I. Loi de probabilité d`une variable aléatoire II. Espérance d`une

Lycée Jules Verne 2016-2017
TES
I.
Cours Probabilités discrètes
A. Heliard
Loi de probabilité d’une variable aléatoire
Définition(s).
Soit E l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire.
On définit une variable aléatoire X sur E quand on associe un nombre réel à chaque issue de E. On dit que
l’ensemble des ces réels est l’ensemble des valeurs de X.
Définition(s).
Soit X une variable aléatoire définie sur l’univers E. On note {x1 ; x2 ; ...; xn } les valeurs prises par X.
La loi de probabilité de la variable aléatoire X est la donnée de toutes les probabilités p(X = xi ) où 1 6 i 6 n.
xi
x1 x2 ... xn
On présente souvent ces données par un tableau :
p(X = xi ) p1 p2 ... pn
II.
Espérance d’une variable aléatoire
On considère une variable aléatoire X dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant :
xi
p(X = xi )
x1
p1
x2
p2
...
...
xn
pn
On appelle espérance mathématique de X le nombre
E(X) = x1 p1 + x2 p2 + ... + xn pn
Remarques :
• L’espérance mathématique peut être interprétée comme une valeur moyenne dans le cas d’un grand nombre de répétitions.
• Un jeu est équitable si l’espérance mathématique du gain du joueur est nulle.
• E(X) a la même unité que celle des valeurs xi .
III.
1.
Loi binomiale
Épreuve et schéma de Bernoulli
Définition(s).
• Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, l’une appelée succès
(S), l’autre échec (S).
exemple : pièce de monnaie
• Une loi de Bernoulli est une loi de probabilité définie sur l’ensemble Ω = {S; S} des issues d’une épreuve de
Bernoulli.
On associe au succès S une probabilité p (0 6 p 6 1). La probabilité de l’échec est donc 1 − p. p s’appelle le
paramètre de la loi de Bernoulli.
• Un schéma de Bernoulli est une répétition d’épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
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2.
Cours Probabilités discrètes
A. Heliard
Loi binomiale
Définition(s).
On considère un schéma de Bernoulli, répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de même
paramètre p. On note X la variable aléatoire qui associe à cette répétition de n épreuves le nombre de succès.
La loi de probabilité de X est appelée loi binomiale de paramètres n et p, on note B(n, p).
Exemple.
Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de Pile dans une suite de 3 lancés de pièce de monnaie.
P
b
b
P
b
F
b
P
b
F
b
P
b
F
b
P
b
F
b
P
F
b
b
P
b
F
b
F
b
k
0
1
2
3
P (X = k)
1
8
3
8
3
8
1
8
Définition(s).
On représente à l’aide d’un arbre un schéma de Bernoulli à n épreuves.
n
Pour tout entier k tel que 0 6 k 6 n, le nombre de chemins réalisant k sucès est noté
, lire "k parmi n". Ces
k
nombres sont appelés coefficients binomiaux.
Proposition.
Si X est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètre n et p, alors pour tout entier k tel que
0 6 k 6 n,
•
n k
P (X = k) =
p (1 − p)n−k
k
•
E(X) = np
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