Exercices de Logique

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Logique
Exercices de Logique
Exercice 1 :
Compléter les propositions suivantes avec le symbole ⇒ ou ⇐ ou ⇔ :
x2 = 4 . . . . . . x = 2
3x + 1 ≥ 2 . . . . . . x ≥ 31
ABC est un triangle équilatéral . . . . . . ABC est un triangle isocèle
x2 + 3x + 2
x2 + 3x + 2 = x + 1 . . . . . .
=1
x+1
2x
2x = x + 1 . . . . . .
=1
x+1
I milieu de [AB] . . . . . . IA = IB
ABCD est un parallélogramme . . . . . . ABCD est un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur
milieu.
ABCD
est un carré . . . . . . ABCD est un losange.
√
x ≥ 2 ...... x ≥ 4
f est une fonction croissante sur [0; 3] . . . . . . f (1) ≤ f (2)
√
√
x ≤ y ...... x ≤ y
x ∈ R et x3 > 0 . . . . . . x > 0
Exercice 2 :
Donner la négation et la contraposée des implications suivantes (expliciter au préalable les implications) :
1. Si tu ne ranges pas ta chambre, tu n’iras pas au cinéma.
2. Si la fonction f n’est pas continue, elle n’est pas dérivable.
3. Si le nombre réel x est inférieur au nombre réel a, x est inférieur à a + 2.
Exercice 3 :
1. Construire les tables de vérité des propositions suivantes.
a) P ou Q.
P Q P ou Q
b) P et N on(Q).
V V
c) P ⇒ Q.
V F
d) N on(P ) ⇒ N on(Q).
F V
e) N on(Q) ⇒ N on(P ).
f) N on(P ou Q).
F F
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
non(Q)
P et N on(Q)
2. Pour chacune de ces tables, que peut-on en déduire si P est vrai ?
Exercice 4 :
1. Construire les tables de vérité des propositions suivantes.
a) non(P ) ⇒ non(Q).
b) non(Q) ⇒ non(P ).
c) non(P ou Q).
2. Pour chacune des assertions précédentes, si elle est vraie et si Q est faux, que peut-on en déduire sur P ?
Exercice 5 :
Nier les phrases suivantes :
a) La nuit, tous les chats sont gris.
b) Qui a bu boira.
c) Tous les lapins mangent des carottes.
d) Il y a dans ma trousse deux stylos de même couleur.
e) Il y a dans ma trousse deux stylos de couleur différente.
f) Je suis plus âgé que mon frère.
g) Je n’ai pas de frère jumeau.
h) Les éléphants d’Afrique ont des oreilles plus grandes que ceux d’Asie.
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i) Les élèves de la classe ont élu deux déléguées.
j) Il y a au moins une fille rousse dans la classe.
k) Toutes les filles de la classe portent des lunettes.
l) Tous les élèves de la classe sont des garçons.
m) Le professeur de maths porte des lunettes différentes tous les jours.
n) Tous les belges aiment les frites.
o) Il existe des chiens qui n’aiment pas les chats.
p) Il existe au moins une fille de la classe qui ne porte pas de lunettes.
q) La classe est mixte.
r) Les chiens ne font pas des chats.
s) J’ai deux frères.
t) J’ai deux frères et trois sœurs.
u) J’ai deux frères mais pas de sœur.
v) J’ai payé au moins 10 000 euros d’impôts cette année.
w) Les vaches boivent du lait.
x) Tous les flamands sont roses.
y) Tous les élèves de la classe sont plus petits que leur professeur.
z) Tous les élèves de la classe sont plus petits que tous leurs professeurs.
Exercice 5 :
Nier la phrase « toutes les mamans qui ont un fils aux cheveux châtains partiront en vacances avant 50 ans et
iront au cinéma ».
Exercice 6 :
Pour les quatre assertions suivantes, donner leur négation, dire si elles sont vraies ou fausses.
1. ∃x ∈ R ∀y ∈ R x + y > 0
2. ∀x ∈ R ∃y ∈ R x + y > 0
3. ∀x ∈ R ∀y ∈ R x + y > 0
4. ∃x ∈ R ∃y ∈ R x + y > 0
Exercice 7 :
Pour les quatre assertions suivantes, donner leur négation, dire si elles sont vraies ou fausses.
1. ∃x ∈ R ∀y ∈ R y 2 > x
2. ∀x ∈ R ∃y ∈ R y 2 > x
3. ∀x ∈ R ∀y ∈ R y 2 > x
4. ∃x ∈ R ∃y ∈ R y 2 > x
Exercice 8 :
Nier la phrase : « j’ai un voisin qui a une femme japonaise».
Nier la phrase « tous les habitants de la rue du Havre qui ont les yeux bleus gagneront au loto et prendront
leur retraite avant 50 ans».
Exercice 9 : démonstration par l’absurde.
1. Soient p1 , p2 , . . . , pr , une collection de r nombres premiers. Montrer que l’entier N = p1 × p2 × · · · × pr + 1
n’est divisible par aucun des entiers pi pour 1 ≤ i ≤ r.
2. Utiliser la question précédente pour montrer par l’absurde qu’il existe une infinité de nombres premiers.
Exercice 10 : Traduire en phrases ordinaires les assertions suivantes :
Traduire en langage ordinaire les phrases logiques suivantes, puis dire si elle sont vraies ou fausses :
a) (∀n ∈ N), (∃m ∈ N)tel que m > n.
b) (∃m ∈ N), (∀n ∈ N)tel que m > n.
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c) (∀x ∈ Q), (∀z ∈ Q)(∃y ∈ Q)tel que x < y < z.
d) (∀n ∈ N), n ≥ 3 ⇒ n > 6.
e) (∀n ∈ N), (∃m ∈ N)tel que m ≤ n.
f) (∀n ∈ N), (∃p ∈ N)tel que n = 2p + 1.
g) (∀x ∈ R), x < 2 ⇒ x2 < 4.
h) (∀x ∈ R+ ), x ≥ y ⇒ x2 + 1 ≥ y 2 + 1.
Exercice 11 : Traduire en phrases ordinaires les assertions suivantes :
Écrire en utilisant le langage de la logique les phrases suivantes ; dire si elles sont vraies ou fausses :
a) Le carré de tout nombre réel est positif.
b) Un nombre entier divisible par 10 est divisible par 5.
c) Il existe un nombre impair divisible par 2.
d) Le produit de deux nombres réels est positif si et seulement si ces deux nombres réels sont de même signe.
e) Les deux seules solutions de l’équation x2 − 5x + 6 = 0 sont 2 et 3.
f) tous les points du plan sont alignés
g) tout point de la médiatrice ∆ du segment [AB] sont à égale distance de A que de B.
Exercice 12 :
Employer correctement les phrases « il faut que » et « il suffit que » pour traduire en langage courant chacune
des propositions suivantes :
a) A ⇒ B.
b) B ⇐ C.
c) A ⇔ B.
d) (A ⇒ B) ⇒ C.
Donner un exemple pour chacune de ces propositions.
Exercice 13 : contraposée
Écrire la contraposée des implications suivantes et les démontrer (n est un entier naturel, x et y sont des réels).
a) n est premier ⇒ n = 2 ou n est impair.
b) xy 6= 0 ⇒ (x 6= 0 et y 6= 0).
c) x 6= y ⇒ [(x + 1)(y − 1) 6= (x − 1)(y + 1)].
Exercice 14 : démonstration par l’absurde.
En raisonnant par l’absurde, montrer que si un entier q > 1 divise l’entier n > 0, alors q ne divise pas n + 1.
Exercice 15 : démonstrations par l’absurde.
1. Montrer qu’il n’y a pas de plus petit nombre rationnel strictement plus grand que 0.
2. Peut-on construire un triangle dont les côtés mesurent 4 cm, 6 cm et 11 cm ?
3. Soit ABC un triangle tel que AB = 4,9 cm ; AC = 4 cm et BC = 3,1 cm. ABC est-il rectangle ?
4. Soit M RP un triangle tel que M R = 6cm ; M P = 4, 5cm et P R = 3, 2cm. N est le milieu de [M P ] et Q
le point de [M R] tel que QR = 3, 2cm. Les droites (N Q) et (RP ) sont-elles parallèles ?
5. Les nombres 8 ; 13 et 9/2 peuvent-ils être les images respectives de 0 ; -1 et 3/5 par une fonction affine ?
Exercice 16 : démonstration par l’absurde.
1. Soit pour n ≥ 1, xn = 0, 999...9 avec n chiffres 9. Calculer ǫn = 1 − xn .
2. On considère X = 0, 999... écrit avec une infinité de 9.
Justifier que X ≤ 1 ; puis que xn ≤ X pour tout entier n ≥ 1.
On note δ = 1 − X. Justifier que δ ≥ 0.
Montrer par l’absurde que δ = 0.
Que peut-on en déduire ?
Exercice 17 : Un scénario de Lewis Carrol.
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1. Considérons le problème suivant sachant que chacune des assertions suivantes est vraie :
Ou le malfaiteur est venu en voiture, ou le témoin s’est trompé ;
Si le malfaiteur a un complice, alors il est venu en voiture ;
Le malfaiteur n’avait pas de complice et n’avait pas la clé ou bien le malfaiteur avait un complice et avait
la clé ;
Le malfaiteur avait la clé.
Que peut-on en conclure ?
2. Si on remplace la dernière par le malfaiteur n’avait pas la clé, peut-on conclure ?
Exercice 18 :
Trois frères Alfred, Bernard et Claude ont des crayons de couleur différente bleu, rouge et vert. De plus, les
assertions suivantes sont vraies :
Si le crayon d’Alfred est vert, alors le crayon de Bernard est bleu ;
Si le crayon d’Alfred est bleu, alors le crayon de Bernard est rouge ;
Si le crayon de Bernard n’est pas vert, alors le crayon de Claude est bleu
Si le crayon de Claude est rouge, alors le crayon d’Alfred est bleu.
Que peut-on conclure sur la couleur respective des crayons d’Alfred, Bernard et Claude ? Y a-t-il plusieurs
possibilités ?
Exercice 19 :
Parfois fait dans la vie courante, ce qui n’est pas dit est souvent sous-entendu, on confond très souvent contraposée et réciproque : par exemple, si on vous dit :
"si tu es sage ce matin, tu auras du chocolat cet après-midi"
la contraposée est
"si tu n’as pas de chocolat cet après-midi, tu n’as pas été sage ce matin"
et la réciproque
"si tu as du chocolat cet après-midi, tu as été sage ce matin"
Enfin, la contraposée de la réciproque est
"si tu n’est pas sage ce matin, tu n’auras pas de chocolat cet après-midi".
Ce qui n’est pas équivalent à la première phrase. Pourquoi ?
Mais c’est en général cette dernière affirmation qui est dans la tête de celui qui prononce la première (en
appliquant des principes d’éducation positive !)
Exercice 20 :
Montrer par contraposition l’assertion suivante, E étant un ensemble non vide donné : (A∩B = A∪B) ⇒ A = B