Exercices Suggérés sur le principe d`induction

Probl`emes de Pratique-Principe de l’induction
1. Montrer que pour tout entier n≥1
12+ 22+. . . +n2=n(n+ 1)(2n+ 1)
6.
2. Soit h > −1 un nombre r´eel. Montrer l’in´egalit´e de Bernoulli: 1 + nh ≤(1 + h)npour tout
entier n≥0.
3. Montrer que pour tout entier impair n≥1, n2−1 est divisible par 8.
4. Montrer que pour tout entier n≥1, 4n+1 + 52n−1est divisible par 21.
5. Pour quelles valeurs de l’entier naturel na-t-on 2n> n3? Justifier votre r´eponse.
6. Consid´erer la suite num´erique d´efinie r´ecursivement:
f0= 1, f1= 1,et fn=fn−1+fn−2∀n≥2.
Montrer que fn>1+√5
2n−2
∀n≥3.
7. Montrer que n2≥2n+ 3 ∀n≥3.
8. Montrer que 7n−2nest divisible par 5 ∀n≥0.
9. Montrer que pour tout entier n≥1
13+ 23+. . . +n3=n2(n+ 1)2
4.
10. Montrer que pour tout entier n≥1
1.1! + 2.2! + . . . +n.n! = (n+ 1)! −1.
11. Consid´erer la suite num´erique d´efinie r´ecursivement:
a0= 2, a1= 1,et an=an−1+ 2an∀n≥2.
Montrer que an= 2n+ (−1)n∀n≥0.
12. Consid´erer la suite num´erique d´efinie r´ecursivement:
an=
2 si nest impair
a(n
2)2
si nest pair
(1) Donner les valeurs des termes a1, . . . , a8de la suite.
(2) Utiliser le principe d’induction pour montrer que an≤2n∀n≥1.
13. Montrer que chaque entier n≥2 est le produit de (un ou plusieurs) nombres premiers (un
entier pest dit premier si les seuls diviseurs de psont 1 et p).
14. Montrer que Pn
i=1(3i2−i) = n2(n+ 1) pour tout entier n≥1.
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