Exercices de probabilités et statistique

ESIEA (3ème année)
Exercices de probabilités et statistique
Exercice 1. Montrer que
a) Cnp  Cnn  p
b) Cnp  Cnp1  Cnp11
c) Cn0  Cn1  .... Cnn 2n .
En déduire que si E est un ensemble de n éléments alors l’ensemble de toutes les parties de E, noté
P(E), contient 2n éléments.
Exercice 2. Soit (, F, P) un espace probabilisé et A1, A2, …,An des éléments de F. Montrer que
i n
a)
b)
i n
 Ai   Ai
i 1
i 1
i n
i n
A  Ai
i
i 1
i 1
Où Ai est le complémentaire de l’événement Ai dans ,
1  i  n.
Exercice 3. Soit (, F, P) un espace probabilisé et A et B deux événements de F. Montrer les
propriétés suivantes :
a) Si A  F alors P( A ) 1 – P(A), où A est l’événement complémentaire de A.
b) P( ) = 0.
c) Si A et B appartiennent à F et A  B alors on a P (A)  P(B).
d)  A  F on 0  P(A)  1.
e)  A et B appartenant à F on a P(A  B) = P(A) + P(B) – P (A  B).
Exercice 4. On lance n fois une pièce de monnaie, on suppose que la probabilité d’obtenir pile est
égale à la probabilité d’obtenir face. Soient A et B les événements suivants :
A = « obtenir au plus une fois pile »
B = « obtenir au moins une fois pile et au moins une fois face »
a) Calculer P(A) et P(B) pour n=2 et n= 3.
b) Calculer P(A  B) pour n = 2 et n = 3 ; A et B sont-ils indépendants pour n = 2 ?
pour n = 3 ?
Exercice 5 On lance deux fois de suite un dé à six faces numérotées de 1 à 6. Décrire
l’espace fondamental  associé à cette expérience. On définit la variable
aléatoire (v.a.) X comme suit :
X :   R
  X() = | a1 – a2|
où ai est le chiffre apparu lors du ième lancer.
Déterminer l’ensemble X() des valeurs de X.
Donner la loi de probabilité de la v.a. X
En déduire l’espérance mathématique et la variance de X.
Exercice 6. Soit X une variable aléatoire définie sur un espace de probabilité (, F, P).
Montrer les propriétés suivantes de l’espérance mathématique E[X] et de la variance V[X] :
a) E[aX + b] = a E[X] + b,
b) V[aX + b] = a² V[X],
c)  [aX + b] = |a|  [X],
a et b étant des constantes.
Exercice 7. Les variables aléatoires indépendantes X1 et X2 sont telles que X1 suit une loi de Poisson
de paramètre 1 et X2 suit une loi de Poisson de paramètre 2.
Montrer que la variable aléatoire X1 + X2 suit une loi de Poisson de paramètre 1+2.
Exercice 8. Montrer la convergence de la loi binomiale B(n,p) vers la loi de Poisson P(=np)
lorsque n tend vers l’infini.
Exercice 9. Soit X une variable aléatoire susceptible de prendre toutes les valeurs entières allant de
1 à n avec la probabilité
P(X = k) = C. (k-1)/n pour k = 1, 2, …, n.
a) Calculer la valeur de la constante C.
b) Calculer l’espérance mathématique de X.
Exercice 10. On considère une variable aléatoire (v.a.) dont la densité de probabilité est donnée
par :
 2x si x [0, ] , où  0
 ²
f(x) 

0 sin on
a) Vérifier que la fonction f est bien une densité de probabilité. Représenter son graphe.
b) Déterminer la fonction de répartition de la v.a. X. Représenter son graphe.
c) Calculer l’espérance mathématique et la variance de X.