Universit´e de Montpellier - Facult´e des Sciences
Ann´ee Universitaire 2016-2017
HLMA 502
Contrˆole Continu du jeudi 17 novembre 2016
Dur´ee : 1h30
Questions de cours
1. Topologie quotient. Soient (X, OX) et (Y, OY) deux espaces topologiques et une relation
d’´equivalence sur X. On note p:XX/la projection qui, `a tout xX, associe sa classe
d’´equivalence [x] dans X/.
(a) Donner la d´efinition de la topologie quotient Osur X/et montrer que pest continue
pour cette topologie.
(b) Montrer que f:X/Yest continue sur X/si et seulement si fpest continue sur X.
2. Connexit´e.
(a) Donner la d´efinition d’un espace topologique connexe.
(b) Soient (X, OX) et (Y, OY) deux espaces topologiques et f:XYune application con-
tinue. Montrer que pour toute partie connexe A∈ P(X), son image directe f(A) est
connexe dans Y.
Exercice 1
On consid`ere E=C0([0,1]) l’espace vectoriel des fonctions continues sur [0,1] muni de la norme
k.ket on note
N:ER
u7→ R1
0|u(t)|t2dt
Par ailleurs, pour tout kNon note uk: [0,1] Rd´efinie par
uk(t) = 1kt si t1
k
0 si t > 1
k
1. Montrer que Nest une norme sur E.
2. Pour toutkN, justifier que ukE, et calculer N(uk). La suite (uk)kNconverge-t-elle dans
(E, N) ?
3. Pour tout a[0,1], on consid`ere l’application Ja:ERd´efinie, pour tout uEpar
Ja(u) = u(a). Montrer que l’application Jaest continue pour la norme k.k. En d´eduire que la
suite (uk)kNne converge pas dans (E, k.k).
4. Soit F={uE|u(0) = 0}. Montrer que Fest une partie ferm´ee de (E, k.k) et une partie
dense de (E, N).
Exercice 2
On consid`ere un espace topologique (X, OX). On rappelle qu’une partie A∈ P(X) est dense si
¯
A=X.
1. Montrer que AB¯
A¯
Bet donner un exemple o`u l’inclusion est stricte.
2. (a) Montrer que Aest dense si et seulement si Acest d’int´erieur vide.
(b) Montrer que Aest dense si et seulement si, pour tout ouvert non vide Uon a AU6=.
3. (a) Donner un exemple de deux parties denses dont l’intersection n’est pas dense.
(b) Soient Uet Vdeux ouverts denses de X. Montrer que UVest dense.
(c) Si (U1, . . . , Un) est une famille finie d’ouverts denses, l’intersection U1∩ · · · ∩ Unest-elle une
partie dense? Que se passe-t-il pour une famille quelconque ?
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