Logique et raisonnements - Page Personnelle de Jérôme Von Buhren

Interrogation orale - Logique et raisonnements
Logique et raisonnements
1
Logique
Quelles sont les liens logiques entre les assertions suivantes ?
(i) ∃x ∈ R, (x + 1 = 0 et x + 2 = 0).
(ii) (∃x ∈ R, x + 1 = 0) et (∃x ∈ R, x + 2 = 0).
(iii) ∀x ∈ R, (x + 1 6= 0 ou x + 2 6= 0).
Quelles sont les armations qui sont vraies ?
Exercice 1 :
Quelles sont les liens logiques entre les assertions suivantes ?
(i) ∃x ∈
∀y ∈ R∗ , ∀z ∈ R∗ , z − xy = 0.
(ii) ∀y ∈ R∗ , ∃x ∈ R∗ , ∀z ∈ R∗ , z − xy = 0.
(iii) ∀y ∈ R∗ , ∀z ∈ R∗ , ∃x ∈ R∗ , z − xy = 0.
Quelles sont les armations qui sont vraies ?
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Soit f : R → R une application. Donner le sens des armations
suivantes.
(i) ∀x ∈ R, ∃y ∈ R, y = f (x).
(ii) ∃y ∈ R, ∀x ∈ R, y = f (x).
Exercice 5 :
Exercice 6 : Soit f : R → R une application. Écrire la négation des armations suivantes.
(i) ∀x ∈ R, f (x) 6= 0.
(ii) ∀M > 0, ∃A > 0, ∀x > A, f (x) > M.
(iii) ∀x ∈ R, f (x) > 0 ⇒ x 6 0.
Exercice 2 :
R∗ ,
Quelles sont les liens logiques entre les assertions suivantes ?
(i) ∃a ∈ R, ∀ε > 0, |a| < ε.
(ii) ∀ε > 0, ∃a ∈ R, |a| < ε.
Quelles sont les armations qui sont vraies ?
Exercice 3 :
Soit f : R → R une fonction. Exprimer avec des quanticateurs
les assertions suivantes.
(i) f est constante.
(ii) f n'est pas constante.
(iii) f s'annule sur R.
(iv) ∀x ∈ R, ∃y ∈ R, x = y.
Exercice 7 :
2
2.1
Exercice 4 :
Quelles sont les liens logiques entre les assertions suivantes ?
(i) ∀x ∈ R, ∀y ∈ R, x = y.
(ii) ∃x ∈ R, ∃y ∈ R, x = y.
(iii) ∃x ∈ R, ∀y ∈ R, x = y.
(iv) ∀x ∈ R, ∃y ∈ R, x = y.
Quelles sont les armations qui sont vraies ?
Raisonnements
Généralités
Exercice 8 :
Soit n ∈ N un entier. Montrer que si n2 est impair, alors n est
Exercice 9 :
Montrer que
impair.
∀n ∈ N,
1/2
n(n2 + 1)
∈ N.
2
Interrogation orale - Logique et raisonnements
Exercice 10 :
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Soit x ∈ R. Montrer que
2.3.2
Récurrence double
Exercice 18 :
∀ε > 0, |x| < ε
⇒ x = 0.
On pose u0 = u1 = 1 et on dénit la suite (un ) par
∀n ∈ N,
2.2
Raisonnement par l'absurde
Exercice 11 :
Montrer que
√
Exercice 13 :
2 est un nombre irrationnel.
Montrer que ln(2)/ ln(3) est un nombre irrationnel.
∀n ∈ N,
Montrer que
√
√
3 6= p + q 2.
Soit x ∈ R∗ tel que x + x−1 ∈ N.
1. Montrer que
1
∈ N.
xn
2. Déterminer un nombre x ∈ R \ Z tel que x + x−1 ∈ N.
∀n ∈ N,
Exercice 14 : On xe un entier n ∈
et des nombres réels 0 6 x0 6 . . . 6
xn 6 1. Montrer qu'il existe des indices 0 6 i < j 6 n tels que xj − xi 6 1/n.
2.3.3
Raisonnement par récurrence
Exercice 16 :
Exercice 17 :
Démontrer que tout entier n ∈ N∗ peut s'écrire de façon unique
sous la forme n = 2p (2q + 1) où (p, q) ∈ N2 .
Exercice 22 :
Montrer que
Démontrer que tout entier n ∈ N∗ s'écrit comme somme de
puissances de 2 toutes distinctes.
Exercice 23 :
∀n ∈ N \ {0, 1},
un+1 = u0 + u1 + · · · + un .
Montrer que pour tout n ∈ N∗ , on a un = 2n−1 .
Montrer que pour tout entier n ∈ N et pour tout nombre réel
x > −1, on a (1 + x)n > 1 + nx.
On pose u0 = 1 et on dénit la suite (un ) par
∀n ∈ N,
Montrer que pour tout entier n ∈ N∗ , on a 2n−1 6 n! 6 nn .
xn +
Récurrence forte
Exercice 21 :
Récurrence simple
Exercice 15 :
un+2 = un+1 + 6un .
Exercice 20 :
N∗
2.3.1
On pose u0 = 3, u1 = 4 et on dénit la suite (un ) par
Montrer que pour tout n ∈ N, on a un = 2 × 3n + (−2)n .
∀(p, q) ∈ Z2 ,
2.3
2
un .
n+2
Montrer que pour tout n ∈ N∗ , on a 1 6 un 6 n2 .
Exercice 19 :
Exercice 12 :
un+2 = un+1 +
1
1
3n
1 + 2 + ··· + 2 >
.
2
n
2n + 1
2/2