HLMA502-2015-CC1 Fichier - Moodle UM

Université de Montpellier
- Faculté des Sciences Département des Sciences Mathématiques
Année Universitaire 2015-2016
Licence, semestre 5
module HLMA502
HLMA502
Contrôle Continu du 5 novembre 2015
Durée : 1h30
Les documents et les calculatrices ne sont pas autorisés.
La qualité de la rédaction sera prise en compte dans la notation. En particulier, toutes les affirmations
doivent être justifiées.
Questions de cours
1. Donner la définition d’un espace topologique connexe.
2. Soit A ∈ P(R). Montrer que si A est connexe, alors A est un intervalle (on ne demande pas de
montrer la réciproque).
3. Soient (X, OX ) et (Y, OY ) deux espaces topologiques et f : X → Y une application continue. Si
X est connexe, montrer que f (X) est connexe.
Exercice 1
Soit (E, N ) un espace vectoriel réel muni d’une norme N . On munit les espaces E × E et R × E
de la topologie produit et on considère les applications
R×E → E
E×E → E
E → R
N:
,
s:
,
p:
(λ, x) 7→ λx
(x, y) 7→ x + y
x 7→ N (x)
1. Montrer que les applications N , s et p sont continues.
2. Soit S = {x ∈ E | N (x) = 1} et soit
φ:
R∗+ × S → E \ {0}
(λ, x) 7→ λx
Montrer que φ est un homéomorphisme.
3. Donner un homéomorphisme entre R et R∗+ , et en déduire un homéomorphisme entre R × S et
R∗+ × S.
4. Dans ce qui suit, on identifie C à R2 , on note S1 l’ensemble des nombres complexes de module
1, et C = S1 × R. Représenter C dans R3 et déduire de ce qui précède que C est homéomorphe à
C∗ .
Exercice 2
Soit (X, O) un espace topologique et A ∈ P(X). Un point x ∈ X est un point d’accumulation
de A si pour tout voisinage V ∈ V(x) on a (V \ {x}) ∩ A 6= ∅.
On note A0 l’ensemble des points d’accumulation de A.
1. Déterminer les points d’accumulation des ensembles suivants :
Q ⊂ R,
Z ⊂ R,
n
o
1 n ∈ N ⊂ R.
n+1
2. Montrer que A0 ⊂ Ā et Ā = A ∪ A0 .
3. Un point x ∈ X est un point isolé de A si x ∈ A et x n’est pas un point d’accumulation de A.
(a) Écrire la définition d’un point isolé de A en terme de voisinages.
(b) Déterminer les points isolés des trois parties de la question 1.
(c) Si X est muni de la topologie discrète, quels sont ses points isolés ?
4. On suppose que X = R. Montrer que pour toute partie A de X on a Å ⊂ A0 . Cette propriété
est-elle vraie dans un espace topologique quelconque ?