Math. Sup. 2012-2013 TD Algèbre n° 3 Math.

Math. Sup. 2012-2013
T.D. Algèbre n° 3
Math.
Exercice 1
Nier les assertions suivantes :
i)
Tous les habitants de la rue du Havre qui ont les yeux bleus gagneront au
loto et prendront leur retraite avant 50 ans.
ii)
Dans toutes les écuries, tous les chevaux sont noirs.
iii)
Si tu es sur la plage alors tu vois la mer.
Exercice 2
Soit f une application de » dans » . Traduire en termes de quantificateurs les expressions
suivantes :
iv)
f atteint toutes les valeurs de » .
v)
f n’est pas strictement décroissante.
Exercice 3
Montrer, avec une table de vérité, que les assertions suivantes sont des tautologies :
a- ( p ⇒ q ) ⇔ ( p ∧ q )
p ⇒ q
p ⇔ q


b-  q ⇒ r ⇔  q ⇔ r
r ⇔ p
r ⇒ p


c- (( p ∨ q ) ⇒ r ) ⇔ (( p ⇒ r ) ∧ (q ⇒ r ))
Exercice 4
Soient a un élément de » et f une fonction de » vers » .
Donner la négation, la réciproque et la contraposée de l’assertion suivante :
(∀x∈ » , f(x + a) ≥0) ⇒ (a ≥0) .
Exercice 5
Donnez la négation des assertions suivantes :
a- ∃ a > 0, ∃ b ≥ 0, ∀ n ∈ », na < b.
b- ∀ x ∈ E , ( x ∈ A ⇒ x ∉ B ) .
c- ∀ ε > 0, ∃ A ∈ » , ∀ x ∈ I , ( x ≥ A ⇒ f ( x) − l ≤ ε ) .
d- ∀ ( x , y ) ∈ I 2 , ∀ λ ∈[0;1], f ( λx + (1 − λ ) y ) ≤ λf ( x ) + (1 − λ ) f ( y ) .
T.S.V.P.
DELFAUD Jacques – ICAM Toulouse – Math. Sup. PTSI
Exercice 6
Soit E un ensemble. Montrer que pour toutes parties A et B de E on a :
a- A ⊂ B ⇔ B ⊂ A ⇔ A \ B = ∅ ⇔ A ∪ B = E .
b- ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ B) = B .
Exercice 7
Soient E un ensemble et A et B deux parties de E.
Montrer que : A∆B = C ⇒ ( A∆C = B et B∆C = A ).
Exercice 8
Soient F, G et H trois sous-ensembles non vides d’un ensemble E.
Montrer que : [(F ∪ G) ⊂ (F ∪ H) et (F ∩ G) ⊂ (F ∩ H)] ⇒ (G ⊂ H).
Exercice 9
Soient E et F deux ensembles non vides, A un sous-ensemble non vide de E et f une
application de E dans F.
Montrer que : (f bijective) ⇒ ( f(E\A) = F\f(A) )
DELFAUD Jacques – ICAM Toulouse – Math. Sup. PTSI