Fiche méthodologique no 21 et X V (X) = E((X − E(X))2 ) = (x − E(X))2 P (X = x) . x∈X(Ω) Manipuler des variables aléatoires finies Il suffit donc de déterminer la loi de probabilité de X pour calculer son espérance et sa variance. Pour la variance, il est souvent plus simple d’utiliser la formule de KoenigHuygens : X V (X) = E(X 2 ) − E(X)2 = 1 x∈X(Ω) Déterminer une loi de probabilité Déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire X sur un espace probabilisé fini (Ω, P(Ω), P ), c’est déterminer : — l’ensemble X(Ω) des valeurs possibles de X, — les probabilités P (X = x) pour toutes les valeurs x ∈ X(Ω). Exercice d’application 1 Déterminer la loi de probabilité du maximum d’un lancer de 42 dés équilibrés à six faces. Même question pour le minimum. Exercice d’application 2 Soit n ∈ N. On choisit au hasard et de façon équiprobable un entier X entre 1 et n, puis un entier Y entre 1 et X. Déterminer la loi de probabilité de Y . On peut — la loi — la loi — la loi — la loi également se ramener aux lois de probabilités usuelles : uniforme U(n) où n ∈ N? , de Bernoulli B(p) où p ∈ [0, 1], binomiale B(n, p) où (n, p) ∈ N × [0, 1], hypergéométrique H(N, n, p) où (N, n, p) ∈ N × J0, N K × [0, 1] avec N p ∈ N. Exercice d’application 3 On tire successivement et sans remise dix boules d’une urne contenant 40 boules blanches et 10 boules noires. Chaque boule blanche fait gagner 1e alors que chaque boule noire fait perdre 5e. Déterminer la loi de probabilité du gain. Même question si le tirage s’effectue successivement et avec remise, ou si le tirage s’effectue simultanément. 2 2.1 A l’aide de la loi de probabilité Soit X une variable aléatoire sur un espace probabilisé fini (Ω, P(Ω), P ). L’espérance et la variance de X sont définies par E(X) = x∈X(Ω) BCPST 1A lycée Hoche 2016-2017 xP (X = x) Exercice d’application 4 Déterminer l’espérance et la variance du maximum d’un lancer de 42 dés équilibrés à six faces. Même question pour le minimum. Exercice d’application 5 Soit n ∈ N. On choisit au hasard et de façon équiprobable un entier X entre 1 et n, puis un entier Y entre 1 et X. Déterminer l’espérance et la variance de Y . 2.2 A l’aide du théorème de transfert Dans le cas d’une variable aléatoire composée g(X) où X est une variable aléatoire sur un espace probabilisé fini (Ω, P(Ω), P ) et g : X(Ω) → R est une fonction réelle, le théorème de transfert permet de calculer l’espérance de g(X) seulement à l’aide de la loi de probabilité de X : E(g(X)) = X g(x)P (X = x) . x∈X(Ω) En particulier, le théorème de transfert permet de calculer l’espérance de g(X) sans avoir besoin de déterminer sa loi de probabilité. Exercice d’application 6 Soit X une variable aléatoire de loi uniforme U(n) où n ∈ N? . Déterminer l’espérance et la variance du maximum entre X et son espérance E(X). Exercice d’application 7 On tire successivement et sans remise dix boules d’une urne contenant 40 boules blanches et 10 boules noires. Chaque boule blanche fait gagner 1e alors que chaque boule noire fait perdre 5e. Déterminer l’espérance du gain. Même question si le tirage s’effectue successivement et avec remise, ou si le tirage s’effectue simultanément. Calculer une espérance et une variance X x2 P (X = x) − E(X)2 . 3 Utiliser l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet d’estimer la dispersion d’une variable aléatoire X, c’est-à-dire la variabilité et l’étendue des différentes valeurs de X autour 1 sur 2 Sébastien Godillon de son espérance. Plus précisément : V (X) ∀α > 0, P |X − E(X)| > α 6 . α2 En passant à l’événement complémentaire et en fixant α > 0, l’inégalité de BienayméTchebychev permet de montrer que la variable aléatoire X prendra une valeur de l’intervalle ]E(X) − α, E(X) + α[ avec une probabilité au moins égale à 1 − V (X)/α2 qui tend vers 1 quand α tend vers +∞. Remarque : L’estimation fournie par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev est souvent médiocre, autrement dit le majorant V (X)/α2 est beaucoup plus grand que la valeur exacte de P (|X − E(X)| > α), mais son grand avantage est qu’elle nécessite seulement la connaissance de l’espérance et la variance de X. Exercice d’application 8 On lance 10 fois une pièce équilibrée. Déterminer la probabilité d’obtenir au moins 8 «piles» et comparer avec la majoration obtenue à l’aide de l’inégalité de BienayméTchebychev. Exercice d’application 9 Soit X une variable aléatoire finie d’espérance 9 et d’écart-type 3. Déterminer un intervalle qui contient X avec probabilité supérieure à 95%. BCPST 1A lycée Hoche 2016-2017 2 sur 2 Sébastien Godillon