HLMA 502 Contrôle Continu du jeudi 17 novembre 2016

Universit´e de Montpellier - Facult´e des Sciences
Ann´ee Universitaire 2016-2017
HLMA 502
Contrˆole Continu du jeudi 17 novembre 2016
Dur´ee : 1h30
Questions de cours
1. Topologie quotient. Soient (X, OX) et (Y, OY) deux espaces topologiques et ∼une relation
d’´equivalence sur X. On note p:X→X/∼la projection qui, `a tout x∈X, associe sa classe
d’´equivalence [x] dans X/∼.
(a) Donner la d´efinition de la topologie quotient O∼sur X/∼et montrer que pest continue
pour cette topologie.
(b) Montrer que f:X/∼→Yest continue sur X/∼si et seulement si f◦pest continue sur X.
2. Connexit´e.
(a) Donner la d´efinition d’un espace topologique connexe.
(b) Soient (X, OX) et (Y, OY) deux espaces topologiques et f:X→Yune application con-
tinue. Montrer que pour toute partie connexe A∈ P(X), son image directe f(A) est
connexe dans Y.
Exercice 1
On consid`ere E=C0([0,1]) l’espace vectoriel des fonctions continues sur [0,1] muni de la norme
k.k∞et on note
N:E→R
u7→ R1
0|u(t)|t2dt
Par ailleurs, pour tout k∈N∗on note uk: [0,1] →Rd´efinie par
uk(t) = 1−kt si t≤1
k
0 si t > 1
k
1. Montrer que Nest une norme sur E.
2. Pour toutk∈N∗, justifier que uk∈E, et calculer N(uk). La suite (uk)k∈N∗converge-t-elle dans
(E, N) ?
3. Pour tout a∈[0,1], on consid`ere l’application Ja:E→Rd´efinie, pour tout u∈Epar
Ja(u) = u(a). Montrer que l’application Jaest continue pour la norme k.k∞. En d´eduire que la
suite (uk)k∈N∗ne converge pas dans (E, k.k∞).
4. Soit F={u∈E|u(0) = 0}. Montrer que Fest une partie ferm´ee de (E, k.k∞) et une partie
dense de (E, N).

Exercice 2
On consid`ere un espace topologique (X, OX). On rappelle qu’une partie A∈ P(X) est dense si
¯
A=X.
1. Montrer que A∩B⊂¯ A∩¯ Bet donner un exemple o`u l’inclusion est stricte.
2. (a) Montrer que Aest dense si et seulement si Acest d’int´erieur vide.
(b) Montrer que Aest dense si et seulement si, pour tout ouvert non vide Uon a A∩U6=∅.
3. (a) Donner un exemple de deux parties denses dont l’intersection n’est pas dense.
(b) Soient Uet Vdeux ouverts denses de X. Montrer que U∩Vest dense.
(c) Si (U1, . . . , Un) est une famille finie d’ouverts denses, l’intersection U1∩ · · · ∩ Unest-elle une
partie dense? Que se passe-t-il pour une famille quelconque ?