TD3 - IECL - Université de Lorraine

Université de Lorraine
Département de Mathématiques
Topologie et Analyse Fonctionnelle
Master 1 Mathématiques
F.Robert, J.Maubon
2015-2016
TD3 : Théorèmes d’Ascoli et de Stone-Weierstraß(encore)
1. Quelques lemmes non-démontrés en cours
Exercice 1 : Soit X un espace topologique. Soient u, v ∈ C(X). Montrez de deux
façons différentes que sup{u, v} et inf{u, v} sont continues sur X. On attend ici
une méthode utilisant l’expression du sup et de l’inf avec la valeur absolue, et une
méthode ”à la main” utilisant la définition de la continuité et ””.
Exercice 2 : Soit X un espace topologique. On se donne un ensemble H ⊂ C(X)
tel que pour tous u, v ∈ H, on a sup{u, v} ∈ H. Montrez que pour tout N ≥ 1 et
tous u1 , ..., uN ∈ H, on a sup{u1 , ..., uN } ∈ H.
Exercice 3 : Soit X un espace topologique compact. On se donne une sous-algèbre
H ⊂ C(X) (c’est-à-dire un sous-ensemble non vide stable par combinaison linéaire
et par produit). On définit H := H son adhérence pour la norme u 7→ kukC 0 :=
supx∈X |u(x)|. Montrez que H est aussi une sous-algèbre de C(X).
Exercice 4 : On définit sur R la relation d’équivalence suivante : xRy si et seulement si x − y ∈ 2πZ. On définit alors l’ensemble quotient T := R/2πZ , et on définit
la surjection canonique
p: R → T
x 7→ x̄
où x̄ est la classe d’équivalence de x. On dit que O ⊂ T est ouvert si p−1 (O) est un
ouvert de R. montrez que ceci définit une topologie sur T.
2. Topologie sur les espaces quotients
Soit X un espace topologique et soit G ⊂ Homeo(X) un sous-groupe du groupe
des homéomorphismes de X (c’est-à-dire
Homeo(X) := {f : X → X/ f continue, bijective, et f −1 continue}.
On définit la relation suivante : pour x, y ∈ X, xRG y si et seulement s’il existe
g ∈ G tel que x = g(y).
1. Montrez que RG est une relation d’équivalence sur X.
On définit alors l’ensemble quotient X/G := X/RG . On définit la surjection canonique
p : X → X/G
x 7→
x̄
où x̄ est la classe d’équivalence de x. On dit que O ⊂ X/G est ouvert si p−1 (O) est
un ouvert de X.
2. Montrez que ceci définit une topologie sur X/G .
1
2
On définit l’ensemble des fonctions continues G−invariantes par
CG (X) := {u ∈ C 0 (X)/ u ◦ g = u pour tout g ∈ G}.
On définit alors l’application suivante :
ϕ : C(X/G ) →
f
7→
CG (X)
f ◦p
3. Montrez que ϕ est bien définie.
4. Montrez que ϕ est injective.
5. Montrez que ϕ est surjective.
On suppose dorénavant que X/G , muni de la topologie précédente, est compact.
6. Montrez alors que toute f ∈ CG (X) est bornée et que kf kG := supx∈X |f (x)| est
atteint et définit une norme sur CG (X)
7. On munit alors C(X/G ) de la norme infinie usuelle. Montrez alors que ϕ est une
isométrie et un homéomorphisme.
3. Compactifié d’Alexandrov
Soit X un espace topologique séparé localement compact et non-compact. Pour
∞ 6∈ X, on définit alors X̂ := X ∪ {∞} muni de la topologie donnée au TD2 : cette
topologie rend X̂ compact, c’est le compactifié d’Alexandrov.
Soit f : X → R. On dit que limx→∞ f (x) = 0 si pour tout > 0, il existe K ⊂ X
compact tel que |f (x)| < pour tout x ∈ X \ K. On note alors
C0 (X) := {f ∈ C(X)/ lim f (x) = 0}.
x→∞
1. Soit f ∈ C0 (X). Montrez que kf kC 0 := supx∈X |f (x)| est fini et atteint. Montrez
que k · kC 0 est une norme sur C0 (X).
Pour c ∈ R et u ∈ C0 (X), on définit alors
u : X̂
x
→ R
u(x) si x ∈ X
7
→
0
si x = ∞
2. Montrez que u ∈ C(X̂).
3. Soit f ∈ C(X̂). Montrez que f (∞) = 0 si et seulement si il existe u ∈ C0 (X) tel
que f = u.
4. On définit
ϕ : R × C0 (X) →
(c, u)
7→
C(R̂)
c + ū
et on munit R × C0 (X) de la norme k(c, u)k := |c| + kukC 0 . Montrez que ϕ est
linéaire continue, bijective, de réciproque linéaire continue.
5. On se donne H une sous-algèbre de C0 (X). On définit alors H := ϕ(R × H) =
{c + ū/ c ∈ R et u ∈ H}. Montrez que H est une sous-algèbre de C(X̂).
3
4. Applications du théorème d’Ascoli aux équations différentielles
Exercice
1 : Soit u ∈ C 1 ([0, 1]). Soient x, y ∈ [0, 1]. En écrivant u(x) − u(y) =
Ry 0
u (t) dt et en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz, montrez qu’il existe C > 0
x
p
(dépendant de u) tel que |u(x) − u(y)| ≤ C |y − x|.
On pose
1
Z
A := {u ∈ C ([0, 1])/ u(0) = 1 et
1
u0 (t)2 dt ≤ 2.}
0
Montrez que A est relativement compact dans C 0 ([0, 1]).
Exercice 2 : On considère les solutions u ∈ C 1 ([0, 1]) de l’équation différentielle
o
n
1
sur [0, 1]
u0 (t) = t + 1+u(t)
(E)
2
On admet que de telles solutions existent.
1. On fixe M > 0. On se donne une fonction u ∈ C 1 ([0, 1]) solution de (E) telle
que |u(0)| ≤ M . Montrez qu’il existe une constante C > 0 (indépendante de u) tel
que |u0 (t)| ≤ C pour tout t ∈ [0, 1].
On pose
AM := {u ∈ C 1 ([0, 1])/ u est solution de (E) et |u(0)| ≤ M.}
2. Montrez que AM est relativement compact dans C 0 ([0, 1]).
3. On se donne une suite (un )n telle que un ∈ AM pour tout n ∈ N. On suppose qu’il
existe u ∈ C 0 ([0, 1]) telle que (un ) converge uniformément vers u dans C 0 ([0, 1]).
Montrez que (u0n )n converge uniformément vers une limite f ∈ C 0 ([0, 1]). Montrez
alors que u ∈ C 1 ([0, 1]) et que u0 = f .
4. Montrez que AM est relativement compact dans C 1 ([0, 1]).
Exercice 3 : On se donne f ∈ C 0 ([0, 1]). On considère les solutions u ∈ C 2 ([0, 1])
du système différentiel
00
1
u (t) = f (t) + u(t) + 1+u(t)
sur [0, 1]
2
(E)
u(0) = u(1) = 0
On admet que de telles solutions existent.
1. On fixe M > 0. On se donne une fonction u ∈ C 2 ([0, 1]) solution de (E) telle
que kukC 0 ≤ M . Montrez qu’il existe CM > 0 dépendant de M seulement (donc
pas de u) tel que |u0 (t)| ≤ CM pour tout t ∈ [0, 1].
On pose
AM := {u ∈ C 2 ([0, 1])/ u est solution de (E) et |u(t)| ≤ M pour tout t ∈ [0, 1].}
2. Montrez que AM est relativement compact dans C 0 ([0, 1]).
3. On se donne une suite (un )n telle que un ∈ AM pour tout n ∈ N. On suppose qu’il
existe u ∈ C 0 ([0, 1]) telle que (un ) converge uniformément vers u dans C 0 ([0, 1]).
Montrez que (u00n )n converge uniformément vers une limite f ∈ C 0 ([0, 1]). Montrez
alors que (u0n )n converge uniformément vers une limite g ∈ C 0 ([0, 1]). Montrez que
u ∈ C 2 ([0, 1]) et que u0 = g et u00 = f .
4. Montrez que AM st relativement compact dans C 2 ([0, 1]).