Calcul intégral: Mesure de Lebesgue.

Licence de mathématiques
2004-2005
Calcul intégral:
Mesure de Lebesgue.
Exercice 1
Soit (R, B(R)) l’espace mesurable où R est la droite réelle et B(R) la tribu borélienne de R. Soit λ la mesure
de Borel-Lebesgue sur (R, B(R)).
1. Montrer que si A ∈ B(R), alors A + {x} ∈ B(R) ∀ x ∈ R.
2. Soit x ∈ R, on considère µ : B(R) → R+ définie par:
µ(A) = λ(A + {x}),
∀ A ∈ B(R).
(a) Montrer que µ est une mesure sur (R, B(R)).
(b) Montrer que µ = λ.
(c) En déduire que λ est invariante par translation.
3. Soient k ∈ R∗+ et A ∈ B(R). Montrer que kA ∈ B(R).
4. Montrer que λ(kA) = kλ(A), ∀ k ∈ R∗+ ∀ A ∈ B(R).
5. Si k ∈ R∗ et A ∈ B(R). Que peut-on dire sur λ(kA)?
Exercice 2
Considérons (R, B(R)) l’espace mesurable où R est la droite réelle et B(R) la tribu borélienne de R. Soit λ une
mesure sur (R, B(R)) telle que: λ([0, 1]) = 1 et λ(I + x) = λ(I) pour tout intervalle I ⊂ R et tout réel x.
1. Montrer que λ({x}) = 0 ∀x ∈ R.
2. Montrer que λ est la mesure de Borel-Lebesgue sur R.
Exercice 3
Considérons (R, B(R), λ) l’espace mesuré où R est la droite réelle, B(R) la tribu borélienne de R et λ la mesure
de Borel sur R.
1. Montrer que si U est un ouvert non vide de R, alors λ(U ) > 0.
2. Pour tout ε > 0 construire un ouvert U partout dense dans R et tel que λ(U ) < ε.
3. Montrer que si K est un compact de R, alors λ(K) < +∞.
Exercice 4
Considérons (R, B(R), λ) l’espace mesuré où R est la droite réelle, B(R) la tribu borélienne de R et λ la mesure
de Borel sur R. Soit A une partie mesurable de R telle que λ(A) < +∞.
Soit f : R → R définie par: f (x) = λ(A∩] − ∞, x]), ∀ x ∈ R. Montrer que f est continue.
Exercice 5
Considérons (Rp , B(Rp , λ) l’espace mesuré où B(Rp ) est la tribu borélienne de Rp et λ la mesure de Borel sur
p
R .
On dit qu’une partie A de Rp est presque ouverte si presque tous les points de A sont intérieurs à A.
Soit f une fonction réelle définie sur un ouvert U de Rp . Démontrer que les conditions suivantes sont équivalentes:
(i) f est continue en presque tous les points de U ;
(ii) Pour tout α ∈ R, les ensembles {f > α} et {f < α} sont presque ouverts.