Universit´e Claude Bernard Lyon 1. Licence de math´ematiques – L3. Topologie et ´equations diff´erentielles – 2016/171
2 Continuit´e
2.1 Retour sur les d´efinitions
Exercice 1 (Continuit´e au point x).Soit Xet Ydeux espaces m´etriques, f:XYune application. Soit
xX. Alors sont ´equivalents:
1. fest continue `a xau sens m´etrique: pour tout ε > 0 il existe δ > 0 tel que pour tout xX, si
dX(y, x)< δ alors dYf(y), f(x)< ε.
2. fest continue `a xau sens topologique: pour tout voisinage Ade f(x) dans l’espace Y, l’image
r´eciproque f1(A) est un voisinage de xdans X.
Exercice 2 (Continuit´e globale).Soit Xet Ydeux espaces topologiques, f:XYune application.
Alors sont ´equivalents:
1. fest continue (au sens topologique) `a chaque point xX.
2. fest continue: pour tout ouvert UY, l’image r´eciproque f1(U) est un ouvert de X.
Rappel. Soit (X, τ) un espace topologique et xX. Une base de voisinages pour xest une famille
B⊆ V(x) (donc, une famille de voisinages de x) ayant la propri´et´e suivante:
Pour tout voisinage Ade x, il existe BBtel que BA.
Exercice 3 (Bases).Soit Xet Ydeux espaces topologiques, f:XYune application. Soit x0Xet
Bune base de voisinages de f(x0). Pour que fsoit continue `a x0, il faut et il suffit que pour tout AB,
l’image r´eciproque f1(A) soit un voisinage de x0.
Rappel. Soit (X, τ) un espace topologique. Une base d’ouverts pour la topologie τune famille Bτ
(donc, une famille d’ouverts) ayant la propri´et´e suivante:
Pour tout xXet tout ouvert U3x, il existe VBtel que xVU.
Exercice 4 (Bases, bis).Soit Xet Ydeux espaces topologiques, f:XYune application. Soit Bune
base d’ouverts pour la topologie sur Y. Pour que fsoit continue, il faut et il suffit que pour tout VB,
l’image r´eciproque f1(V) soit un ouvert de X.
Exercice 5. 1. L’ensemble d’ouverts contenant un point x0est une base de voisinages pour x0.
2. Si Xest un espace m´etrique, l’ensemble des boules ouvertes B(x0, r) : r > 0est une base de
voisinages pour x0, tout comme la famille des boules ferm´ees B(x0, r) : r > 0.
3. Si Xest un espace m´etrique, l’ensemble des boules ouvertes est une base d’ouverts.
2.2 Continuit´e des fonctions entre espaces topologiques
Exercice 6. Soient (X, T1), (Y, T2) deux espaces topologiques et f:XYune application continue.
a) Montrer que AX,BY, on a
f(A)f(A), f1(B)f1(B), f1
B(f1(B)).
b) Montrer sur des exemples que les inclusions pr´ec´edentes peuvent ˆetre strictes.
c) Peut-on comparer f
Aet (f(A))?
d) On suppose que fest continue et surjective et Adense dans X. Montrer que f(A) est dense dans Y.
Universit´e Claude Bernard Lyon 1. Licence de math´ematiques – L3. Topologie et ´equations diff´erentielles – 2016/172
Exercice 7. Soient (X, T) un espace topologique et AX. Donner une condition n´ecessaire et suffisante
pour que la fonction indicatrice de A,χA, soit continue. On rappelle que χAest d´efinie par
χA:XR
x7−χA(x) = (1,si xA
0,si x /A.
Exercice 8. Soient (E, d) un espace m´etrique et f:ER.
a) Montrer que les assertions suivantes sont ´equivalentes :
(i) fest continue;
(ii) aR, les ensembles {xE:f(x)< a}et {xE:f(x)> a}sont des ouverts de E;
(iii) aR, les ensembles {xE:f(x)a}et {xE:f(x)a}sont des ferm´es de E.
b) Lorsque fest continue et Aune partie quelconque de E, montrer que
inf
Af= inf
A
f, sup
A
f= sup
A
f.
On pourra consid´erer l’ensemble B={xE:f(x)infAf}.
c) Une identit´e analogue est-elle valable lorsqu’on remplace Apar
A?
Exercice 9. Soit (E, d) un espace m´etrique. On rappelle que la distance `a une partie Ade Eest la fonction
d(x, A) := inf{d(x, y) : yA},(xE).
a) Montrer que A∈ P(E), la fonction
ER
x7−d(x, A)
est 1-lipschitzienne (i.e. qu’elle erifie
|d(x, A)d(y, A)| ≤ d(x, y),x, y E).
b) Soient A, B ∈ P(E). Montrer que l’ensemble {xE:d(x, A)< d(x, B)}est ouvert.
c) En d´eduire que si Fet Gsont deux ferm´es disjoints de E, il existe deux ouverts Uet Vtels que
FU, G V, U V=.
Exercice 10. Soient E, F deux espaces m´etriques et f, g :EFdeux applications continues.
a) Montrer que ∆ = {xE:f(x) = g(x)}est un ferm´e de E.
b) Soit A∈ P(E). Montrer que si Aest dense dans Eet si fgsur A, alors fgsur E.
c) Montrer que Γf:= {(x, f(x)) : xE}est ferm´e dans E×F.
d) Est ce que la r´eciproque est vraie? i.e., est-ce que
Γfferm´e =fcontinue?
Universit´e Claude Bernard Lyon 1. Licence de math´ematiques – L3. Topologie et ´equations diff´erentielles – 2016/173
2.3 Continuit´e uniforme. Convergence uniforme
Exercice 11. Soient f, g les fonctions : [1,[[1,[ d´efinies par f(t) = t1/2et g(t) = t2. Ces fonctions
sont-elles uniform´ement continues ?
Exercice 12. Pour tout entier n0, soit fnla fonction d´efinie sur ]0,+[ par fn(t) = t
n+t. Montrer
que (fn)n0converge simplement vers la fonction identiquement nulle mais que la convergence n’est pas
uniforme.
Exercice 13. Soit (fn)n1la suite de fonctions continues sur R+d´efinie par
fn(x) = ((1 x
n)n,si xn
0,si x > n.
Etudier la convergence simple et uniforme de la suite (fn)n1sur [0,+[.
2.4 Hom´eomorphismes
Exercice 14. Construire des hom´emorphismes entre :
1. Deux intervalles de la forme [a, b] et [c, d], avec a<bet c < d.
2. L’intervalle ] 1,1[ et R
3. Un cercle priv´e d’un point et R
4. Le cylindre S1×[0,1] et la couronne {(x, y)R2: 1 x2+y24}.
Exercice 15. D´emontrer que si Xet Ysont deux espaces topologiques hom´eomorphes, et x0X, alors
il existe y0Ytel que X\{x0}est hom´eomorphe `a Y\{y0}.
En d´eduire qu’il n’y a pas d’hom´eomorphisme entre l’intervalle [0,1[ et l’intervalle ]0,1[.
Exercice 16. Etablir si l’application f: [0,2π[S1d´efinie par f(t) = (cos t, sin t) est un hom´eomorphisme.
Exercice 17. a) Soit Xun espace m´etrique et d1et d2deux distances sur X. Montrer que si d1et d2
sont ´equivalentes, alors l’application identit´e
id : (X, d1)(X, d2)
est un hom´eomorphisme.
b) On consid`ere X=Ret d1(x, y) := |arctan xarctan y|,d2(x, y) := |xy|,x, y R. Montrer que
(R, d1) est hom´eomorphe `a (R, d2), mais que d1et d2ne sont pas ´equivalentes.
Exercice 18. Soient Eun espace vectoriel norm´e de dimension finie et k·k1,k·k2deux normes sur E.
Montrer que l’application ϕ:XXefini par
ϕ(x) := (kxk1
kxk2xsi x6= 0
0,si x= 0
est un hom´eomorphisme de Bk·k1(0,1) sur Bk·k2(0,1).
En prenant E=R2, d´eduire de ce qui pr´ec`ede qu’un carr´e est hom´eomorphe `a un disque.
2.5 Continuit´e des applications lin´eaires entre e.v.n.
Exercice 19. Soit n1 et X=Rn, muni de la norme k·k2. Pour a= (ak)1knRn, on d´efinit
Ta:RnR
x7−Ta(x) = Pn
k=1 akxk,si x= (xk)1kn.
Universit´e Claude Bernard Lyon 1. Licence de math´ematiques – L3. Topologie et ´equations diff´erentielles – 2016/174
a) V´erifier que Taest une application lin´eaire continue sur X.
b) Calculer sa norme.
Exercice 20. (Une application lin´eaire discontinue) Soit E=C([a, b],R), a < b. Pour fE, muni de la
norme
kfk1=Zb
a
|f(x)|dx.
Pour c[a, b], on consid`ere
δc:ER
f7−f(c).
Montrer que δcest une application lin´eaire sur Enon continue.
Exercice 21. Pour fE=C([0,1],R), on pose
kfk1:= Z1
0
|f(t)|dt.
a) Soit µ:EEd´efinit par
µ(f)(x) := Zx
0
f(t)dt, x [0,1], f E.
(i) Montrer que µest bien d´efinit et que µest une application lin´eaire continue de (E, k·k1) dans
lui mˆeme.
(ii) On consid`ere la suite de fonctions (fn)n1efinit par
fn(t) = n(1 t)n1,0t1.
Calculer kfnk1et kµ(fn)k1.
(iii) En d´eduire la norme de µ.
b) Refaire l’exercice, en munissant Ede la norme de la convergence uniforme.
Exercice 22. On d´efinit sur C([0,1],R), muni de la norme de la convergence uniforme, la forme lin´eaire
Λ(u) := Z1/2
0
u(t)dt Z1
1/2
u(t)dt , u C([0,1],R).
a) Montrer que Λ est une forme lin´eaire continue sur C([0,1],R) et que kΛk ≤ 1.
b) Montrer que kΛk= 1.
Indication : on pourra calculer, pour n3, Λ(un), avec unefinit par
un:=
1 sur 0,1
21
n
1 sur 1
2+1
n,1
affine et continue sur 1
21
n,1
2+1
n.
1 / 4 100%
La catégorie de ce document est-elle correcte?
Merci pour votre participation!

Faire une suggestion

Avez-vous trouvé des erreurs dans linterface ou les textes ? Ou savez-vous comment améliorer linterface utilisateur de StudyLib ? Nhésitez pas à envoyer vos suggestions. Cest très important pour nous !