Aide-mémoire Définitions et formules utiles Trigonométrie rectiligne sin(θ) = Opp Hyp csc(θ) = Adj cos(θ) = Hyp tan(θ) = Hyp Opp Hyp sec(θ) = Adj Opp Adj cot(θ) = Hypothénuse Opposé θ Adj Opp Adjacent Relations inverses csc(x) ≡ 1 sin(x) sec(x) ≡ 1 cos(x) cot(x) ≡ 1 tan(x) Relations quotients tan(x) ≡ sin(x) cos(x) cot(x) ≡ cos(x) sin(x) Relations cofonctions sin ³π ´ − t ≡ cos(t) 2 ³π ´ tan − t ≡ cot(t) 2 ³π ´ sec − t ≡ csc(t) 2 cos ³π ´ − t ≡ sin(t) 2 ³π ´ cot − t ≡ tan(t) 2 ³π ´ csc − t ≡ sec(t) 2 Relations pythagoriciennes sin2 (t) + cos2 (t) ≡ 1 1 + tan2 (t) ≡ sec2 (t) 1 + cot2 (t) ≡ csc2 (t) Session hiver 2 009 Pierre Lantagne Page 1 de 9 Aide-mémoire Définitions et formules utiles Triangle obliquangle (triangle acutangle ou triangle obtusangle) Loi des sinus sin(α) sin(β) sin(γ) = = a b c b γ α a Loi des cosinus c a2 = b2 + c2 − 2bc cos(α) 2 2 β 2 b = a + c − 2ac cos(β) c2 = a2 + b2 − 2ab cos(γ) Diverses mesures d’angles π radians = 180◦ s = rθ A = 12 r2 θ s r (θ en radians) θ r π θ × = α radians 180◦ ◦ α radians × Session hiver 2 009 180◦ = θ◦ π Pierre Lantagne Page 2 de 9 Aide-mémoire Définitions et formules utiles Trigonométrie circulaire Axe des sinus 1 cos(t) correspond à l’abscisse du point P (t) P(cos(t),sin(t)) t O 678 sin(t) correspond à l’ordonnée du point P (t) 123 sin(t) 1 Axe des cosinus cos(t) 1 (t) sec 8 4 7 4t 6 sec(t) correspond à la mesure algébrique du segment OR(t) O 123 R(1,tan(t)) tan(t) correspond à l’ordonnée du point R(t) tan(t) 1 Axe des tangentes Axe des cotangentes 1 cot(t) correspond à l’abscisse du point S(t) csc(t) correspond à la mesure algébrique du segment OS(t) O 64cot(t) 748 3 4 2 (t) csc t4 1 S(cot(t),1) 1 Remarque : La sec(t) définie par la mesure algébrique du segment OR(t) correspond à la longueur du segment OR(t) affectée d’un signe positif si le prolongement du segment OP (t) jusqu’à l’axe des tangentes pour obtenir le point d’intersection R(t) s’effectue sans changement de quadrant. Sinon, cette longueur sera affectée d’un signe négatif. Il en est de même pour la csc(t). Session hiver 2 009 Pierre Lantagne Page 3 de 9 Aide-mémoire Définitions et formules utiles Identités trigonométriques remarquables Identités d’angles composés sin(u ± v) ≡ sin(u) cos(v) ± sin(v) cos(u) cos(u ± v) ≡ cos(u) cos(v) ∓ sin(u) sin(v) tan(u) ± tan(v) tan(u ± v) ≡ 1 ∓ tan(u) tan(v) sin(u + v) + sin(u − v) ≡ 2 sin(u) cos(v) sin(u + v) − sin(u − v) ≡ 2 cos(u) sin(v) Transformation des sommes en produits cos(u + v) + cos(u − v) ≡ 2 cos(u) cos(v) cos(u + v) − cos(u − v) ≡ −2 sin(u) sin(v) Identités d’angles multiples Session hiver 2 009 sin(2t) ≡ 2 sin(t) cos(t) cos(2t) ≡ cos2 (t) − sin2 (t) tan(2t) ≡ 2 tan(t) 1 − tan2 (t) 1 − cos(2t) 2 1 + cos(2t) cos2 (t) ≡ 2 r µ ¶ t 1 − cos(t) sin ≡± 2 2 r µ ¶ t 1 + cos(t) cos ≡± 2 2 µ ¶ t sin(t) tan ≡ 2 1 + cos(t) µ ¶ t 1 − cos(t) tan ≡ 2 sin(t) sin2 (t) ≡ Pierre Lantagne Page 4 de 9 Aide-mémoire Définitions et formules utiles Axe des sinus Trigonométrie circulaire et triangles remarquables π 4 1 π 3 1 2 2 1 2 π 6 π 4 3 2 2 2 (0,1) P (cos( 23π ), sin( 23π )) 3 2 π 2 P (cos( π3 ), sin( π3 )) 2π π π 4 45 180° 0° 150 ° (-1,0) π 3 2 − 22 5 240 ° ° 330 P (cos( 74π ), sin( 74π )) 3 4π 3 11π 6 270° 2 2 3 − 2 ° 5π − Axe des cosinus 4 4 −1 2 (1,0) 3 2 7π 5π 6 2 2 5° 31 ° 300 P (cos( 76π ), sin( 76π )) 0 1 2 ° 210 7π 6 30° −1 2 2 2 P (cos( 6π ), sin( 6π )) π 5° ° 13 120 60° 4 1 2 ° 3π 90° 5π 6 − P (cos( 4π ), sin( 4π )) 3 3 2 2 3π 2 (0,-1) α 0° 30° sin(α) 0 cos(α) 1 sin(α ) = tan(α) cos(α ) 0 cos(α ) = 1 = cot(α) sin(α ) tan(α ) 1 = sec(α) cos(α ) 1 = csc(α) sin(α ) Session hiver 2 009 π 6 0 1 1 2 45° π 4 60° π 90° 3 π 2 180° π 270° 3π 2 3 2 1 0 −1 3 2 1 3 1 2 1 2 1 2 0 1 0 1 3 3 1 1 3 2 2 2 2 3 2 3 2 Pierre Lantagne 0 0 0 1 −1 Page 5 de 9 Aide-mémoire Définitions et formules utiles Graphiques des fonctions trigonométriques $ ' $ ' y = cos( x) y = sin( x) x x & Dom sin = R Ima sin = [−1, 1] % & Dom cos = R Ima cos = [−1, 1] % $ ' ' y = tan( x) $ y = cot( x) x & Dom tan = R\{ π2 + kπ, k ∈ Z} Ima tan = R x % & ' Dom cot = R\{kπ, k ∈ Z} Ima cot = ] − ∞, −1] ∪ [1, ∞[ $ ' y = sec( x) $ y = csc( x) x & % Dom sec = R\{ π2 + kπ, k ∈ Z} Ima sec = ] − ∞, −1] ∪ [1, ∞[ Session hiver 2 009 x % & Pierre Lantagne Dom csc = R\{kπ, k ∈ Z} Ima csc = ] − ∞, −1] ∪ [1, ∞[ Page 6 de 9 % Aide-mémoire Définitions et formules utiles Graphiques des fonctions trigonométriques réciproques ' $ ' y = arcsin( x) $ y = arccos( x) x x & Dom arcsin = [−1, 1] ¤ £ Ima arcsin = − π2 , π2 & % ' Dom arccos = [−1, 1] Ima arccos = [0, π] % $ ' y = arctan( x) $ y = arc cot( x) x x & Dom arctan = R ¤ £ Ima arctan = − π2 , π2 & % Dom arccot = R Ima arccot = ]0, π[ % ' $ ' $ y = arc csc( x) y = arcsec( x) x x & Dom arcsec = ] − ∞,©−1]ª ∪ [1, ∞[ Ima arcsec = [0, π]\ π2 Session hiver 2 009 % & Pierre Lantagne Dom arccsc = £] − ∞, −1] ¤ ∪ [1, ∞[ Ima arccsc = − π2 , π2 \{0} Page 7 de 9 % Aide-mémoire Définitions et formules utiles Domaines des fonctions trigonométriques réciproques y arcsin( x) arccos( x) arcsec( x) arccsc( x) arcsec( x) arccsc( x) arctan( x) arccot( x) x Images des fonctions trigonométriques réciproques y = arcsin(x) h π πi y∈ − , 2 2 y = arccos(x) y = arctan(x) i π πh y∈ − , 2 2 y = arccot(x) y = arcsec(x) nπ o y ∈ [0, π]\ 2 y = arccsc(x) h π πi y∈ − , \{0} 2 2 Session hiver 2 009 y ∈ [0, π] y ∈]0, π[ Pierre Lantagne Page 8 de 9 Aide-mémoire Définitions et formules utiles Identités des fonctions trigonométriques réciproques sin(sin−1 (x)) ≡ x π π ≤x≤ 2 2 pour − 1 ≤ x ≤ 1 cos−1 (cos(x)) ≡ x cos(cos−1 (x)) ≡ x pour 0 ≤ x ≤ π pour − 1 ≤ x ≤ 1 sin−1 (sin(x)) ≡ x pour − π π <x< 2 2 tan(tan−1 (x)) ≡ x pour − ∞ < x < ∞ µ ¶ 1 −1 , x > 0; tan x µ ¶ cot−1 (x) ≡ 1 , x < 0. π + tan−1 x µ ¶ 1 pour x ≤ −1 ou x ≥ 1 sec−1 (x) ≡ cos−1 x µ ¶ −1 1 −1 csc (x) ≡ sin pour x ≤ −1 ou x ≥ 1 x tan−1 (tan(x)) ≡ x Session hiver 2 009 pour − Pierre Lantagne Page 9 de 9