TD3 - IECL - Université de Lorraine

Universit´e de Lorraine 2015-2016
D´epartement de Math´ematiques
Topologie et Analyse Fonctionnelle
Master 1 Math´ematiques
F.Robert, J.Maubon
TD3 : Th´eor`emes d’Ascoli et de Stone-Weierstraß(encore)
1. Quelques lemmes non-d´ emontr´ es en cours
Exercice 1 : Soit Xun espace topologique. Soient u, v ∈C(X). Montrez de deux
fa¸cons diff´erentes que sup{u, v}et inf{u, v}sont continues sur X. On attend ici
une m´ethode utilisant l’expression du sup et de l’inf avec la valeur absolue, et une
m´ethode ”`a la main” utilisant la d´efinition de la continuit´e et ””.
Exercice 2 : Soit Xun espace topologique. On se donne un ensemble H ⊂ C(X)
tel que pour tous u, v ∈ H, on a sup{u, v} ∈ H. Montrez que pour tout N≥1 et
tous u1, ..., uN∈ H, on a sup{u1, ..., uN}∈H.
Exercice 3 : Soit Xun espace topologique compact. On se donne une sous-alg`ebre
H ⊂ C(X) (c’est-`a-dire un sous-ensemble non vide stable par combinaison lin´eaire
et par produit). On d´efinit H:= Hson adh´erence pour la norme u7→ kukC0:=
supx∈X|u(x)|. Montrez que Hest aussi une sous-alg`ebre de C(X).
Exercice 4 : On d´efinit sur Rla relation d’´equivalence suivante : xRysi et seule-
ment si x−y∈2πZ. On d´efinit alors l’ensemble quotient T:= R/2πZ, et on d´efinit
la surjection canonique
p:R→T
x7→ ¯x
o`u ¯xest la classe d’´equivalence de x. On dit que O ⊂ Test ouvert si p−1(O) est un
ouvert de R. montrez que ceci d´efinit une topologie sur T.
2. Topologie sur les espaces quotients
Soit Xun espace topologique et soit G⊂Homeo(X) un sous-groupe du groupe
des hom´eomorphismes de X(c’est-`a-dire
Homeo(X) := {f:X→X/ f continue, bijective, et f−1continue}.
On d´efinit la relation suivante : pour x, y ∈X,xRGysi et seulement s’il existe
g∈Gtel que x=g(y).
1. Montrez que RGest une relation d’´equivalence sur X.
On d´efinit alors l’ensemble quotient X/G := X/RG. On d´efinit la surjection cano-
nique
p:X→X/G
x7→ ¯x
o`u ¯xest la classe d’´equivalence de x. On dit que O ⊂ X/G est ouvert si p−1(O) est
un ouvert de X.
2. Montrez que ceci d´efinit une topologie sur X/G.
1

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On d´efinit l’ensemble des fonctions continues G−invariantes par
CG(X) := {u∈C0(X)/ u ◦g=upour tout g∈G}.
On d´efinit alors l’application suivante :
ϕ:C(X/G)→CG(X)
f7→ f◦p
3. Montrez que ϕest bien d´efinie.
4. Montrez que ϕest injective.
5. Montrez que ϕest surjective.
On suppose dor´enavant que X/G, muni de la topologie pr´ec´edente, est compact.
6. Montrez alors que toute f∈CG(X) est born´ee et que kfkG:= supx∈X|f(x)|est
atteint et d´efinit une norme sur CG(X)
7. On munit alors C(X/G) de la norme infinie usuelle. Montrez alors que ϕest une
isom´etrie et un hom´eomorphisme.
3. Compactifi´ e d’Alexandrov
Soit Xun espace topologique s´epar´e localement compact et non-compact. Pour
∞ 6∈ X, on d´efinit alors ˆ X:= X∪ {∞} muni de la topologie donn´ee au TD2 : cette
topologie rend ˆ Xcompact, c’est le compactifi´e d’Alexandrov.
Soit f:X→R. On dit que limx→∞ f(x) = 0 si pour tout  > 0, il existe K⊂X
compact tel que |f(x)|<  pour tout x∈X\K. On note alors
C0(X) := {f∈C(X)/lim
x→∞ f(x)=0}.
1. Soit f∈C0(X). Montrez que kfkC0:= supx∈X|f(x)|est fini et atteint. Montrez
que k·kC0est une norme sur C0(X).
Pour c∈Ret u∈C0(X), on d´efinit alors
u:ˆ X→R
x7→ u(x) si x∈X
0 si x=∞
2. Montrez que u∈C(ˆ X).
3. Soit f∈C(ˆ X). Montrez que f(∞) = 0 si et seulement si il existe u∈C0(X) tel
que f=u.
4. On d´efinit
ϕ:R×C0(X)→C(ˆ R)
(c, u)7→ c+ ¯u
et on munit R×C0(X) de la norme k(c, u)k:= |c|+kukC0. Montrez que ϕest
lin´eaire continue, bijective, de r´eciproque lin´eaire continue.
5. On se donne Hune sous-alg`ebre de C0(X). On d´efinit alors H:= ϕ(R× H) =
{c+ ¯u/ c ∈Ret u∈ H}. Montrez que Hest une sous-alg`ebre de C(ˆ X).

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4. Applications du th´ eor` eme d’Ascoli aux ´ equations diff´ erentielles
Exercice 1 : Soit u∈C1([0,1]). Soient x, y ∈[0,1]. En ´ecrivant u(x)−u(y) =
Ry
xu0(t)dt et en utilisant l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz, montrez qu’il existe C > 0
(d´ependant de u) tel que |u(x)−u(y)| ≤ Cp|y−x|.
On pose
A:= {u∈C1([0,1])/ u(0) = 1 et Z1
0
u0(t)2dt ≤2.}
Montrez que Aest relativement compact dans C0([0,1]).
Exercice 2 : On consid`ere les solutions u∈C1([0,1]) de l’´equation diff´erentielle
nu0(t) = t+1
1+u(t)2sur [0,1] o(E)
On admet que de telles solutions existent.
1. On fixe M > 0. On se donne une fonction u∈C1([0,1]) solution de (E) telle
que |u(0)| ≤ M. Montrez qu’il existe une constante C > 0 (ind´ependante de u) tel
que |u0(t)| ≤ Cpour tout t∈[0,1].
On pose
AM:= {u∈C1([0,1])/ u est solution de (E) et |u(0)| ≤ M.}
2. Montrez que AMest relativement compact dans C0([0,1]).
3. On se donne une suite (un)ntelle que un∈AMpour tout n∈N. On suppose qu’il
existe u∈C0([0,1]) telle que (un) converge uniform´ement vers udans C0([0,1]).
Montrez que (u0
n)nconverge uniform´ement vers une limite f∈C0([0,1]). Montrez
alors que u∈C1([0,1]) et que u0=f.
4. Montrez que AMest relativement compact dans C1([0,1]).
Exercice 3 : On se donne f∈C0([0,1]). On consid`ere les solutions u∈C2([0,1])
du syst`eme diff´erentiel
u00(t) = f(t) + u(t) + 1
1+u(t)2sur [0,1]
u(0) = u(1) = 0 (E)
On admet que de telles solutions existent.
1. On fixe M > 0. On se donne une fonction u∈C2([0,1]) solution de (E) telle
que kukC0≤M. Montrez qu’il existe CM>0 d´ependant de Mseulement (donc
pas de u) tel que |u0(t)| ≤ CMpour tout t∈[0,1].
On pose
AM:= {u∈C2([0,1])/ u est solution de (E) et |u(t)| ≤ Mpour tout t∈[0,1].}
2. Montrez que AMest relativement compact dans C0([0,1]).
3. On se donne une suite (un)ntelle que un∈AMpour tout n∈N. On suppose qu’il
existe u∈C0([0,1]) telle que (un) converge uniform´ement vers udans C0([0,1]).
Montrez que (u00
n)nconverge uniform´ement vers une limite f∈C0([0,1]). Montrez
alors que (u0
n)nconverge uniform´ement vers une limite g∈C0([0,1]). Montrez que
u∈C2([0,1]) et que u0=get u00 =f.
4. Montrez que AMst relativement compact dans C2([0,1]).