Mathématiques 1 Devoir maison n 1

Math´ematiques 1
Devoir maison n◦1
Exercice 1. Soit fd´efinie sur Rpar
f(x) =
1−exsi x < 0
0 si x= 0
ex−1
ex+ 1 si x > 0
Sur ] − ∞,0[ la fonction fest la somme de deux fonctions continues, elle est donc continue sur
]−∞,0[. Sur ]0,+∞[ la fonction fest le quotient de deux fonctions continues dont le d´enominateur
ne s’annule pas. En effet pour chaque x > 0, ex+ 1 >1. Ainsi fest continue sur ]0,+∞[. Comme
limx→0ex= 1, on a
lim
x→0−
f(x) = lim
x→0−
1−ex= 0
et
lim
x→0+f(x) = 1
2lim
x→0+ex−1 = 0.
Ainsi les limites `a gauche et `a droite de 0 co¨ıncident avec f(0), i.e. la fonction fest continue en 0.
Sur ] − ∞,0[ la fonction fest la somme de deux fonctions d´erivables, elle est donc d´erivable
sur ] − ∞,0[ et
∀x∈]− ∞,0[, f0(x) = −ex.
En particulier, pour chaque x∈]− ∞,0[, f0(x)<0. Ainsi la fonction fest strictement d´ecroissante
sur ] − ∞,0[. Comme
lim
x→−∞ f(x) = 1 et lim
x→0−
f(x) = 0
on obtient que fr´ealise une bijection de ] − ∞,0[ sur ]0,1[.
Sur ]0,+∞[ la fonction fest le quotient de deux fonctions d´erivables dont le d´enominateur ne
s’annule pas, elle est donc d´erivable sur ]0,+∞[ et
∀x∈]0,+∞[, f0(x) = 2ex
(ex+ 1)2.
En particulier, pour chaque x∈]0,+∞[, f0(x)>0. Ainsi la fonction fest strictement croissante
sur ]0,+∞[. Comme
lim
x→+∞f(x) = lim x→+∞
1−e−x
1 + e−x= 1 et lim
x→0+f(x) = 0
on obtient que fr´ealise une bijection de ]0,+∞[ sur ]0,1[.
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Fixons ydans ]0,1[. Comme fr´ealise une bijection de ] − ∞,0[ sur ]0,1[, il existe un (unique)
r´eel x1dans ] − ∞,0[ tel que f(x1) = y. Mais on sait aussi que fr´ealise une bijection de ]0,+∞[
sur ]0,1[, il existe donc un r´eel x2dans ]0,+∞[ tel que f(x2) = y. Comme x1<0 et x2>0, alors
x1est diff´erent de x2.
On a ainsi 1 −ex1=ydonc 1 −y=ex1. Comme y∈]0,1[, on peut composer par ln pour
obtenir
x1= ln(1 −y).
On a aussi ex2−1
ex2+ 1 =y
donc ex2−1 = y(ex2+ 1), i.e. ex2(1 −y) = 1 + y. Comme y∈]0,1[, on peut diviser par 1 −ypour
obtenir ex2= (1 + y)/(1 −y). Comme ex2>0 on peut composer par ln pour obtenir
x2= ln 1 + y
1−y.
Pour ´etudier la d´erivabilit´e de fen 0, on ´etudie la limite `a gauche et `a droite du taux d’accroissement.
A gauche de 0, on a
lim
x→0−
f(x)−f(0)
x−0=−lim
x→0−
ex−1
x=−(exp)0(0) = −1.
A droite de 0, on a
lim
x→0+
f(x)−f(0)
x−0= lim
x→0+
1
ex+ 1 ×lim
x→0+
ex−1
x=1 2×(exp)0(0) = 1 2.
Les d´eriv´ees `a droite et `a gauche de 0 du taux d’accroissement ne co¨ıncident pas, la fonction f
n’est donc pas d´erivable en 0.
Exercice 2. On consid`ere la fonction fd´efinie sur D=] − ∞,−1[∪]−1,+∞[ par
f(x) = 1
1 + x.
La fonction fest le quotient de deux fonctions C∞dont le d´enominateur ne s’annule pas sur D.
Ainsi la fonction fest C∞sur D. En calculant les d´eriv´ees successives, on obtient :
f0(x) = −1
(1 + x)2, f(2)(x) = 2 (1 + x)3et f(3)(x) = −2×3 (1 + x)4.
Pour chaque entier n∈N∗, notons P(n) la propri´et´e suivante
P(n) : ∀x∈ D, f(n)(x) = (−1)nn!
(1 + x)n+1 .
La d´emonstration par r´ecurrence se fait en trois ´etapes :
Initialisation : D’apr`es ce qui pr´ec`ede, P(1) est vrai (en fait P(2) et P(3) aussi).
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H´er´edit´e : Soit nun entier non-nul. Supposons que P(n) est vrai et montrons qu’alors P(n+ 1)
est vrai. Comme P(n) est vrai, on a
∀x∈ D, f(n)(x) = (−1)nn!
(1 + x)n+1 .
On peut d´eriver la fonction f(n)
f(n+1)(x) = [f(n)]0(x) = (−1)nn!×(−1)(n+ 1)
(1 + x)n+2 =(−1)n+1(n+ 1)! (1 + x)n+2 .
Ainsi la propri´et´e P(n+ 1) est vrai.
Conclusion : On a montr´e les r´esultats suivants
P(1) est vrai et ∀n∈N∗,P(n) =⇒ P(n+ 1).
Par principe de r´ecurrence, on donc que P(n) est vrai pour tout n∈N∗.
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