1 produits, conjugués, modules 2 équations du second degré 3

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI NOMBRES COMPLEXES
1 PRODUITS,CONJUGUÉS,MODULES
1Déterminer la forme algébrique et le module de :
(2−i)(5+2i)
3−4i .
————————————–
21) On note fla fonction z7−→ z+1
z−2sur C\2.
Pour quels nombres z∈C\2a-t-on :
a) f(z)=1 ? b) Ref(z)=0 ?
2) On note gla fonction z7−→ 2z−i
z−2i sur C\2i.
Pour quels nombres z∈C\2ia-t-on :
a) g(z)∈R?b) g(z)∈U?
————————————–
3Montrer que pour tous u,v∈C:
|u+v|2+|u−v|2=2|u|2+|v|2,
puis interpréter géométriquement cette égalité.
————————————–
41) Étudier les variations sur R+de la fonction
x7−→ x
1+x.
2) En déduire que pour tous u,v∈C:
|u+v|
1+|u+v|¶|u| 1+|u|+|v| 1+|v|.
————————————–
51) Déterminer une factorisation de a2+b2dans C
pour tous a,b∈C.
2) Soient m,n∈N. Montrer que si met nsont cha-
cun la somme de deux carrés d’entiers, leur pro-
duit mn l’est aussi.
————————————–
6Simplifier : Re 1
1−zpour tout z∈U\1.
————————————–
7Simplifier : Re 1+reiθ
1−reiθpour tous r∈[0,1[
et θ∈R.
————————————–
8Résoudre l’équation : Im 1
z2+z+1=0 d’in-
connue z∈C\j, j.
————————————–
9Montrer que pour tout z∈C\R−:
z+|z|
pRe(z) + |z|2
=2z.
————————————–
10 1) Montrer que pour tous z,z′∈U:
zz′6=−1=⇒z+z′
1+zz′∈R.
2) Montrer que pour tous z1,...,zn∈C∗
de même module :
(z1+z2)...(zn−1+zn)(zn+z1)
z1...zn∈R.
————————————–
11 Déterminer tous les z∈Cpour lesquels :
z(z−1) = z2z−1.
————————————–
2 ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ
12 Résoudre les équations suivantes d’inconnue z∈C:
1) 4z2−16z+11 −12i =0.
2) z2−5z+4+10i =0.
3) z2+ (4−3i)z=2+8i.
4) 2z2+ (8−5i)z+ (4−13i) = 0.
5) 6z2+ (21 −14i)z+ (5−37i) = 0.
6) z2+5z+7−i=0.
7) z2−2zcos2ϕ+1=0 (ϕ∈R).
————————————–
13 Résoudre les systèmes suivants d’inconnue (x,y)∈C2:
1) §x+y=2
x y =2. 2) §x+y=1+i x y =13i.
3) §x+y=3i
x y =−1−3i. 4) §x+y=3i −3
x y =−5i.
5) §x+y=3+4i
x y =5+15i.
————————————–
3 ARGUMENTS
14 1) Déterminer une forme trigonométrique des nombres
suivants : a) 1−p2. b) −5i.
c) 2−i. d) −3+ip319.e) −1+2i
3+4i.
2) Déterminer la forme algébrique de 1+ip31000.
————————————–
15 Déterminer tous les n∈Npour lesquels :
1) (1+i)n∈R.2) p3+in∈iR.
————————————–
16 Résoudre l’équation : Rez3=Imz3d’in-
connue z∈C.
————————————–
1

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI NOMBRES COMPLEXES
17 Soit θ∈R. On pose : z=eiθ. Déterminer
une forme trigonométrique de 1 +z+z2.
————————————–
18 Soient a,b,c∈U. Montrer qu’alors :
|a+b+c|=|ab +bc +ca|.
————————————–
19 1) Montrer que pour tout θ∈]−π,π[, si
on pose : x=tan θ
2, alors : eiθ=1+ix 1−ix,
puis exprimer cosθet sinθen fonction de x.
2) En déduire pour tout t∈Rune simplifi-
cation de : cos 2 Arctan tet sin 2 Arctan t.
3) Montrer que pour tout z∈C\R−:
arg(z)≡2 Arctan Im(z)
Re(z) + |z|[2π].
————————————–
20 1) Soient u,v∈U. Montrer que si : u+v=−1,
alors : u,v=j, j.
2) Soient a,b,c∈U. Que peut-on dire du triangle
de sommets a,bet csi : a+b+c=0 ?
————————————–
4 APPLICATIONS TRIGONOMÉTRIQUES
21 1) Linéariser les expressions suivantes :
a) sin xcos2(2x).b) sin3(2x)cos(3x).
2) Calculer les intégrales suivantes :
a) Z2π
0
cos3xsin(3x)dx.
b) Zπ
2
0
sin4xcos2xdx.
————————————–
22 1) Pour tout x∈R, exprimer cos(5x)en fonction
de cos x.
2) En déduire une expression explicite de :
a) cos2π
10.b) cos π 5.c) sin π 5.
————————————–
23 1) a) Résoudre l’équation : z4+z3+z2+z+1=0
d’inconnue z∈C.
b) Soit zune solution de cette équation. On pose :
x=z+1
z. Montrer que xest solution d’une
équation simple, puis la résoudre.
2) En déduire une expression explicite de cos 2π
5.
————————————–
24 Simplifier pour tous x,y∈Ret n∈N:
1)
n
X
k=0
cos(kx +y).2)
n
X
k=0n
kcos(kx).
————————————–
25 1) Montrer que pour tout x∈R:
|sin x|¾1−cos(2x)
2.
2) En déduire que pour tout n∈N∗:
n
X
k=1|sin k|¾n
2−1 2 sin 1.
————————————–
26 Soient ω∈Ret x∈]−1,1[. Simplifier la
somme :
n
X
k=0
xksin(ωk)pour tout n∈N, puis mon-
trer l’égalité : lim
n→+∞
n
X
k=0
xksin(ωk) = xsinω
1−2xcos ω+x2.
————————————–
27 Résoudre l’équation :
sin(x+y) = sin x+sin y
d’inconnue (x,y)∈R2.
————————————–
5 EXPONENTIELLE COMPLEXE
28 Résoudre les équations suivantes d’inconnue z∈C:
1) a) ez=1+i. b) ez=−5−12i.
2) a) ez+e−z=1.
b) ez+e−z=2i. c) ez+2e−z=i.
————————————–
29 On souhaite montrer que la fonction z7−→ ezpos-
sède des points fixes sur C.
On note fla fonction x7−→ ex
tan x−x
sin xsur i0, π 2h.
1) Que valent : lim
x→0
sin x
xet lim
x→0
tan x
x?
Montrer que : ∃b∈i0, π
2h/f(b) = 0.
2) On pose : z=b
tan b+ib. Montrer qu’alors :
ez=z.
————————————–
6 RACINES nÈMES
30 Résoudre les équations suivantes d’inconnue
z∈C:1) z8−3z4+2=0.
2) z6−2z3cosϕ+1=0 (ϕ∈R).
————————————–
2

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI NOMBRES COMPLEXES
31 Résoudre les équations suivantes d’inconnue z— où
n∈N∗:
1) a) (z+2)3=3i.
b) (z−1)4=4+4i. c) zn+1=0.
2) a) zn=z.b) z+1
z−1n
=1.
————————————–
32 Pour tout n∈N∗, simplifier :
1) a) X
ω∈Un
ω.b) Y
ω∈Un
ω.
2) a) X
ω∈Un
(1+ω)n.b) X
ω∈Un
|ω−1|.
————————————–
33 Soit n∈NIMPAIR. On pose :
ω=e2iπ
net S=
n−1
X
k=0
ωk2(somme de Gauss).
1) Écrire |S|2comme une somme double, puis mon-
trer que : |S|2=
n−1
X
k=0
n−k−1
X
p=−k
ω2pk+p2.
2) a) Montrer que la fonction Z−→ C
p7−→ ω2pk+p2
est n-périodique pour tout k∈¹0, n−1º.
b) En déduire pour tout k∈¹0, n−1ºune écri-
ture simplifiée de :
n−k−1
X
p=−k
ω2kp+p2.
3) Simplifier :
n−1
X
k=0
ω2pk pour tout p∈Z.
4) En déduire l’égalité : |S|=pn.
————————————–
7 INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE
34 On note A,Bet Cles trois points d’affixes respec-
tifs : a=1+i, b=−i et c=−1+2i. Que
peut-on dire du triangle ABC ?
————————————–
35 À quelle condition nécessaire et suffisante sur z:
1) zet z2sont-ils les affixes de deux vecteurs :
a) colinéaires ? b) orthogonaux ?
2) 1, zet z2sont-ils les affixes de trois points
alignés ?
3) zet zsont-ils les affixes de deux vecteurs
orthogonaux ?
4) z,1
zet z−1 sont-ils les affixes de points
situés sur un même cercle de centre O?
5) zet ses deux racines carrées forment-
ils un triangle rectangle en z?
————————————–
36 On note Ale point d’affixe 1 et Ble point d’affixe 5.
1) Déterminer le lieu des points Mpour les-
quels :
a) MA =M B.b) M B =MAp2.
2)
a) Montrer, pour tout λ∈R∗
+\1, que le lieu
des points Mpour lesquels : M B =λMA
est un cercle dont on précisera l’affixe du centre
et le rayon.
b) Étudier l’allure des cercles trouvées en a) pour
λtrès grand (resp. proche de 0, resp. proche
de 1 par valeurs inférieures, resp. proche de
1 par valeurs supérieures).
————————————–
37 1) Caractériser géométriquement la similitude :
z7−→ 2(1+i)z−7−4i.
2) Déterminer l’expression complexe de la rotation
de centre 1 +i et d’angle de mesure π
4.
3) On note rla rotation de centre 1 et d’angle de
mesure π
2et sla symétrie centrale de centre 3+i.
Caractériser géométriquement la fonction s◦r.
4) On note rla rotation de centre 2 +i et d’angle
de mesure π
3et r′la rotation de centre 3 −2i
et d’angle de mesure −π
3. Caractériser géomé-
triquement la fonction r′◦r.
————————————–
38 Soit θ∈i0, π
2hfixé. Pour tout α∈]0,π[, on
pose : zα=eiα−cos(2θ)
sin(2θ)et on note hla fonction
z7−→ zcos θ−sin θ
zsin θ+cosθ.
1) Décrire l’ensemble des zα,αdécrivant ]0,π[.
2) Montrer que pour tout α∈]0,π[:
h(zα) = i
tan α
2
tanθ.
En déduire une description de l’ensemble des h(zα),
αdécrivant ]0,π[.
————————————–
39 Soient A,Bet Ctrois points d’affixes respec-
tifs a,bet c. Par définition, le triangle ABC est équila-
téral si les distances AB,BC et CA sont égales, mais on
admettra qu’il l’est si et seulement si, par exemple, C
est l’image de Bpar une certaine rotation de centre Aet
d’angle de mesure à préciser.
Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) ABC est un triangle équilatéral.
(ii) j ou j2est racine du polynôme aX 2+bX +c.
(iii) a2+b2+c2=ab +bc +ca.
————————————–
40 Pour tout n∈N, on note Anle point d’affixe
einπ
4. On définit alors une suite de points (Mn)n∈Nde la
façon suivante : M0=A0et pour tout n∈N,Mn+1
est le projeté orthogonal de Mnsur la droite (OAn+1).
Déterminer l’affixe zndu point Mnpour tout n∈N.
————————————–
3