Dérivabilité - BCPST Hoche

Chapitre 9
Dérivabilité
– Connaître les définitions de la dérivée en un point,
– Connaître les dérivées usuelles,
– Savoir utiliser le théorème de Rolle et des accroissements finis,
– Utiliser la dérivée d’une fonction pour étudier ses variations.
– Savoir utiliser le théorème de prolongement C1.
– Connaître et savoir utiliser la formule de Taylor-Lagrange.
– Formule de dérivée d’une composée, et de la bijection réciproque.
– Montrer qu’une fonction est de classe Cn, et utiliser la formule de Leibniz
– Connaître quelques propriétés des fonctions convexes.
CC
BY: $
\
=
I Dérivée en un point, sur un intervalle
Comme pour les limites, on considère une fonction définie sur un domaine D⊂R, à valeurs dans R.
Lorsqu’on regarde la dérivée en x0, on suppose que le domaine Dcontient un petit intervalle autour x0(à
droite et à gauche). Lorsqu’on regarde la dérivée à droite (resp. à gauche) on suppose que le domaine D
contient un petit intervalle à droite (resp. à gauche) de x0.
⋆Définitions
Définition 1. On dit que le fonction fest dérivable au point x0, si la fonction définie Tx0définie par :
Tx0:x7→ f(x)−f(x0)
x−x0
admet une limite finie en x0.
Cette fonction est bien définie pour les x6=x0, tel que x∈D, donc d’après les hypothèse au moins sur
un intervalle du type ]x0−α, x0[∪]x0, x0+α[, on peut donc parler de sa limite en x0.
Autrement dit si :
∃L∈R,lim
x→x0
f(x)−f(x0)
x−x0
=L
Ce qui s’écrit aussi :
∃L∈R,lim
h→0
f(x0+h)−f(x0)
h=L, ou ∃L∈R, f(x) =
x0
f(x0) + L(x−x0) + o(x−x0)
Le nombre Lest alors appelé nombre dérivé et noté f′(x0),df
dx(x0), ou Df(x0).
1

2CHAPITRE 9. DÉRIVABILITÉ
Remarque:
– La fonction Tx0associe à x6=x0, le coefficient directeur de la droite qui passe par les deux points
(x0, f(x0), (x, f(x)). Ainsi, f′(x0) peut être interprété comme la limite du coefficient directeur de
cette droite, i.e. le coefficient directeur de la tangente au point x0.
– L’équation de la tangente est alors :
∆ : y=f′(x0)(x−x0) + f(x0).
– Une fonction est donc dérivable si elle est égale à sa tangente à un o(x−x0) près, c’est-à-dire si la
différence avec sa tangente est négligeable devant la quantité (x−x0).
– On peut aussi voir que si limx→x0
f(x)−f(x0)
x−x0= +∞, la tangente en x0est verticale.
– Enfin, notons que la dérivabilité est une propriété locale, donc si deux fonctions sont égales sur un
intervalle d’un point x0, l’une est dérivable si et seulement si l’autre l’est.
Application 1 À partir de la définition montrer que la fonction f:x7→ 1
xest dérivable en x0, avec
f′(x0) = −1
x2
0
. Idem pour les fonction x7→ ax +b, et pour les fonctions x7→ √x.
⋆Dérivée à droite et à gauche
Enfin, on peut définir la dérivée à droite et à gauche selon :
Définition 2. On dit que la fonction fest dérivable à droite (resp. à gauche) si la fonction Tx0admet
une limite à droite (resp. à gauche) en x0. On note alors f′
d(x0)(resp. f′
g(x0)).
On a de plus la proposition :
Proposition 1. Une fonction fdéfinie autour et en x0est dérivable en x0si et seulement si elle est
dérivable à gauche et à droite avec de plus f′
d(x0) = f′
g(x0).
Démonstration. Cela revient à dire : Tx0admet une limite en x0si et seulement si elle admet une limite à
droite et à gauche et que ces deux dérivées sont égales.
Cette proposition sert généralement à démontrer qu’une fonction de la forme :
f:x7→ 
f1(x) si x60
f2(x) sinon
est dérivable, en calculant les dérivées à gauche et à droite en 0.
Application 2 Soit la fonction définie sur Rpar :
f(x) = 
0 si x60
xsin(x) sinon
Montrer que fest dérivable.
⋆Dérivabilité et continuité
Enfin, on a vu que si fest dérivable en x0, on a : f(x) =
x0
f(x0) + f′(x0)(x−x0) + o(x−x0), donc : on
af(x) =
x0
f(x0) + o(1). Ce qui est une autre manière d’écrire que la fonction fest continue en x0. Ainsi :
Proposition 2. Une fonction dérivable en x0est continue en x0. On a aussi : une fonction dérivable à
droite (resp. à gauche) en x0est continue à droite (resp. à gauche) en x0.
Il est donc inutile de se demander si une fonction non continue est dérivable.
Attention : certaines fonctions sont continues sur leur intervalle de définition, mais ne sont pas dérivable
au bords de leur intervalle définition (√·,| · |, arcsin et arccos, par exemple).

I. DÉRIVÉE EN UN POINT, SUR UN INTERVALLE 3
⋆Fonction dérivée
On étend comme pour la continuité la définition de la dérivabilité en un point à un intervalle selon :
Définition 3. On dit que la fonction fest dérivable sur l’ensemble D,si elle est dérivable en tout point
de D.
Pour traiter le cas des bords d’un intervalle, si Dest de la forme [a, b], on dit que est dérivable sur [a, b]
si et seulement si fest dérivable en tout point de ]a, b[, et si fest dérivable à droite de aet à gauche de
b. On pose de plus f′(a) = f′
d(a)et f′(b) = f′
g(b).
On peut alors définir l’application dérivée :
f′(x) = (D→R
x7→ f′(x)
On note aussi f′=Df =df
dx .
Exemple: Considérons la fonction
R→R
x7→ 
x2sin 1
xsi x6= 0
0 si x= 0
Par des théorèmes généraux (que l’on va voir plus loin dans ce chapitre), la fonction fest dérivable sur
]0,+∞[, avec ∀x6= 0, f ′(x) = 2xsin 1
x−cos 1 x.
Étudions la dérivabilité en 0.
Déjà, on peut remarquer que ∀x6= 0,|f(x)|6x2, en particulier fest continue en 0, cela a donc un
sens de se demander si elle est dérivable.
De même que pour la continuité, on a :
∀x6= 0,
f(x)−f(0)
x−0=
f(x)
x=xsin 1 x6|x| −−−→
x→00.
Ainsi, fest aussi dérivable en 0, avec f′(0) = 0
Cette exemple montre que pour déterminer l’ensemble sur laquelle une fonction fest dérivable, il ne faut
pas calculer la dérivée puis déterminer l’ensemble de définition de la fonction f′.
Ici par exemple, l’expression de f′que l’on obtient en dérivant n’est pas définie en 0, et n’admet même pas
de limite en 0. Pourtant fest dérivable en 0 et f′(0) = 0.
La fonction f′est donc définie sur R, par :
f′x7→ 
2xsin 1
x−cos 1 xsi x6= 0
0 si x= 0
Application 3 Représenter cette fonction. Vérifier que f′(x) n’admet pas de limite en 0.
⋆Extension aux fonctions à valeurs dans C, dans R2et R3
La notion de dérivée 1se généralise au cas d’une fonction fà valeurs dans Cet Rn(n∈N) de manière
naturelle : toutes les composantes de la fonction fdoivent être dérivable, et la dérivée de fest constituée
des dérivées de chaque composante.
1. Ainsi que celle de continuité.

4CHAPITRE 9. DÉRIVABILITÉ
Définition 4. Soit f:D⊂R→C, on note aet bles fonction D→R, telle que f(x) = a(x) + ib(x). On
dit que la fonction fest dérivable en un point x0(resp. sur D) si et seulement si aet bsont dérivable en
x0(resp. en tout point de D). Dans ce cas on note f′(x0) = a′(x0) + ib′(x0)la fonction dérivée est alors
aussi une fonction de D→C.
Soit f:D⊂R→R2, (resp. R3), on note f1et f2les fonctions D→R, telle que f(x) = (f1(x), f2(x))
(resp. f3telle que f(x) = (f1(x), f2(x), f3(x))).
On dit que fest dérivable en en un point x0(resp. sur D) si et seulement si f1et f2(et f3) sont
dérivables en x0(resp. en tout point de D). Dans ce cas, on note : f′(x0) = (f′
1(x0), f′
2(x0), f′
3(x0)).
Notons que dans le cas d’une fonction de R→C, on a bien limx→x0
f(x)−f(x0)
x−x0
=f′(x0), en séparant
partie réelle (a(x)) et imaginaire (b(x)).
Application 4 En dérivant eix par rapport à x, retrouver les dérivées de cos(x) et sin(x).
II Opérations sur les dérivées
⋆Combinaison linéaire
Proposition 3. Si fest gsont deux fonctions dérivables, et λ,µdes réels, alors : la fonction λf +µg est
dérivable avec :
(λf +µg)′=λf′+µg′
Démonstration. Il faut montrer que
lim
h→0
(λf +µg)(x0+h)−(λf +µg)(x0)
h=λf′(x0) + µg′(x0)
Ce qui est évident en écrivant :
(λf +µg)(x0+h)−(λf +µg)(x0)
h=λf(x0+h)−f(x0) h+µg(x0+h)−g(x0) h
⋆Produit
Proposition 4. Si fet gsont dérivables alors la fonction fg aussi avec (f g)′=f′g+g′f.
Démonstration. On doit montrer que
lim
x→x0
fg(x)−f g(x0)
x−x0
=f′(x0)g(x0) + f(x0)g′(x0)
Cela provient de :
f(x)g(x)−f(x0)g(x0)
x−x0
=g(x)
|{z}
→g(x0)
f(x)−f(x0)
x−x0
|{z }
→f′(x0)
+f(x0)g(x)−g(x0)
x−x0
|{z }
→g′(x0)
.
Pour conclure, il faut utiliser le fait que gest continue en x0(car dérivable).

II. OPÉRATIONS SUR LES DÉRIVÉES 5
⋆Composition
Proposition 5. On suppose que la fonction g◦fest définie sur un intervalle D, autrement dit que gest
définie sur un intervalle D′, avec ∀x∈D, f (x)∈D′. Si fest dérivable sur Det si gest dérivable sur
f(D),g◦fest alors dérivable avec (g◦f)′= (g′◦f)×f′.
Démonstration. On doit démontrer :
lim
x→x0
g(f(x)) −g(f(x0))
x−x0
=g′(f(x0))f′(x0)
Si f(x)6=f(x0), on peut écrire :
g(f(x)) −g(f(x0))
x−x0
=g(f(x)) −g(f(x0))
f(x)−f(x0)×f(x)−f(x0) x−x0
(9.1)
Comme f(x)→f(x0), on peut poser y=f(x) et y0=f(x0) et on a : y→y0.
Par composée des limites, on a donc :
lim
x→x0
g(f(x)) −g(f(x0))
f(x)−f(x0)= lim
y→f(x0)
g(y)−g(y0))
y−y0
=g′(y0) = g′(f(x0))
Comme d’un autre côté, on a :
lim
x→x0
f(x)−f(x0)
x−x0
=f′(x0)
On a bien :
lim
x→x0
g(f(x)) −g(f(x0))
x−x0
=g′(f(x0))f′(x0).
Sauf que cette démonstration a un gros défaut, en effet on suppose que l’on a : f(x)6=f(x0), pour tous les
xautour de x0(dans un voisinage de x0), pour pouvoir écrire 9.1, mais cela n’est pas forcément le cas.
La démonstration marche alors car si f(x) = f(x0), peut importe la valeur (finie) que l’on donne à
l’expression :
g(f(x)) −g(f(x0))
f(x)−f(x0)
la relation 9.1 est toujours vraie, car à la fois :
g(f(x)) −g(f(x0))
x−x0
= 0 et f(x)−f(x0)
x−x0
= 0.
On introduit donc une fonction φdéfinie par :
φ(y) = 
g(y)−g(y0)
y−y0si y6=y0
g′(y0) sinon.
Cette fonction correspond à la fonction qui associe le coefficient directeur de la droite passant par (y0, g(y0))
et (y, g(y)).
Il s’agit d’une fonction continue, puisque gest dérivable.
L’égalité 9.1 peut donc s’écrire alors :
g(f(x)) −g(f(x0))
x−x0
=φ(f(x)) ×f(x)−f(x0)
x−x0
Cette égalité est alors vraie pour tout x. Comme on a : limx→x0φ(f(x)) = limy→y0φ(y) = g′(y0) par
définition de la continuité, on obtient donc le résultat de manière rigoureuse.
Application 1 Soit la fonction f:x7→ sin( 1
x) montrer qu’il n’y a que ∀α > 0,∃x∈R,|x|< α, f (x) = 0.
Autrement dit, autour de 0 la fonction prend une infinité de fois la valeur 0, c’est pour cela que dans a
démonstration on est obligé de considérer la fonction φ.