Probl`
emes de Math´
ematiques
Dual topologique d’un espace `p. Exemples de parties compactes de `2
´
Enonc´e
Dual topologique d’un espace `p. Exemples de parties
compactes de `2
Dans tout le probl`eme le corps de base des espaces vectoriels consid´er´es est C. Lorsque (E , k·k)
est un espace vectoriel norm´e, E0d´esigne l’espace des formes lin´eaires continues sur (E , k·k) .
Partie I
[ I ] [ S ] 1) On d´esigne par Bla boule ferm´ee unit´e de E, c’est `a dire l’ensemble des vecteurs xde
Etels que kxk61 . Montrer que l’on d´efinit une norme |k · k| sur E0par la formule :
xE0,|kxk| = Sup
x∈B
|x(x)|.
[ I ] [ S ] 2) Dans toute la suite on consid´erera l’espace norm´e (E0,|k · k|) qui sera simplement not´e E0
et appel´e dual topologique de E.
a) Soit (x
n)nNune suite de Cauchy de E0. Montrer que pour chaque xfix´e dans E, la
suite x
n(x)nNest convergente dans C. On associe ainsi, `a chaque xE, un unique
complexe lim
n+x
n(x) que l’on note x(x) .
b) Montrer que l’application x:E7−Cd´efinie en a) est ´el´ement de E0.
c) Montrer que lim
n+|kx
nxk| = 0 .
[ I ] [ S ] 3) ´
Enoncer le r´esultat de port´ee g´en´erale d´emontr´e dans cette partie.
Partie II
Soit `1l’espace des suites (xn)nNtelles que la s´erie Pxnsoit absolument convergente. On
munit `1de la norme d´efinie par x`1,kxk1=
+
X
n=0
|xn|. Soit `l’espace des suites
born´ees `a valeurs dans C, muni de la norme d´efinie par x`,kxk= Sup
nN
|xn|. On
note C0le sous-espace de `constitu´e des suites convergentes vers 0 et Pl’ensemble des suites
complexes nulles au del`a d’un certain rang. Pour nNon note δnl’´el´ement de Pefini par
δn= (δnk)nNo`u δnk = 1 si n=ket 0 si n6=k.
[ I ] [ S ] 1) a) erifier les inclusions P `1⊂ C0`.
b) Comparer sur `1la norme k·k1avec la restriction de k·k`a `1.
c) Montrer que Pest une partie dense de (`1,k·k1) .
d) Montrer que Pest une partie dense de (C0,k·k).
e) Pest-elle une partie dense de (`,k·k) ?
[ I ] [ S ] 2) Soit Φ : (`1)07−`l’application d´efinie par x(`1)0, Φ(x) = x(δn)nN·
a) V´erifier que l’application Φ est bien d´efinie, c’est `a dire que, pour tout x(`1)0,
Φ(x)`.
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Probl`
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Dual topologique d’un espace `p. Exemples de parties compactes de `2
´
Enonc´e
b) Montrer que Φ est une application lin´eaire continue. Quelle est sa norme ?
c) Montrer que Φ est une isom´etrie, c’est `a dire une bijection telle que x(`1)0,
kΦ(x)k=|kxk| .
d) Que d´eduisez vous de I.3 et II.2.c en ce qui concerne l’espace norm´e `?
e) Construire une isom´etrie Ψ : C0
07−`1. Qu’en d´eduisez vous pour l’espace norm´e `1?
Partie III
pet qsont des r´eels de ]1 ,+[ tels que 1
p+1
q= 1 . Pour tout r´eel tpositif on pose tp= exp(pln t)
si t > 0 et t0= 1 . On note `pl’ensemble des suites x= (xn)nNde CNtelles que la s´erie P|xn|p
soit convergente. On pose alors kxkp=+
X
n=0
|xn|p1
p.
[ I ] [ S ] 1) a) eduire de la convexit´e de l’exponentielle r´eelle que pour tout (u , v)R2
+,uv 6up
p+vq
q·
b) En d´eduire que si (x , y)`p×`qerifie kxkp=kykq= 1 , alors z= (xnyn)nN`1et
kzk161 . En conclure que
(x , y)`p×`q,
+
X
n=0
|xn||yn|6kxkpkykq.
Cette in´egalit´e est dite in´egalit´e de H¨older. Pr´eciser le cas d’´egalit´e.
c) V´erifier que |xn+yn|p6|xn+yn|p
q|xn|+|xn+yn|p
q|yn|et d´eduire de l’in´egalit´e de H¨older
que si (x , y)(`p)2, alors x+y`pet
+
X
n=0
|xn+yn|p6kxkp+kykp+
X
n=0
|xn+yn|p1
q.
d) En conclure que `pest un sous-espace vectoriel de `, et que k·kpest une norme sur `p.
[ I ] [ S ] 2) On donne ici deux r´eels tels que 1 < p < r .
a) Montrer que `p`r. Comparer sur `pla norme k·kpavec la restriction de k·kr`a `p.
b) Montrer que `pet son compl´ementaire dans `rsont des parties denses de (`r,k·kr).
[ I ] [ S ] 3) a) Soit x(`p)0. On pose Φp(x) = x(δn)nN·On note θnun argument de x(δn) et on
consid`ere les ´el´ements de Pefinis par Xn=
n
X
k=0
|x(δk)|q
pekδkpour chaque nN.
En calculant |x(Xn)|et en le majorant `a l’aide de |kxk|, montrer que Φp(x)`qet
que kΦp(x)kq6|kxk| .
b) Montrer que Φpest une isom´etrie de (`p)0sur lq.
c) Qu’en d´eduit-on pour le bidual topologique (lp)00 ?
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Enonc´e
d) Quelle conclusion apporte I.3 pour tout espace `pquand p[1,+] ?
Partie IV
[ I ] [ S ] 1) Montrer que la boule ferm´ee unit´e Bde `n’est pas compacte.
[ I ] [ S ] 2) Soit Qle sous-ensemble de `2efini par Q={xl2| |xn|61
n}. Montrer que Qn’est
contenu dans aucun sous-espace de dimension finie de `2et que Qest compact.
[ I ] [ S ] 3) Soit u`et Q(u) = {x`2| |xn|6|un|}. Montrer que Q(u) est compact si et seulement
si u`2.
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Dual topologique d’un espace `p. Exemples de parties compactes de `2
Indications
Indications ou r´esultats
Partie I
[Q] 1) Toute application lin´eaire continue est born´ee sur la boule unit´e.
[Q] 2) a) erifier que la suite x
n(x)nNest de Cauchy.
b) Il suffit de prouver que xest lin´eaire et born´ee sur la boule unit´e.
c) Montrer que la suite x
n(x)nNconverge uniform´ement par rapport `a x∈ B vers x(x) .
[Q] 3) Compl´etude du dual topologique d’un espace norm´e.
Partie II
[Q] 1) a) Appliquer les d´efinitions.
b) V´erifier que k · k6k · k1et utiliser les suites canoniques δkpour montrer que k · k1
n’est pas born´ee sur la sph`ere unit´e de k·k.
c) Montrer que si x= (xn)nN`1, la suite de terme g´en´eral Xn=
n
X
k=0
xkδk∈ P converge
vers xdans (`1,k·k1) .
d) Proc´eder comme en c) avec x= (xn)nN∈ C0et la suite de terme g´en´eral Xn=
n
X
k=0
xkδk.
e) Une limite uniforme d’une suite `a valeurs dans Pdevrait converger vers 0. On justifiera
donc une r´eponse n´egative.
[Q] 2) a) x(`1)0est born´ee sur B, et δn B .
b) Montrer que l’application lin´eaire Φ est 1-Lipschitzienne puis, consid´erer l’´el´ement
remarquable xde (`1)0d´efini par x= (xn)nN`1,x(x) =
+
X
n=0
xn.
c) Pour montrer que Φ conserve la norme utiliser II.1.c et II.2.b. Pour montrer que Φ est
surjective, consid´erer pour chaque u`la forme lin´eaire xsur `1d´efinie par x`1,
x(x) =
+
X
n=0
unxn.
d) Tout espace isom´etrique `a un espace complet est complet.
e) Consid´erer l’application Ψ : C007−`1qui `a x∈ C00associe Ψ(x) = x(δn)nNet
proc´eder comme ci dessus pour montrer que c’est une isom´etrie.
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