Pour s’entrainer
Exercice 9. Montrer que la topologie induite sur Zpar celle de Rest la topologie discr`ete.
Plus g´en´eralement, soit (X, d) un espace m´etrique tel que ∀x, y ∈X d(x, y)∈N. Montrer que la
topologie de (X, d) est la topologie discr`ete.
Exercice 10. Soit (X, O) un espace topologique et A∈ P(X). A quelle condition sur Asa fonction
caract´eristique χA:X→Rest-elle continue ?
Exercice 11. Soit (X, O) un espace topologique et A∈ P(X). Un point x∈Xest un point
d’accumulation de Asi pour tout voisinage V∈ V(x) on a (V\ {x})∩A6=∅.
On note A0l’ensemble des points d’accumulation de A.
1. D´eterminer les points d’accumulation des ensembles suivants :
Q⊂R,Z⊂R,n1
n+ 1
n∈No⊂R.
2. Montrer que A0⊂¯
Aet ¯
A=A∪A0.
3. Un point x∈Xest un point isol´e de Asi x∈Aet xn’est pas un point d’accumulation de A.
(a) ´
Ecrire la d´efinition d’un point isol´e de Aen terme de voisinages.
(b) D´eterminer les points isol´es des trois parties de la question 1.
(c) Si Xest muni de la topologie discr`ete, quels sont ses points isol´es ?
4. On suppose que X=R. Montrer que pour toute partie Ade Xon a ˚
A⊂A0. Cette propri´et´e
est-elle vraie dans un espace topologique quelconque ?
Exercice 12. Topologie du compl´ementaire fini.
Sur Ron consid`ere O={U∈ P(R)|U=∅ou Ucest une partie finie}.
1. Montrer que Oest une topologie sur R. Est-elle plus fine que la topologie usuelle ? Est-elle moins
fine ?
2. Montrer que les voisinages de a∈Rsont exactement les ouverts contenant a.
3. Montrer que cette topologie n’est pas s´epar´ee.
4. On consid`ere les suites (xn)n∈N, (yn)n∈N, (zn)n∈Net (tn)n∈Nd´efinies par
xn=n, yn=1
n+ 1, zn= (−1)n, tn= 1.
(a) Montrer que pour tout a∈R, les suites (xn)n∈Net (yn)n∈Nconvergent vers a.
(b) Montrer que (zn)n∈Nne converge pas.
(c) Montrer que (tn)n∈Nconverge vers asi et seulement si a= 1.
(d) Soit (un)n∈Nune suite de r´eels qui admette deux limites distinctes a6=b. Montrer que tout
r´eel cest limite de (un)n∈N.Question difficile : on pourra commencer par montrer que, si
(un)n∈Nconverge vers l, alors, pour tout x6=l,{n∈N|un=x}est fini.
Exercice 13. On note Ola topologie usuelle sur Ret on note
O0={U∈ P(R)|U=∅ou Ucest une partie finie ou d´enombrable}.
Montrer que O0est une topologie sur R. Est-elle plus fine que O? Est-elle moins fine ?
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