Calcul intégral: Mesure de Lebesgue.

Licence de math´ ematiques 2004-2005
Calcul int´ egral:
Mesure de Lebesgue.
Exercice 1
Soit (R,B(R)) l’espace mesurable o` uRest la droite r´ eelle et B(R)la tribu bor´ elienne de R. Soit λla mesure
de Borel-Lebesgue sur (R,B(R)).
1. Montrer que si A∈ B(R),alors A+{x} ∈ B(R)∀x∈R.
2. Soit x∈R, on consid` ere µ:B(R)→R+d´ efinie par:
µ(A) = λ(A+{x}),∀A∈B(R).
(a) Montrer que µest une mesure sur (R,B(R)).
(b) Montrer que µ=λ.
(c) En d´ eduire que λest invariante par translation.
3. Soient k∈R∗
+et A∈ B(R). Montrer que kA ∈ B(R).
4. Montrer que λ(kA) = kλ(A),∀k∈R∗
+∀A∈ B(R).
5. Si k∈R∗et A∈ B(R).Que peut-on dire sur λ(kA)?
Exercice 2
Consid´ erons (R,B(R)) l’espace mesurable o` uRest la droite r´ eelle et B(R)la tribu bor´ elienne de R. Soit λune
mesure sur (R,B(R)) telle que: λ([0,1]) = 1 et λ(I+x) = λ(I)pour tout intervalle I⊂Ret tout r´ eel x.
1. Montrer que λ({x}) = 0 ∀x∈R.
2. Montrer que λest la mesure de Borel-Lebesgue sur R.
Exercice 3
Consid´ erons (R,B(R), λ)l’espace mesur´ e o` uRest la droite r´ eelle, B(R)la tribu bor´ elienne de Ret λla mesure
de Borel sur R.
1. Montrer que si Uest un ouvert non vide de R, alors λ(U)>0.
2. Pour tout ε > 0construire un ouvert Upartout dense dans Ret tel que λ(U)< ε.
3. Montrer que si Kest un compact de R, alors λ(K)<+∞.
Exercice 4
Consid´ erons (R,B(R), λ)l’espace mesur´ e o` uRest la droite r´ eelle, B(R)la tribu bor´ elienne de Ret λla mesure
de Borel sur R. Soit Aune partie mesurable de Rtelle que λ(A)<+∞.
Soit f:R→Rd´ efinie par: f(x) = λ(A∩]− ∞, x]),∀x∈R. Montrer que fest continue.
Exercice 5
Consid´ erons (Rp,B(Rp, λ)l’espace mesur´ e o` uB(Rp)est la tribu bor´ elienne de Rpet λla mesure de Borel sur
Rp.
On dit qu’une partie Ade Rpest presque ouverte si presque tous les points de Asont int´ erieurs ` aA.
Soit fune fonction r´ eelle d´ efinie sur un ouvert Ude Rp. D´ emontrer que les conditions suivantes sont ´ equivalentes:
(i) fest continue en presque tous les points de U;
(ii) Pour tout α∈R,les ensembles {f > α}et {f < α}sont presque ouverts.