Lycée Jules Verne 2016-2017 TES I. Cours Probabilités discrètes A. Heliard Loi de probabilité d’une variable aléatoire Définition(s). Soit E l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire. On définit une variable aléatoire X sur E quand on associe un nombre réel à chaque issue de E. On dit que l’ensemble des ces réels est l’ensemble des valeurs de X. Définition(s). Soit X une variable aléatoire définie sur l’univers E. On note {x1 ; x2 ; ...; xn } les valeurs prises par X. La loi de probabilité de la variable aléatoire X est la donnée de toutes les probabilités p(X = xi ) où 1 6 i 6 n. xi x1 x2 ... xn On présente souvent ces données par un tableau : p(X = xi ) p1 p2 ... pn II. Espérance d’une variable aléatoire On considère une variable aléatoire X dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant : xi p(X = xi ) x1 p1 x2 p2 ... ... xn pn On appelle espérance mathématique de X le nombre E(X) = x1 p1 + x2 p2 + ... + xn pn Remarques : • L’espérance mathématique peut être interprétée comme une valeur moyenne dans le cas d’un grand nombre de répétitions. • Un jeu est équitable si l’espérance mathématique du gain du joueur est nulle. • E(X) a la même unité que celle des valeurs xi . III. 1. Loi binomiale Épreuve et schéma de Bernoulli Définition(s). • Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, l’une appelée succès (S), l’autre échec (S). exemple : pièce de monnaie • Une loi de Bernoulli est une loi de probabilité définie sur l’ensemble Ω = {S; S} des issues d’une épreuve de Bernoulli. On associe au succès S une probabilité p (0 6 p 6 1). La probabilité de l’échec est donc 1 − p. p s’appelle le paramètre de la loi de Bernoulli. • Un schéma de Bernoulli est une répétition d’épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. 1 Lycée Jules Verne 2016-2017 TES 2. Cours Probabilités discrètes A. Heliard Loi binomiale Définition(s). On considère un schéma de Bernoulli, répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de même paramètre p. On note X la variable aléatoire qui associe à cette répétition de n épreuves le nombre de succès. La loi de probabilité de X est appelée loi binomiale de paramètres n et p, on note B(n, p). Exemple. Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de Pile dans une suite de 3 lancés de pièce de monnaie. P b b P b F b P b F b P b F b P b F b P F b b P b F b F b k 0 1 2 3 P (X = k) 1 8 3 8 3 8 1 8 Définition(s). On représente à l’aide d’un arbre un schéma de Bernoulli à n épreuves. n Pour tout entier k tel que 0 6 k 6 n, le nombre de chemins réalisant k sucès est noté , lire "k parmi n". Ces k nombres sont appelés coefficients binomiaux. Proposition. Si X est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètre n et p, alors pour tout entier k tel que 0 6 k 6 n, • n k P (X = k) = p (1 − p)n−k k • E(X) = np 2