Manipuler des variables aléatoires finies

Fiche méthodologique no21
Manipuler des variables
aléatoires finies
1 Déterminer une loi de probabilité
Déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire Xsur un espace probabilisé
fini (Ω,P(Ω), P ), c’est déterminer :
— l’ensemble X(Ω) des valeurs possibles de X,
— les probabilités P(X=x)pour toutes les valeurs x∈X(Ω).
Exercice d’application 1
Déterminer la loi de probabilité du maximum d’un lancer de 42 dés équilibrés à six faces.
Même question pour le minimum.
Exercice d’application 2
Soit n∈N. On choisit au hasard et de façon équiprobable un entier Xentre 1et n, puis
un entier Yentre 1et X. Déterminer la loi de probabilité de Y.
On peut également se ramener aux lois de probabilités usuelles :
— la loi uniforme U(n)où n∈N?,
— la loi de Bernoulli B(p)où p∈[0,1],
— la loi binomiale B(n, p)où (n, p)∈N×[0,1],
— la loi hypergéométrique H(N, n, p)où (N, n, p)∈N×J0, N K×[0,1] avec Np ∈N.
Exercice d’application 3
On tire successivement et sans remise dix boules d’une urne contenant 40 boules blanches
et 10 boules noires. Chaque boule blanche fait gagner 1ealors que chaque boule noire
fait perdre 5e. Déterminer la loi de probabilité du gain. Même question si le tirage
s’effectue successivement et avec remise, ou si le tirage s’effectue simultanément.
2 Calculer une espérance et une variance
2.1 A l’aide de la loi de probabilité
Soit Xune variable aléatoire sur un espace probabilisé fini (Ω,P(Ω), P ). L’espérance
et la variance de Xsont définies par
E(X) = X
x∈X(Ω)
xP (X=x)
et V(X) = E((X−E(X))2) = X
x∈X(Ω)
(x−E(X))2P(X=x).
Il suffit donc de déterminer la loi de probabilité de Xpour calculer son espérance et
sa variance. Pour la variance, il est souvent plus simple d’utiliser la formule de Koenig-
Huygens :
V(X) = E(X2)−E(X)2=X
x∈X(Ω)
x2P(X=x)−E(X)2.
Exercice d’application 4
Déterminer l’espérance et la variance du maximum d’un lancer de 42 dés équilibrés à
six faces. Même question pour le minimum.
Exercice d’application 5
Soit n∈N. On choisit au hasard et de façon équiprobable un entier Xentre 1et n, puis
un entier Yentre 1et X. Déterminer l’espérance et la variance de Y.
2.2 A l’aide du théorème de transfert
Dans le cas d’une variable aléatoire composée g(X)où X est une variable aléatoire
sur un espace probabilisé fini (Ω,P(Ω), P )et g:X(Ω) →Rest une fonction réelle, le
théorème de transfert permet de calculer l’espérance de g(X)seulement à l’aide de la
loi de probabilité de X:
E(g(X)) = X
x∈X(Ω)
g(x)P(X=x).
En particulier, le théorème de transfert permet de calculer l’espérance de g(X)sans
avoir besoin de déterminer sa loi de probabilité.
Exercice d’application 6
Soit Xune variable aléatoire de loi uniforme U(n)où n∈N?. Déterminer l’espérance
et la variance du maximum entre Xet son espérance E(X).
Exercice d’application 7
On tire successivement et sans remise dix boules d’une urne contenant 40 boules blanches
et 10 boules noires. Chaque boule blanche fait gagner 1ealors que chaque boule noire
fait perdre 5e. Déterminer l’espérance du gain. Même question si le tirage s’effectue
successivement et avec remise, ou si le tirage s’effectue simultanément.
3 Utiliser l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev
L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet d’estimer la dispersion d’une variable
aléatoire X, c’est-à-dire la variabilité et l’étendue des différentes valeurs de Xautour
BCPST 1A lycée Hoche 2016-2017 1 sur 2 Sébastien Godillon

de son espérance. Plus précisément :
∀α > 0, P |X−E(X)|>α6V(X)
α2.
En passant à l’événement complémentaire et en fixant α > 0, l’inégalité de Bienaymé-
Tchebychev permet de montrer que la variable aléatoire Xprendra une valeur de l’in-
tervalle ]E(X)−α, E(X) + α[avec une probabilité au moins égale à 1−V(X)/α2qui
tend vers 1quand αtend vers +∞.
Remarque : L’estimation fournie par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev est souvent
médiocre, autrement dit le majorant V(X)/α2est beaucoup plus grand que la valeur
exacte de P(|X−E(X)|>α), mais son grand avantage est qu’elle nécessite seulement
la connaissance de l’espérance et la variance de X.
Exercice d’application 8
On lance 10 fois une pièce équilibrée. Déterminer la probabilité d’obtenir au moins 8
«piles» et comparer avec la majoration obtenue à l’aide de l’inégalité de Bienaymé-
Tchebychev.
Exercice d’application 9
Soit Xune variable aléatoire finie d’espérance 9et d’écart-type 3. Déterminer un inter-
valle qui contient Xavec probabilité supérieure à 95%.
BCPST 1A lycée Hoche 2016-2017 2 sur 2 Sébastien Godillon