HLMA502-2015-CC1 Fichier - Moodle UM

Universit´ e de Montpellier
- Facult´ e des Sciences -
D´ epartement des Sciences Math´ ematiques
Ann´ee Universitaire 2015-2016
Licence, semestre 5
module HLMA502
HLMA502
Contrˆole Continu du 5 novembre 2015
Dur´ee : 1h30
Les documents et les calculatrices ne sont pas autoris´es.
La qualit´e de la r´edaction sera prise en compte dans la notation. En particulier, toutes les affirmations
doivent ˆetre justifi´ees.
Questions de cours
1. Donner la d´efinition d’un espace topologique connexe.
2. Soit A∈ P(R). Montrer que si Aest connexe, alors Aest un intervalle (on ne demande pas de
montrer la r´eciproque).
3. Soient (X, OX) et (Y, OY) deux espaces topologiques et f:X→Yune application continue. Si
Xest connexe, montrer que f(X) est connexe.
Exercice 1
Soit (E, N) un espace vectoriel r´eel muni d’une norme N. On munit les espaces E×Eet R×E
de la topologie produit et on consid`ere les applications
N:E→R
x7→ N(x), s :E×E→E (x, y)7→ x+y, p :R×E→E (λ, x)7→ λx
1. Montrer que les applications N,set psont continues.
2. Soit S={x∈E|N(x) = 1}et soit
φ:R∗
+×S→E\ {0}
(λ, x)7→ λx
Montrer que φest un hom´eomorphisme.
3. Donner un hom´eomorphisme entre Ret R∗
+, et en d´eduire un hom´eomorphisme entre R×Set
R∗
+×S.
4. Dans ce qui suit, on identifie C`a R2, on note S1l’ensemble des nombres complexes de module
1, et C=S1×R. Repr´esenter Cdans R3et d´eduire de ce qui pr´ec`ede que Cest hom´eomorphe `a
C∗.

Exercice 2
Soit (X, O) un espace topologique et A∈ P(X). Un point x∈Xest un point d’accumulation
de Asi pour tout voisinage V∈ V(x) on a (V\ {x})∩A6=∅.
On note A0l’ensemble des points d’accumulation de A.
1. D´eterminer les points d’accumulation des ensembles suivants :
Q⊂R,Z⊂R,n1
n+ 1 
n∈No⊂R.
2. Montrer que A0⊂¯ Aet ¯ A=A∪A0.
3. Un point x∈Xest un point isol´e de Asi x∈Aet xn’est pas un point d’accumulation de A.
(a) ´ Ecrire la d´efinition d’un point isol´e de Aen terme de voisinages.
(b) D´eterminer les points isol´es des trois parties de la question 1.
(c) Si Xest muni de la topologie discr`ete, quels sont ses points isol´es ?
4. On suppose que X=R. Montrer que pour toute partie Ade Xon a ˚ A⊂A0. Cette propri´et´e
est-elle vraie dans un espace topologique quelconque ?