S3M28[16-17].pdf

Universit´ e Mohammed V, Rabat 2016-2017
Facult´ e des Sciences SMA 5 - M28
D´ epartement de Math´ ematiques Mesures et Int´egration
S´erie 3 -Mesures positives
Exercice 1 Soit Xun ensemble infini non d´ enombrable. On d´ efinit sur P(X)l’application µ(A) =
0 si Aest au plus d´ enombrable, et µ(A) = +∞sinon. Montrer que µest une mesure sur P(X).
Exercice 2 Soient (X;M,µ)un espace mesur´ e et (Y,M0)un espace mesurable. Soit fune appli-
cation (M,M0)-mesurable. Montrer que l’application d´ efinie par µf(B) = µ(f−1(B)) est une mesure
sur (Y,M0).
Exercice 3 Soient (X;M;µ)un espace mesur´ e, Aune tribu sur Xincluse dans Met MFla tribu
trace de F⊂X.
(1) Montrer que la restriction de µ` aAest une mesure. Est-elle finie (resp. σ-finie) si µest finie
(resp. σ-finie)?
(2) V´ erifier que MF⊂Msi et seulement si F∈M. Montrer dans ce cas que la restriction de µ` a
MFest une mesure sur MF. Cette mesure est-elle finie?
Exercice 4 Soit (X;M;µ)un espace mesur´ e fini, et (An)n∈Net (Bn)n∈Ndeux suites d’´ el´ ements de
Mavec Bn⊂Anpour tout n∈N. Montrer que
µ [
n∈N
An!−µ [
n∈N
Bn!≤∑
n∈N
(µ(An)−µ(Bn)).
Exercice 5 Soit (X;M;µ)un espace mesur´ e fini et (An)n∈N⊂Mtelle que, pour tout n∈N,
µ(An) = µ(X). Montrer que µ(T
n∈N
An) = µ(X).
Exercice 6 Soient (X,M,µ)un espace mesur´ e et (An)n∈N⊂M. Montrer que µ(lim supnAn) = 0
sous l’hypoth` ese que ∞
∑
n=0
µ(An)<+∞.
Exercice 7 Soit C⊂ P(X), et met µdeux mesures sur l’espace mesurable (X;M=σ(C)). On
suppose que Cest stable par intersection finie et que que m=µsur C.
(1) Montrer que si X∈Cet que m(X)<+∞, alors m=µsur M.
(2) Donner un exemple pour lequel X∈Cet m6=µ.
Exercice 8 Soient µune mesure finie sur la tribu bor´ elienne B(R). On d´ efinit la fonction ψpar
ψ(x):=µ([x,+∞[) pour tout x∈R.
(1) Montrer que ψest d´ ecroissante et continue ` a gauche sur R. Calculer les limites de ψen ±∞.
(2) Montrer que ψest continue en x∈Rsi et seulement si µ({x}) = 0.
(3) En d´ eduire que l’ensemble {x∈R;µ({x})6=0}est d´ enombrable. On admettra que l’ensemble
de points de discontinuit´e d’une fonction monotone de Rdans Rest au plus d´enombrable.
Exercice 9 (Devoir `a rendre) Soit (X,M,µ)un espace mesur´ e et f:X−→ Rune application
mesurable. On consid` ere B={f6=0}et An={| f| ≤ n}pour tout n∈N.
(1) Montrer que si µ(X)6=0, alors il existe n0∈Ntel que µ(An0)6=0.
(2) V´ erifier que B∈M.
(3) On suppose que µ(B)6=0. Montrer qu’il existe A∈Met ε>0 v´ erifiant µ(A)6=0 et
|f(x)| ≥ εpour tout x∈A.[Indication: Consid´erer les ensembles Bn={| f|>1/n}].