MATRISE DE MATHÉMATIQUES : M1 S2 TOPOLOGIE (4 heures

UNIVERSIT´ E D’ARTOIS
FACULT ´ E JEAN PERRIN
Examen Juin. Ann´ee 2004/05
MATRISE DE MATH´ EMATIQUES : M1 S2
TOPOLOGIE
(4 heures)
Exercice 1
♣♣♣
Soit l’application f: (X, TX)→(Y, TY) continue et surjective.
On d´efinit sur l’espace Xla relation
x1∼x2⇐⇒ f(x1) = f(x2).
(a) Montrer que
la relation ∼est une relation d’´equivalence
et que
l’application F:X/∼−→ Y, donn´ee par F(π(x)) = f(x),
est bien d´efine, bijective et continue.
(b) Donner des conditions suffisantes sur fet/ou Xet/ou Ypour que Fsoit un hom´eo-
morphisme.
(c) Consid´erons les espaces topologiques (X, TX)≡(R2,Tdiscr`ete), (Y, TY)≡(R,TR) et l’appli-
cation f: (R2,Tdiscr`ete)−→ (R,TR) d´efinie par f(x, y) = y.
Montrer que
fest continue et surjective mais que F:R2/∼→Rn’est pas un hom´eomorphisme.
Exercice 2
♣♣♣♣
Soient Xet Ydeux ouverts disjoints d’un espace topologique Z.
Consid´erons deux points base x0∈Xet y0∈Y.
On consid`ere sur l’union X∪Yla relation d’´equivalence ∼d´efinie par:
u∼v⇔hu=vou (u, v) = (x0, y0) ou (u, v) = (y0, x0)i.
On d´efinit le bouquet de Xet Ypar X∨Y= (X∪Y)/∼.
Le but de cet exercice est de montrer que X∨Y∼
={(x, y)∈X×Y|x=x0ou y=y0}.
(d) Montrer que l’application
f:X∨Y→ {(x, y)∈X×Y|x=x0ou y=y0},
donn´ee par f(π(z)) = (z, y0) si z∈X
(x0, z) si z∈Y, est bien d´efinie, bijective et continue.
(e) Expliciter les sous-ensembles satur´es de X∪Y.
(f) Montrer que fest un hom´eomorphisme.

Exercice 3
♣♣♣♣♣
On consid`ere
- le cylindre CY ={(x, y, z)∈R3|x2+y2= 1},
- le cˆone CO ={(x, y, z)∈R3|x2+y2=z2}et
-A={(x, y, z)∈CY |z= 0}.
(g) La projection canonique π:CY →CY/A est-elle ouverte? ferm´ee?
(h) Montrer que CY/A ∼
=CO.
Exercice 4
♣♣♣♣
D´ecrire les espaces topologiques suivants.
(i)
-
66
-
a
a
bb
(j)
@
@
@
@@
@ B
B
B
B
B
B
B
B
-
6
?
@
@R
@
@I 
c
a
ac
b
d
d
b
(k)
@
@
@
@@
@
-
6
?
@
@R
@
@I 
c
a
ac
b
d
d
b
(l)
@
@
@
@@
@ B
B
B
B
B
B
B
B
-
6
?
@
@R
@
@I 
c
a
ac
b
d
d
b
Exercice 5
♣♣♣♣
Soit Gun groupe topologique dont l’op´eration est not´ee multiplicativement ·et dont le l’´el´ement
neutre est not´e e.
Si f, g : [0,1] →Gsont deux applications, on d´efinie l’application f·g: [0,1] →Gpar (f·g)(x) =
f(x)·g(x).
Rappelons que ∗d´esigne la composition des chemins.
Soient γ1, γ2, γ3, γ4des lacets dans Gbas´es au point e.
(m) Montrer que si γ1˙ 'γ2et γ3˙ 'γ4alors γ1·γ3˙ 'γ2·γ4.
(n) Montrer que (γ1∗γ2)·(γ3∗γ4) = (γ1·γ3)∗(γ2·γ4).
(o) Montrer que γ1∗γ2˙ 'γ1·γ2et que γ1∗γ2˙ 'γ2·γ1.
(p) Montrer que π1(G, e) est un groupe ab´elien.