HLMA 502 Chapitre 2 : Espaces topologiques Exercices

Universit´e de Montpellier - Facult´e des Sciences
Ann´ee Universitaire 2016-2017
HLMA 502
Chapitre 2 : Espaces topologiques
Exercices
Philippe Castillon (1)
Exercice 1. Soit (X, O) un espace topologique, et soient A, B ∈ P(X). Les assertions suivantes sont-elles
vraies ?
1. A∪B=¯ A∪¯ Bet A∩B=¯ A∩¯ B
2. int(A∪B) = ˚ A∪˚ Bet int(A∩B) = ˚ A∩˚ B
3. ( ¯ A)c= int(Ac) et int(A)c=Ac.
Exercice 2. Soit (X, d) un espace m´etrique.
1. Montrer que pour tout A∈ P(X) on a diam( ¯ A) = diam(A).
2. Donner un exemple d’espace m´etrique tel que diam(B(x, r)) <diam(Bf(x, r)). Que peut-on en
conclure sur l’adh´erence d’une boule ouverte?
3. On suppose maintenant que Xest un espace vectoriel et dla distance associ´ee `a une norme. Montrer
que B(x, r) = Bf(x, r).
Exercice 3. Soient (X, OX) et (Y, OY) des espaces topologiques. Toute partie A∈ P(X) est munie de
la topologie induite sur A. Montrer les assertions suivantes :
1. Si f:X→Yest constante, alors fest continue.
2. Si f:X→Yest continue, alors pour tout A∈ P(X) sa restriction f|A:A→Yest continue.
3. Soit f:X→Y. Si la famille d’ouverts (Ui)i∈Irecouvre Xet si, pour tout i∈I f|Uiest continue,
alors fest continue sur X.
4. Soient Fet Gdeux ferm´es de Xtels que F∪G=X. Si f:F→Yet g:G→Ysont continues et
v´erifient f(x) = g(x) pour tout x∈F∩G, alors l’application hd´efinie par
h(x) = f(x) si x∈F
g(x) si x∈G
est continue.
1D´epartement de Math´ematiques, CC 051, Universit´e de Montpellier, Pl. Eug`ene Bataillon, 34095 Montpellier cedex 5.
M`el : [email protected]
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Exercice 4. On munit X= [0,1[∪{2}et Y= [0,1] de leurs topologies induites par celle de R, et on
consid`ere f:X→Yd´efinie par
f(x) = xsi x∈[0,1[
1 si x= 2
Montrer que fest une bijection continue, mais n’est pas un hom´eomorphisme.
Exercice 5. Soit (X, d) un espace m´etrique et A∈ P(X) une partie non vide de X. Pour tout x∈X
on d´efinit la distance de x`a Apar
d(x, A) = inf{d(x, y)|y∈A}
1. Montrer que d(x, A) est bien d´efinie. Que vaut d(x, A) si x∈A?
2. Calculer d(x, A) dans les cas suivants.
(a) X=R,A={1
n+1 |n∈N}et x= 0.
(b) X=R2,A={(s, t)|s=t}et x= (2,3).
(c) Xmuni de la distance discr`ete, Aquelconque et x6∈ A.
(d) X=R,A=Qet x∈Rquelconque.
3. Pour tous x, y ∈X, montrer que d(x, A)≤d(x, y) + d(y, A) et |d(x, A)−d(y, A)| ≤ d(x, y).
4. Montrer que l’application f:X→Rd´efinie par f(x) = d(x, A) est continue et en d´eduire que
{x∈X|d(x, A) = 0}est un ferm´e de X.
5. Montrer que ¯ A={x∈X|d(x, A) = 0}
Exercice 6. Soient (X, OX) et (Y, OY) deux espaces topologiques. On munit X×Yde la topologie
produit et on consid`ere A∈ P(X), B∈ P(Y). Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
1. ˚ A×˚ B= int(A×B)
2. ¯ Aׯ B=A×B
Exercice 7. Soit (X, O) un espace topologique. Montrer que Xest s´epar´e si et seulement si la diagonale
∆ = {(x, x)|x∈X}est ferm´ee dans X×X.
Exercice 8. Soient X, Y deux espaces topologiques et f:X→Yune application continue. On d´efinit
la relation ∼fsur Xpar
x∼fy⇐⇒ f(x) = f(y)
1. Montrer que ∼fest une relation d’´equivalence. On notera [x] la classe d’´equivalence d’un ´el´ement
x∈X.
2. On d´efinit ¯ f:X/∼f→f(X) par ¯ f([x]) = f(x). Montrer que ¯ fest une bijection continue.
3. On suppose que fest une application ouverte (i.e. pour tout ouvert Ude X,f(U) est un ouvert
de Y). Montrer que ¯ fest alors un hom´eomorphisme.
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Pour s’entrainer
Exercice 9. Montrer que la topologie induite sur Zpar celle de Rest la topologie discr`ete.
Plus g´en´eralement, soit (X, d) un espace m´etrique tel que ∀x, y ∈X d(x, y)∈N. Montrer que la
topologie de (X, d) est la topologie discr`ete.
Exercice 10. Soit (X, O) un espace topologique et A∈ P(X). A quelle condition sur Asa fonction
caract´eristique χA:X→Rest-elle continue ?
Exercice 11. Soit (X, O) un espace topologique et A∈ P(X). Un point x∈Xest un point
d’accumulation de Asi pour tout voisinage V∈ V(x) on a (V\ {x})∩A6=∅.
On note A0l’ensemble des points d’accumulation de A.
1. D´eterminer les points d’accumulation des ensembles suivants :
Q⊂R,Z⊂R,n1
n+ 1 
n∈No⊂R.
2. Montrer que A0⊂¯ Aet ¯ A=A∪A0.
3. Un point x∈Xest un point isol´e de Asi x∈Aet xn’est pas un point d’accumulation de A.
(a) ´ Ecrire la d´efinition d’un point isol´e de Aen terme de voisinages.
(b) D´eterminer les points isol´es des trois parties de la question 1.
(c) Si Xest muni de la topologie discr`ete, quels sont ses points isol´es ?
4. On suppose que X=R. Montrer que pour toute partie Ade Xon a ˚ A⊂A0. Cette propri´et´e
est-elle vraie dans un espace topologique quelconque ?
Exercice 12. Topologie du compl´ementaire fini.
Sur Ron consid`ere O={U∈ P(R)|U=∅ou Ucest une partie finie}.
1. Montrer que Oest une topologie sur R. Est-elle plus fine que la topologie usuelle ? Est-elle moins
fine ?
2. Montrer que les voisinages de a∈Rsont exactement les ouverts contenant a.
3. Montrer que cette topologie n’est pas s´epar´ee.
4. On consid`ere les suites (xn)n∈N, (yn)n∈N, (zn)n∈Net (tn)n∈Nd´efinies par
xn=n, yn=1
n+ 1, zn= (−1)n, tn= 1.
(a) Montrer que pour tout a∈R, les suites (xn)n∈Net (yn)n∈Nconvergent vers a.
(b) Montrer que (zn)n∈Nne converge pas.
(c) Montrer que (tn)n∈Nconverge vers asi et seulement si a= 1.
(d) Soit (un)n∈Nune suite de r´eels qui admette deux limites distinctes a6=b. Montrer que tout
r´eel cest limite de (un)n∈N.Question difficile : on pourra commencer par montrer que, si
(un)n∈Nconverge vers l, alors, pour tout x6=l,{n∈N|un=x}est fini.
Exercice 13. On note Ola topologie usuelle sur Ret on note
O0={U∈ P(R)|U=∅ou Ucest une partie finie ou d´enombrable}.
Montrer que O0est une topologie sur R. Est-elle plus fine que O? Est-elle moins fine ?
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Exercice 14. Soit (X, OX) un espace topologique. On appelle fronti`ere d’une partie A∈ P(X) l’ensemble
Fr(A) = ¯ A∩Ac.
1. Montrer que Ac= int(A)cet Fr(A) = ¯ A\˚ A.
2. D´eterminer l’adh´erence, l’int´erieur et la fronti`ere de chacune des parties suivantes
A=] −1,1] ⊂R, B =Q∩R∗
+⊂R, C =Z∩R−⊂R
3. Soit A∈ P(X). Montrer que Fr( ¯ A)⊂Fr(A) et Fr( ˚ A)⊂Fr(A). Donner un exemple de partie de R
telle que Fr(A), Fr( ¯ A) et Fr( ˚ A) soient deux `a deux distincts.
4. Soient A, B ∈ P(X).
(a) Montrer que Fr(A∪B)⊂Fr(A)∪Fr(B) et donner un exemple de parties de Rpour lesquelles
l’inclusion est stricte.
(b) Si ¯ A∩¯ B=∅, montrer que Fr(A∪B) = Fr(A)∪Fr(B).
Exercice 15. Soit Gun sous-groupe non trivial de (R,+), et soit a= inf(G∩R∗
+).
1. Si a= 0, montrer que Gest dense dans R.
2. Si a > 0, montrer que G=aZ(ie. l’ensemble des multiples entiers de a).
On a donc une alternative topologique pour un sous-groupe additif de R: il est soit discret, soit dense.
Exercice 16. On d´efinit sur Rla relation d’´equivalence ∼Zpar x∼Zy⇐⇒ x−y∈Z, et on note R/Z
l’espace quotient.
1. Montrer que R/Zest hom´eomorphe au cercle S1={z∈C| |z|= 1}.
2. De fa¸con analogue, pour un sous-groupe Gde (R,+) on d´efinit sur Rla relation d’´equivalence ∼G
par x∼Gy⇐⇒ x−y∈G, et on note R/G l’espace quotient. En utilisant le r´esultat de l’exercice
pr´ec´edent, montrer que R/G est soit hom´eomorphe `a S1, soit muni de la topologie grossi`ere.
Exercice 17. Soit (E, N) un espace vectoriel r´eel muni d’une norme N. On munit les espaces E×Eet
R×Ede la topologie produit et on consid`ere les applications
N:E→R
x7→ N(x), s :E×E→E (x, y)7→ x+y, p :R×E→E (λ, x)7→ λx
1. Montrer que les applications N,set psont continues.
2. Soit S={x∈E|N(x)=1}et soit
φ:R∗
+×S→E\ {0}
(λ, x)7→ λx
Montrer que φest un hom´eomorphisme.
3. Donner un hom´eomorphisme entre Ret R∗
+, et en d´eduire un hom´eomorphisme entre R×Set
R∗
+×S.
4. Dans ce qui suit, on identifie C`a R2, on note S1l’ensemble des nombres complexes de module 1,
et C=S1×R. Repr´esenter Cdans R3et d´eduire de ce qui pr´ec`ede que Cest hom´eomorphe `a C∗.
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