Feuille de TD no 1. Logique, ensembles, applications

Mathématiques BCPST1
Lycée Roland Garros 2016-2017
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Feuille de TD no 1. Logique, ensembles, applications
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Exercice 1
Logique, assertions, quanticateurs
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Traduction Français → Maths
Soit une fonction f : R → R. Exprimer à l'aide de quanticateurs les assertions suivantes :
1. la fonction f ne s'annule pas
2. l'image par la fonction f de tout entier naturel est un entier naturel
3. la fonction f est majorée
4. la fonction f n'est pas paire
5. la fonction f admet pour période 2π.
6. L'équation f (x) = 2 admet au moins deux solutions distinctes
7. Les valeurs de f sont comprises entre 2 et 3
Exercice 2
Traduction Français → Maths (suite)
Exprimer les propositions suivantes à l'aide de quanticateurs puis déterminer
si elles sont vraies ou fausses.
1. tout entier naturel non nul peut s'écrire comme somme de deux nombres
réels positifs non entiers
2. étant donnés trois réels non nuls, il y en a au moins deux de même signe
3. il existe un réel strictement positif dont le cube est strictement négatif
4. il existe un entier naturel supérieur ou égal à tous les autres
5. certains réels sont strictement supérieurs à leur carré
6. tous les réels strictement positifs sont des quotients d'entiers strictement
positifs.
7. tout entier naturel est le carré d'un entier.
Exercice 3
Traduction Maths → Français
Soient I un intervalle de R et f : I → R une fonction dénie sur I à valeurs réelles. Exprimer verbalement la signication des assertions suivantes :
1. ∃a ∈ R : ∀t ∈ I, f (t) = a
2. ∀y ∈ R, ∃x ∈ I : f (x) = y
1
3. ∀M ∈ R, ∃r ∈ I : f (r) ≥ M
4. ∃(m, M ) ∈ R2 : ∀x ∈ I, m ≤ f (x) ≤ M
5. ∀x, y ∈ I, x < y ⇒ f (x) < f (y)
6. ∀x1 , x2 ∈ I, x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 )
Exercice 4
VRAI/FAUX/ÇA DÉPEND
Les assertions suivantes concernent une fonction f : R → R. Déterminer à
chaque fois si l'assertion est toujours vraie, toujours fausse, ou si ça dépend de
f.
1. ∀x ≥ 0, ∃y ≤ 0, f (x) = f (y)
2. ∀x ∈ R, ∃y ∈ R : x = y et f (x) 6= f (y)
3. ∀x ∈ R, ∃y ∈ R : f (x) = y
4. ∃x ∈ R, ∃y ∈ R : f (x) = f (y)
5. ∀x ∈ R : f (x) = 2f (x)
6. ∀t ∈ R, ∀s ∈ R, f (t) = s
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Exercice 5
Ensembles
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Reconnaître des ensembles
Parmi les sous-ensembles de R suivants, plusieurs sont égaux bien qu'écrits
diéremment. Déterminer lesquels.
E1 = {5, 8, 11, 14, 17, . . .}, E2 = {x2 , x ∈ [[1, 5]]}, E3 = [− 23 , 32 ] ∩ Z,
E4 = {y 2 , y ∈ [−5, −1]}, E5 = [[−1, 1]], E6 = [1, +∞[∩[0, +∞[∩] − 1, 25],
E7 = [1, 25], E8 = {3x + 2, x ∈ N∗ }, E9 = {m ∈ [1, 25] : ∃k ∈ N, m = k 2 },
E10 = {−1, 0, 1}, E11 = {n ∈ N∗ : ∃k ∈ N∗ , n = 3k + 2},
E12 = {3n + 2, n ∈ N∗ }, E13 = {m ∈ Z : m ≤ 1 et m ≥ −1},
E14 = {t2 , t ∈ [1, 5]}, E15 = {sin(k π2 ), k ∈ Z}, E16 = {1, 4, 9, 16, 25},
Exercice 6
Sous-parties de R
Décrire, pour chacune de ces assertions, en utilisant les intervalles, l'ensemble
des x ∈ R vériant cette assertion.
1. x > 4 et x < 7 et x 6= 6
2. (x > 0 et x < 3) ou x = 0
2
3. (x < 3 et x ∈ N) ou x = 2
4. (x ∈ R+ ou x = −3) et x < 0
5. ∃u ∈ [3, +∞[: x = u2
Exercice 7
Sous-parties de R2
Dessiner l'allure des sous-parties suivantes de R2 :
A = {(x, y) ∈ R2 : x + y ≥ 1}
B = {(x, y) ∈ R2 : xy < 0}
C = {(x, y) ∈ R2 : y ≤ min(x, 2 − x) et y ≥ −1}
D = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ x2 ou y 2 + (x − 1)2 ≤ 1}
Exercice 8
Simplier l'expression d'un ensemble
Donner une expression plus simple des ensembles suivants. Donner les relations d'inclusion qui existent entre ces ensembles.
1. A = {y ∈ R : ∃t ∈ [3, +∞[: y = t2 }
2. B = {y ∈ R : ∀x ≤ 9, y > x}
3. C = {y ∈ R : ∀t ∈ [3, +∞[, y 6= t2 }
4. D = {y ∈ R : ∃x ≤ 9 : y ≥ x}
Exercice 9
Ensemble des sous-parties d'un ensemble
Déterminer P(E) pour E = {1, 2, 3, 4}. Combien d'éléments possède l'ensemble P(E) ?
Exercice 10
Intersection et union
Soient A, B, C trois sous-parties d'un ensemble E .
1. Préliminaire. Montrer que
(A ∪ B) \ A = B ∩ A.
2. On suppose que
A ∪ B = A ∪ C,
et
Montrer que B = C .
3
A ∩ B = A ∩ C.
Exercice 11
Étude de deux sous-parties de R2
Dans R2 , on dénit les ensembles
F1 = {(x, y) ∈ R2 : y ≤ 0}
et
F2 = {(x, y) ∈ R2 : xy ≥ 1 et x ≥ 0}.
On note M1 M2 la distance usuelle entre deux points M1 et M2 de R2 .
1. Dessiner les ensembles F1 et F2 .
2. Les propositions suivantes sont-elles vraies ?
∀ε > 0, ∃M1 ∈ F1 , ∃M2 ∈ F2 : M1 M2 < ε
∃M1 ∈ F1 , ∃M2 ∈ F2 : ∀ε > 0, M1 M2 < ε
∃ε > 0 : ∀M1 ∈ F1 , ∀M2 ∈ F2 , M1 M2 < ε
∀M1 ∈ F1 , ∀M2 ∈ F2 , ∃ε > 0 : M1 M2 < ε
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Exercice 12
Applications
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Ensemble de dénition
Déterminer l'ensemble de dénition de la fonction u dénie par
√
ln(x − 1) + 4 − x
cos x
u(x) =
+
.
4
x − 16
sin x − 1
Exercice 13
Injectivité, surjectivité
Les applications suivantes sont-elles injectives ? surjectives ? bijectives ?
u : R →
R
x 7→ cos(2x)
v : R → R
x 7→ ex
w : R → R y : R →
R
3
3
x 7→ x
x 7→ x − x
f : Z → Z
x 7→ 2x
g : R → R
x 7→ 2x
h : Z → R
x 7→ 2x
Que penser d'une application qui serait dénie par
F : R → Z
x 7→ 2x
4
?
Exercice 14
Image d'un ensemble par une application
Dans les exemples suivants f est une fonction de R dans R et E est une
sous-partie de R Déterminer f (E).
E = [π/4, 5π/6],
√
E = [0, 17],
f (x) = bxc
f (x) = x2
E = [−1, 2],
Exercice 15
f (x) = cos x
Injectivité, surjectivité
1. Soient deux applications f : E → F et g : F → G. Démontrer les implications suivantes :
(a) si g ◦ f est injective alors f est injective
(b) si g ◦ f est surjective alors g est surjective
2. Soient deux applications u : E → F et v : F → E . On suppose que u ◦ v et
v ◦ u sont bijectives. Montrer que u et v sont bijectives.
Exercice 16
Soit l'application
Calculer une bijection réciproque
h : R → ]0, +∞[
x 7→ ln(1 + ex )
Montrer que h est bijective et expliciter la fonction h−1 .
Exercice 17
Autour de la notion d'image directe
Soient f : E → F une application et A, B deux sous-parties de E .
1. Montrer que si A ⊂ B alors f (A) ⊂ f (B).
2. Montrer que f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B).
3. Montrer que f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B).
4. Est-il toujours vrai que f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B) ?
5
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Techniques de démonstration
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Le but des exercices suivants est d'être capable à travers des
exemples de rédiger dans les règles de l'art les quelques techniques de preuve exposées dans le cours.
Exercice 18
Raisonnement par l'absurde
Montrer par l'absurde que la fonction exponentielle n'est égale à aucun polynôme du second degré. Peut-on généraliser ?
Exercice 19
Récurrences simples
1. Montrer l'inégalité suivante :
∀n ≥ 2, ∀x > 0, (1 + x)n > 1 + nx
2. Montrer que pour tout n ≥ 1,
1 + 2 + 4 + 8 + · · · + 2n = 2n+1 − 1.
(la formule pour une somme géométrique vue au lycée n'est pas supposée connue).
Exercice 20
Récurrence double
Soit x un réel tel que x + 1/x ∈ Z.
1. Montrer par récurrence double que pour tout n ∈ N, xn + 1/xn ∈ Z.
2. Donner un exemple de réel x non entier vériant la condition x + 1/x ∈ Z.
Exercice 21
Récurrence forte
On dénit une suite réelle (un )n∈N par u0 = 0, u1 = 3 et
∀n ∈ N∗ , un+1 =
Montrer par récurrence
Exercice 22
forte
2
(u0 + u1 + u2 + · · · + un ).
n
que pour tout n ∈ N, un = 3n.
Raisonnements par analyse-synthèse
1. Montrer que toute fonction de R dans R s'écrit de manière unique comme
la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.
Exercice 23
Raisonnement par contraposée
6
1. Montrer que si x et y vérient x + y > 1 alors au moins un des deux
est supérieur à 1/2.
2. Montrer que pour tout n ∈ N, si n2 est pair alors n est pair.
Exercice 24
(a)
(b)
(c)
(d)
Vrai ou faux ?
∀x, y ∈ R, x ≤ y et x 6= y ⇔ x < y
∀(x, y, z) ∈ R3 , x < y et y < z ⇒ x < z
∀a ∈ C, ∃b ∈ C : a = b2
∀x, y ∈ R, ∃t ∈ R : x ≤ t ≤ y
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