log(π)
cos(3) lim
x→af
( x ) si la limite du membre
de droite existe.
Solutions
Question 1
a)
lim
x→4
√2x+1−3
x2−16 =√2(4) +1−3 (4)2−16 =”0
0”
On a donc une forme « 0 / 0 ». Pour lever
l’indétermination, on transforme la fonction
dont on veut connaitre la limite :
lim
x→4
√2x+1−3
x2−16 =lim
x→4
√2x+1−3
x2−16
√2x+1+3
√2x+1+3
=lim
x→4
(2x+1) −9
x2−16
1
√2x+1+3
=lim
x→4
(2x−8)
(x−4)(x+4)
1
√2x+1+3
=lim
x→4
2(x−4)
(x−4)(x+4)
1
√2x+1+3
=lim
x→4
2
(x+4)
1
√2x+1+3
=2
(4 +4)
1
√2(4) +1+3
=1
(4)
1
√9+3
=1
24
b) En tentant d’évaluer la limite directement,
on vérifie que c’est une forme « 0/0 ».
En divisant x3 +3 x2 +3 x +2 et x2 + x− 2 par
(x+2), on obtient
x3+3x2+3x+2=(x+2)
x2+x−2=(x+2)
Cela permet de calculer la limite comme
suit.
lim
x→−2
x3+3x2+3x+2
x2+x−2=lim
x→−2
(x+2)(x2+x+1)
(x+2)(x−1)
=lim
x→−2
x2+x+1
x−1
=(−2)2+(−2) +1
(−2) −1
=−1
c) Comme la fonction est définie par morceau
et qu’il y a deux branches qui se joignent en
x =1, nous évaluons la limite à droite et la
limite à gauche.
lim
x→1−f(x)=lim x→1−−2x+4
=−2(1) +4
=2
lim
x→1+f(x)=lim x→1+
x2−1
x−1”0/0”
=lim
x→1+
(x−1)(x+1)
x−1
=lim
x→1+x+1
=2
Comme les limites à gauche et à droite
existent et valent toutes deux 2, on a que
lim
x→1f(x)=2.
Question 2
a) Vrai, car si a<dom ( f ), f ( a ) n’est pas défini
et on ne peut avoir lim
x→af(x)=f(a).
b) Faux, car lim
x→af
( x )= f ( a ) ssi f est continue
en x = a . Cela est donc vrai uniquement pour
les fonctions continues en a.
c) Vrai, car
log(π)
cos(3)
est une constante, et
par les propriétés des limites, on a que
limx→aC f ( x )= Climx→af ( x ) pour n’im-
porte quelle constante C∈R si la limite du
membre de droite existe.