HLMA 502 Chapitre 2 : Espaces topologiques Exercices

Université de Montpellier - Faculté des Sciences
Année Universitaire 2016-2017
HLMA 502
Chapitre 2 : Espaces topologiques
Exercices
Philippe Castillon (1 )
Exercice 1. Soit (X, O) un espace topologique, et soient A, B ∈ P(X). Les assertions suivantes sont-elles
vraies ?
1. A ∪ B = Ā ∪ B̄ et A ∩ B = Ā ∩ B̄
2. int(A ∪ B) = Å ∪ B̊ et int(A ∩ B) = Å ∩ B̊
3. (Ā)c = int(Ac ) et int(A)c = Ac .
Exercice 2. Soit (X, d) un espace métrique.
1. Montrer que pour tout A ∈ P(X) on a diam(Ā) = diam(A).
2. Donner un exemple d’espace métrique tel que diam(B(x, r)) < diam(Bf (x, r)). Que peut-on en
conclure sur l’adhérence d’une boule ouverte?
3. On suppose maintenant que X est un espace vectoriel et d la distance associée à une norme. Montrer
que B(x, r) = Bf (x, r).
Exercice 3. Soient (X, OX ) et (Y, OY ) des espaces topologiques. Toute partie A ∈ P(X) est munie de
la topologie induite sur A. Montrer les assertions suivantes :
1. Si f : X → Y est constante, alors f est continue.
2. Si f : X → Y est continue, alors pour tout A ∈ P(X) sa restriction f|A : A → Y est continue.
3. Soit f : X → Y . Si la famille d’ouverts (Ui )i∈I recouvre X et si, pour tout i ∈ I f|Ui est continue,
alors f est continue sur X.
4. Soient F et G deux fermés de X tels que F ∪ G = X. Si f : F → Y et g : G → Y sont continues et
vérifient f (x) = g(x) pour tout x ∈ F ∩ G, alors l’application h définie par
f (x) si x ∈ F
h(x) =
g(x) si x ∈ G
est continue.
1 Département
de Mathématiques, CC 051, Université de Montpellier, Pl. Eugène Bataillon, 34095 Montpellier cedex 5.
Mèl : [email protected]
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Exercice 4. On munit X = [0, 1[∪{2} et Y = [0, 1] de leurs topologies induites par celle de R, et on
considère f : X → Y définie par
x si x ∈ [0, 1[
f (x) =
1 si x = 2
Montrer que f est une bijection continue, mais n’est pas un homéomorphisme.
Exercice 5. Soit (X, d) un espace métrique et A ∈ P(X) une partie non vide de X. Pour tout x ∈ X
on définit la distance de x à A par
d(x, A) = inf{d(x, y) | y ∈ A}
1. Montrer que d(x, A) est bien définie. Que vaut d(x, A) si x ∈ A ?
2. Calculer d(x, A) dans les cas suivants.
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| n ∈ N} et x = 0.
(a) X = R, A = { n+1
(b) X = R2 , A = {(s, t) | s = t} et x = (2, 3).
(c) X muni de la distance discrète, A quelconque et x 6∈ A.
(d) X = R, A = Q et x ∈ R quelconque.
3. Pour tous x, y ∈ X, montrer que d(x, A) ≤ d(x, y) + d(y, A) et |d(x, A) − d(y, A)| ≤ d(x, y).
4. Montrer que l’application f : X → R définie par f (x) = d(x, A) est continue et en déduire que
{x ∈ X | d(x, A) = 0} est un fermé de X.
5. Montrer que Ā = {x ∈ X | d(x, A) = 0}
Exercice 6. Soient (X, OX ) et (Y, OY ) deux espaces topologiques. On munit X × Y de la topologie
produit et on considère A ∈ P(X), B ∈ P(Y ). Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
1. Å × B̊ = int(A × B)
2. Ā × B̄ = A × B
Exercice 7. Soit (X, O) un espace topologique. Montrer que X est séparé si et seulement si la diagonale
∆ = {(x, x) | x ∈ X} est fermée dans X × X.
Exercice 8. Soient X, Y deux espaces topologiques et f : X → Y une application continue. On définit
la relation ∼f sur X par
x ∼f y ⇐⇒ f (x) = f (y)
1. Montrer que ∼f est une relation d’équivalence. On notera [x] la classe d’équivalence d’un élément
x ∈ X.
2. On définit f¯ : X/∼f → f (X) par f¯([x]) = f (x). Montrer que f¯ est une bijection continue.
3. On suppose que f est une application ouverte (i.e. pour tout ouvert U de X, f (U ) est un ouvert
de Y ). Montrer que f¯ est alors un homéomorphisme.
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Pour s’entrainer
Exercice 9. Montrer que la topologie induite sur Z par celle de R est la topologie discrète.
Plus généralement, soit (X, d) un espace métrique tel que ∀x, y ∈ X d(x, y) ∈ N. Montrer que la
topologie de (X, d) est la topologie discrète.
Exercice 10. Soit (X, O) un espace topologique et A ∈ P(X). A quelle condition sur A sa fonction
caractéristique χA : X → R est-elle continue ?
Exercice 11.
Soit (X, O) un espace topologique et A ∈ P(X). Un point x ∈ X est un point
d’accumulation de A si pour tout voisinage V ∈ V(x) on a (V \ {x}) ∩ A 6= ∅.
On note A0 l’ensemble des points d’accumulation de A.
1. Déterminer les points d’accumulation des ensembles suivants :
o
n 1 n ∈ N ⊂ R.
Q ⊂ R, Z ⊂ R,
n+1
2. Montrer que A0 ⊂ Ā et Ā = A ∪ A0 .
3. Un point x ∈ X est un point isolé de A si x ∈ A et x n’est pas un point d’accumulation de A.
(a) Écrire la définition d’un point isolé de A en terme de voisinages.
(b) Déterminer les points isolés des trois parties de la question 1.
(c) Si X est muni de la topologie discrète, quels sont ses points isolés ?
4. On suppose que X = R. Montrer que pour toute partie A de X on a Å ⊂ A0 . Cette propriété
est-elle vraie dans un espace topologique quelconque ?
Exercice 12. Topologie du complémentaire fini.
Sur R on considère O = {U ∈ P(R) | U = ∅ ou U c est une partie finie}.
1. Montrer que O est une topologie sur R. Est-elle plus fine que la topologie usuelle ? Est-elle moins
fine ?
2. Montrer que les voisinages de a ∈ R sont exactement les ouverts contenant a.
3. Montrer que cette topologie n’est pas séparée.
4. On considère les suites (xn )n∈N , (yn )n∈N , (zn )n∈N et (tn )n∈N définies par
xn = n,
yn =
1
,
n+1
zn = (−1)n ,
tn = 1.
(a) Montrer que pour tout a ∈ R, les suites (xn )n∈N et (yn )n∈N convergent vers a.
(b) Montrer que (zn )n∈N ne converge pas.
(c) Montrer que (tn )n∈N converge vers a si et seulement si a = 1.
(d) Soit (un )n∈N une suite de réels qui admette deux limites distinctes a 6= b. Montrer que tout
réel c est limite de (un )n∈N . Question difficile : on pourra commencer par montrer que, si
(un )n∈N converge vers l, alors, pour tout x 6= l, {n ∈ N | un = x} est fini.
Exercice 13. On note O la topologie usuelle sur R et on note
O0 = {U ∈ P(R) | U = ∅ ou U c est une partie finie ou dénombrable}.
Montrer que O0 est une topologie sur R. Est-elle plus fine que O ? Est-elle moins fine ?
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Exercice 14. Soit (X, OX ) un espace topologique. On appelle frontière d’une partie A ∈ P(X) l’ensemble
Fr(A) = Ā ∩ Ac .
1. Montrer que Ac = int(A)c et Fr(A) = Ā \ Å.
2. Déterminer l’adhérence, l’intérieur et la frontière de chacune des parties suivantes
B = Q ∩ R∗+ ⊂ R,
A =] − 1, 1] ⊂ R,
C = Z ∩ R− ⊂ R
3. Soit A ∈ P(X). Montrer que Fr(Ā) ⊂ Fr(A) et Fr(Å) ⊂ Fr(A). Donner un exemple de partie de R
telle que Fr(A), Fr(Ā) et Fr(Å) soient deux à deux distincts.
4. Soient A, B ∈ P(X).
(a) Montrer que Fr(A ∪ B) ⊂ Fr(A) ∪ Fr(B) et donner un exemple de parties de R pour lesquelles
l’inclusion est stricte.
(b) Si Ā ∩ B̄ = ∅, montrer que Fr(A ∪ B) = Fr(A) ∪ Fr(B).
Exercice 15. Soit G un sous-groupe non trivial de (R, +), et soit a = inf(G ∩ R∗+ ).
1. Si a = 0, montrer que G est dense dans R.
2. Si a > 0, montrer que G = aZ (ie. l’ensemble des multiples entiers de a).
On a donc une alternative topologique pour un sous-groupe additif de R : il est soit discret, soit dense.
Exercice 16. On définit sur R la relation d’équivalence ∼Z par x ∼Z y ⇐⇒ x − y ∈ Z, et on note R/Z
l’espace quotient.
1. Montrer que R/Z est homéomorphe au cercle S 1 = {z ∈ C | |z| = 1}.
2. De façon analogue, pour un sous-groupe G de (R, +) on définit sur R la relation d’équivalence ∼G
par x ∼G y ⇐⇒ x − y ∈ G, et on note R/G l’espace quotient. En utilisant le résultat de l’exercice
précédent, montrer que R/G est soit homéomorphe à S 1 , soit muni de la topologie grossière.
Exercice 17. Soit (E, N ) un espace vectoriel réel muni d’une norme N . On munit les espaces E × E et
R × E de la topologie produit et on considère les applications
E → R
E×E → E
R×E → E
N:
,
s:
,
p:
x 7→ N (x)
(x, y) 7→ x + y
(λ, x) 7→ λx
1. Montrer que les applications N , s et p sont continues.
2. Soit S = {x ∈ E | N (x) = 1} et soit
φ:
R∗+ × S → E \ {0}
(λ, x) 7→ λx
Montrer que φ est un homéomorphisme.
3. Donner un homéomorphisme entre R et R∗+ , et en déduire un homéomorphisme entre R × S et
R∗+ × S.
4. Dans ce qui suit, on identifie C à R2 , on note S1 l’ensemble des nombres complexes de module 1,
et C = S1 × R. Représenter C dans R3 et déduire de ce qui précède que C est homéomorphe à C∗ .
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