I. Loi de probabilité d`une variable aléatoire II. Espérance d`une

Lycée Jules Verne 2016-2017
TES
Cours Probabilités discrètes A. Heliard
I. Loi de probabilité d’une variable aléatoire
Soit El’ensemble des issues d’une expérience aléatoire.
On définit une variable aléatoire Xsur Equand on associe un nombre réel à chaque issue de E. On dit que
l’ensemble des ces réels est l’ensemble des valeurs de X.
Définition(s).
Soit Xune variable aléatoire définie sur l’univers E. On note {x1;x2;...;xn}les valeurs prises par X.
La loi de probabilité de la variable aléatoire Xest la donnée de toutes les probabilités p(X=xi)où 16i6n.
On présente souvent ces données par un tableau : xix1x2... xn
p(X=xi)p1p2... pn
Définition(s).
II. Espérance d’une variable aléatoire
On considère une variable aléatoire Xdont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant :
xix1x2... xn
p(X=xi)p1p2... pn
On appelle espérance mathématique de Xle nombre
E(X) = x1p1+x2p2+... +xnpn
Remarques :
•L’espérance mathématique peut être interprétée comme une valeur moyenne dans le cas d’un grand nombre de répétitions.
•Un jeu est équitable si l’espérance mathématique du gain du joueur est nulle.
•E(X)a la même unité que celle des valeurs xi.
III. Loi binomiale
1. Épreuve et schéma de Bernoulli
•Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, l’une appelée succès
(S), l’autre échec (S).
exemple : pièce de monnaie
•Une loi de Bernoulli est une loi de probabilité définie sur l’ensemble Ω = {S;S}des issues d’une épreuve de
Bernoulli.
On associe au succès Sune probabilité p(06p61). La probabilité de l’échec est donc 1−p.ps’appelle le
paramètre de la loi de Bernoulli.
•Un schéma de Bernoulli est une répétition d’épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
Définition(s).
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2. Loi binomiale
On considère un schéma de Bernoulli, répétition de népreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de même
paramètre p. On note Xla variable aléatoire qui associe à cette répétition de népreuves le nombre de succès.
La loi de probabilité de Xest appelée loi binomiale de paramètres net p, on note B(n, p).
Définition(s).
Soit Xla variable aléatoire comptant le nombre de Pile dans une suite de 3 lancés de pièce de monnaie.
P
PP
F
FP
F
F
PP
F
FP
F
k0 1 2 3
P(X=k)1
8
3
8
3
8
1
8
Exemple.
On représente à l’aide d’un arbre un schéma de Bernoulli à népreuves.
Pour tout entier ktel que 06k6n, le nombre de chemins réalisant ksucès est noté n
k, lire "kparmi n". Ces
nombres sont appelés coefficients binomiaux.
Définition(s).
Si Xest une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètre net p, alors pour tout entier ktel que
06k6n,
•
P(X=k) = n
kpk(1 −p)n−k
•
E(X) = np
Proposition.
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