Universit´e Claude Bernard Lyon 1. Licence de math´ematiques – L3. Topologie et ´equations diff´erentielles – 2016/171
2 Continuit´e
2.1 Retour sur les d´efinitions
Exercice 1 (Continuit´e au point x).Soit Xet Ydeux espaces m´etriques, f:X→Yune application. Soit
x∈X. Alors sont ´equivalents:
1. fest continue `a xau sens m´etrique: pour tout ε > 0 il existe δ > 0 tel que pour tout x∈X, si
dX(y, x)< δ alors dYf(y), f(x)< ε.
2. fest continue `a xau sens topologique: pour tout voisinage Ade f(x) dans l’espace Y, l’image
r´eciproque f−1(A) est un voisinage de xdans X.
Exercice 2 (Continuit´e globale).Soit Xet Ydeux espaces topologiques, f:X→Yune application.
Alors sont ´equivalents:
1. fest continue (au sens topologique) `a chaque point x∈X.
2. fest continue: pour tout ouvert U⊆Y, l’image r´eciproque f−1(U) est un ouvert de X.
Rappel. Soit (X, τ) un espace topologique et x∈X. Une base de voisinages pour xest une famille
B⊆ V(x) (donc, une famille de voisinages de x) ayant la propri´et´e suivante:
Pour tout voisinage Ade x, il existe B∈Btel que B⊆A.
Exercice 3 (Bases).Soit Xet Ydeux espaces topologiques, f:X→Yune application. Soit x0∈Xet
Bune base de voisinages de f(x0). Pour que fsoit continue `a x0, il faut et il suffit que pour tout A∈B,
l’image r´eciproque f−1(A) soit un voisinage de x0.
Rappel. Soit (X, τ) un espace topologique. Une base d’ouverts pour la topologie τune famille B⊆τ
(donc, une famille d’ouverts) ayant la propri´et´e suivante:
Pour tout x∈Xet tout ouvert U3x, il existe V∈Btel que x∈V⊆U.
Exercice 4 (Bases, bis).Soit Xet Ydeux espaces topologiques, f:X→Yune application. Soit Bune
base d’ouverts pour la topologie sur Y. Pour que fsoit continue, il faut et il suffit que pour tout V∈B,
l’image r´eciproque f−1(V) soit un ouvert de X.
Exercice 5. 1. L’ensemble d’ouverts contenant un point x0est une base de voisinages pour x0.
2. Si Xest un espace m´etrique, l’ensemble des boules ouvertes B(x0, r) : r > 0est une base de
voisinages pour x0, tout comme la famille des boules ferm´ees B(x0, r) : r > 0.
3. Si Xest un espace m´etrique, l’ensemble des boules ouvertes est une base d’ouverts.
2.2 Continuit´e des fonctions entre espaces topologiques
Exercice 6. Soient (X, T1), (Y, T2) deux espaces topologiques et f:X→Yune application continue.
a) Montrer que ∀A⊂X,∀B⊂Y, on a
f(A)⊂f(A), f−1(B)⊃f−1(B), f−1◦
B⊂(f−1(B))◦.
b) Montrer sur des exemples que les inclusions pr´ec´edentes peuvent ˆetre strictes.
c) Peut-on comparer f◦
Aet (f(A))◦?
d) On suppose que fest continue et surjective et Adense dans X. Montrer que f(A) est dense dans Y.