1 produits, conjugués, modules 2 équations du second degré 3

NOMBRES COMPLEXES
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
1
1
PRODUITS, CONJUGUÉS, MODULES
————————————–
10
Déterminer la forme algébrique et le module de :
1)
(2 − i)(5 + 2i)
.
3 − 4i
zz ′ 6= −1
————————————–
2
2)
z+1
sur C \ 2 .
1) On note f la fonction z 7−→
z− 2
Pour quels
nombres z ∈ C \ 2 a-t-on : f (z) = 1 ?
a)
b) Re f (z) = 0 ?
2z − i
sur C \ 2i .
2) On note g la fonction z 7−→
z − 2i
Pour quels nombres z ∈ C \ 2i a-t-on :
a)
g(z) ∈ R ?
b) g(z) ∈ U ?
————————————–
Montrer que pour tous u, v ∈ C :
€
Š
|u + v|2 + |u − v|2 = 2 |u|2 + |v|2 ,
2
Étudier les variations sur R+ de la fonction
x
.
x 7−→
1+ x
En déduire que pour tous u, v ∈ C :
2)
2
Résoudre
les systèmes suivants
§
§ d’inconnue (x, y) ∈ C :
x+ y =2
x + y = 1+i
1)
2)
x y = 2.
x y = 13i.
§
§
x + y = 3i
x + y = 3i − 3
3)
4)
x y = −1 − 3i.
x y = −5i.
§
x + y = 3 + 4i
5)
x y = 5 + 15i.
13
————————————–
1) Déterminer une factorisation de a2 + b2 dans C
pour tous a, b ∈ C.
2) Soient m, n ∈ N. Montrer que si m et n sont chacun la somme de deux carrés d’entiers, leur produit mn l’est aussi.
————————————–
3
————————————–
‹

1
pour tout z ∈ U \ 1 .
Simplifier : Re
6
1−z
————————————–
1 + reiθ
Simplifier : Re
pour tous r ∈ [0, 1[
7
1 − reiθ
et θ ∈ R.
14
p
Re(z) + |z|
2
1) Déterminer une forme trigonométrique
des nombres
p
suivants :
a) 1 − 2.
b) −5i.
p 19
1 + 2i
e) −
c)
2−i.
d)
−3+i 3 .
.
3 + 4i
p 1000
.
2) Déterminer la forme algébrique de 1+i 3
d’in15
1)
Déterminer tous les n ∈ Nppourlesquels :
n
(1 + i)n ∈ R.
2)
3 + i ∈ iR.
————————————–
Résoudre l’équation : Re z 3 = Im z 3
16
connue z ∈ C.
Montrer que pour tout z ∈ C \ R− :
z + |z|
ARGUMENTS
————————————–
————————————–
DU SECOND DEGRÉ
————————————–
|u + v|
|u|
|v|
¶
+
.
1 + |u + v|
1 + |u| 1 + |v|
9
ÉQUATIONS
Résoudre les équations suivantes d’inconnue z ∈ C :
1)
4z 2 − 16z + 11 − 12i = 0.
2)
z 2 − 5z + 4 + 10i = 0.
3)
z 2 + (4 − 3i)z = 2 + 8i.
4)
2z 2 + (8 − 5i)z + (4 − 13i) = 0.
5)
6z 2 + (21 − 14i)z + (5 − 37i) = 0.
6)
z 2 + 5z + 7 − i = 0.
7)
z 2 − 2z cos2 ϕ + 1 = 0 (ϕ ∈ R).
12
1)
————————————–
‹

1
=0
Résoudre l’équation : Im 2
8
z +z+1
connue z ∈ C \ j, j .
Montrer que pour tous z1 , . . . , zn ∈ C∗
de même module :
Déterminer tous les z ∈ C pour lesquels :
z(z − 1) = z 2 z − 1 .
11
————————————–
5
z + z′
∈ R.
1 + zz ′
————————————–
puis interpréter géométriquement cette égalité.
4
=⇒
(z1 + z2 ) . . . (zn−1 + zn )(zn + z1 )
∈ R.
z1 . . . zn
————————————–
3
Montrer que pour tous z, z ′ ∈ U :
= 2z.
————————————–
1
d’in-
NOMBRES COMPLEXES
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17
Soit θ ∈ R. On pose : z = eiθ .
une forme trigonométrique de 1 + z + z 2 .
Déterminer
24
1)
————————————–
Simplifier pour tous x, y ∈ R et n ∈ N :
n
n  ‹
X
X
n
cos(k x + y).
2)
cos(k x).
k
k=0
k=0
————————————–
Soient a, b, c ∈ U. Montrer qu’alors :
18
25
|a + b + c| = |a b + bc + ca|.
1)
Montrer que pour tout x ∈ R :
————————————–
| sin x| ¾
19
Montrer que pour tout θ ∈ ] − π, π[, si
θ
1 + ix
on pose : x = tan , alors : eiθ =
,
2
1 − ix
puis exprimer cos θ et sin θ en fonction de x.
En déduire pour tout
2)
t ∈ R une simplifi- cation de : cos 2 Arctan t
et sin 2 Arctan t .
Montrer que pour tout z ∈ C \ R− :
3)
1)
arg(z) ≡ 2 Arctan
En déduire que pour tout n ∈ N∗ :
2)
n
X
k=1
26
Im(z)
[2π].
Re(z) + |z|
somme :
k=0
1) Soient u, v ∈ U.
Montrer
que si : u + v = −1,
alors :
u, v = j, j .
2) Soient a, b, c ∈ U. Que peut-on dire du triangle
de sommets a, b et c si : a + b + c = 0 ?
————————————–
b)
28
cos3 x sin(3x) dx.
π
2
COMPLEXE
Résoudre les équations suivantes d’inconnue z ∈ C :
a) ez = 1 + i.
b) ez = −5 − 12i.
1)
z
−z
2)
a) e + e = 1.
b)
ez + e−z = 2i.
c) ez + 2e−z = i.
————————————–
0
29
1) Pour tout x ∈ R, exprimer cos(5x) en fonction
de cos x.
2) En déduire une expression explicite de :
π
π
π
.
b) cos .
c) sin .
a)
cos2
10
5
5
————————————–
23
EXPONENTIELLE
sin4 x cos2 x dx.
————————————–
22
k=0
x sin ω
.
1 − 2x cos ω + x 2
d’inconnue (x, y) ∈ R2 .
5
Z
x k sin(ωk) =
sin(x + y) = sin x + sin y
1) Linéariser les expressions suivantes :
a)
sin x cos2 (2x).
b) sin3 (2x) cos(3x).
2) Calculer les intégrales suivantes :
Z 2π
0
n→+∞
n
X
Résoudre l’équation :
27
APPLICATIONS TRIGONOMÉTRIQUES
a)
lim
————————————–
————————————–
21
1
n
−
.
2 2 sin 1
Soient ω ∈ R et x ∈ ] − 1, 1[. Simplifier la
n
X
x k sin(ωk) pour tout n ∈ N, puis mon-
trer l’égalité :
4
| sin k| ¾
————————————–
————————————–
20
1 − cos(2x)
.
2
On souhaite montrer que la fonction z 7−→ ez possède des points fixes sur C.
i πh
x
x
On note f la fonction x 7−→ e tan x −
.
sur 0,
sin x
2
tan x
sin x
et lim
?
1) Que valent : lim
x→0 x i
h x→0 x
π
/ f (b) = 0.
Montrer que : ∃ b ∈ 0,
2
b
2) On pose : z =
+ ib. Montrer qu’alors :
tan b
z
e = z.
————————————–
1) a) Résoudre l’équation : z 4 +z 3 +z 2 +z+1 = 0
d’inconnue z ∈ C.
b) Soit z une solution de cette équation. On pose :
1
x = z+ . Montrer que x est solution d’une
z
équation simple, puis la résoudre.
2π
.
2) En déduire une expression explicite de cos
5
6
30
————————————–
RACINES nÈMES
z∈C:
2)
Résoudre les équations suivantes d’inconnue
1) z 8 − 3z 4 + 2 = 0.
6
z − 2z 3 cos ϕ + 1 = 0 (ϕ ∈ R).
————————————–
2
NOMBRES COMPLEXES
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31
32
Résoudre les équations suivantes d’inconnue z — où
n ∈ N∗ :
1)
a) (z + 2)3 = 3i.
b)
(z − 1)4 = 4 + 4i.
c)  z n +‹1 = 0.
z+1 n
= 1.
2)
a) z n = z.
b)
z−1
————————————–
Pour tout n ∈ N∗ , X
simplifier :
ω.
b)
a)
1)
ω∈Un
X
2)
a)
(1+ω)n .
Y
a)
2)
ω.
ω∈Un
b)
ω∈Un
X
ω∈Un
37
ω=e
2iπ
n
et
S=
ωk
2
(somme de Gauss).
1) Écrire |S|2 comme une somme double, puis monn−1 n−k−1
X
X
2
trer que : |S|2 =
ω2pk+p .
Z −→ C
2
p 7−→ ω2pk+p
est n-périodique pour tout k ∈ ¹0, n − 1º.
b) En déduire pour tout k ∈ ¹0, n − 1º une écrin−k−1
X
2
ture simplifiée de :
ω2kp+p .
2) a) Montrer que la fonction
3) Simplifier :
ω2pk
k=0
4) En déduire l’égalité :
pour tout p ∈ Z.
|S| =
p
n.
————————————–
7
34
INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE
On note A, B et C les trois points d’affixes respectifs : a = 1 + i, b = −i et c = −1 + 2i. Que
peut-on dire du triangle ABC ?
————————————–
————————————–
35
39
À quelle condition nécessaire et suffisante sur z :
z et z 2 sont-ils les affixes de deux vecteurs :
1)
a) colinéaires ?
b) orthogonaux ?
2)
1, z et z 2 sont-ils les affixes de trois points
alignés ?
z et z sont-ils les affixes de deux vecteurs
3)
orthogonaux ?
1
4)
et z − 1 sont-ils les affixes de points
z,
z
situés sur un même cercle de centre O ?
5)
z et ses deux racines carrées formentils un triangle rectangle en z ?
Soient A, B et C trois points d’affixes respectifs a, b et c. Par définition, le triangle ABC est équilatéral si les distances AB, BC et CA sont égales, mais on
admettra qu’il l’est si et seulement si, par exemple, C
est l’image de B par une certaine rotation de centre A et
d’angle de mesure à préciser.
Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
(i)
ABC est un triangle équilatéral.
(ii)
j ou j2 est racine du polynôme aX 2 + bX +c.
(iii)
a2 + b2 + c 2 = a b + bc + ca.
————————————–
40
inπ
e 4 .
Pour tout n ∈ N, on note An le point d’affixe
On définit alors une suite de points (Mn )n∈N de la
façon suivante : M0 = A0 et pour tout n ∈ N, Mn+1
est le projeté orthogonal de Mn sur la droite (OAn+1 ).
Déterminer l’affixe zn du point Mn pour tout n ∈ N.
————————————–
36
1) Caractériser géométriquement la similitude :
————————————–
i πh
fixé. Pour tout α ∈ ]0, π[, on
Soit θ ∈ 0,
38
2
eiα − cos(2θ )
et on note h la fonction
pose : zα =
sin(2θ )
z cos θ − sin θ
z 7−→
.
z sin θ + cos θ
1) Décrire l’ensemble des zα , α décrivant ]0, π[.
2) Montrer que pour tout α ∈ ]0, π[ :
α
tan
2
h(zα ) = i
.
tan θ
En déduire une description de l’ensemble des h(zα ),
α décrivant ]0, π[.
p=−k
n−1
X
a) Montrer, pour tout λ ∈ R∗+ \ 1 , que le lieu
des points M pour lesquels : M B = λM A
est un cercle dont on précisera l’affixe du centre
et le rayon.
b) Étudier l’allure des cercles trouvées en a) pour
λ très grand (resp. proche de 0, resp. proche
de 1 par valeurs inférieures, resp. proche de
1 par valeurs supérieures).
2) Déterminer l’expression complexe de la rotation
π
de centre 1 + i et d’angle de mesure .
4
3) On note r la rotation de centre 1 et d’angle de
π
mesure et s la symétrie centrale de centre 3+i.
2
Caractériser géométriquement la fonction s ◦ r.
4) On note r la rotation de centre 2 + i et d’angle
π
et r ′ la rotation de centre 3 − 2i
de mesure
3
π
et d’angle de mesure − . Caractériser géomé3
triquement la fonction r ′ ◦ r.
k=0
k=0 p=−k
p
M B = M A 2.
z 7−→ 2(1 + i)z − 7 − 4i.
Soit n ∈ N IMPAIR. On pose :
n−1
X
b)
————————————–
|ω−1|.
————————————–
33
M A = M B.
On note A le point d’affixe 1 et B le point d’affixe 5.
1)
Déterminer le lieu des points M pour lesquels :
————————————–
3