MATRISE DE MATHÉMATIQUES : M1 S2 TOPOLOGIE (4 heures

UNIVERSITÉ D’ARTOIS
FACULTÉ JEAN PERRIN
Examen Juin. Année 2004/05
MATRISE DE MATHÉMATIQUES : M1 S2
TOPOLOGIE
(4 heures)
Exercice 1
♣♣♣
Soit l’application f : (X, TX ) → (Y, TY ) continue et surjective.
On définit sur l’espace X la relation
x1 ∼ x2 ⇐⇒ f (x1 ) = f (x2 ).
(a) Montrer que
la relation ∼ est une relation d’équivalence
et que
l’application F : X/∼ −→ Y , donnée par F (π(x)) = f (x),
est bien défine, bijective et continue.
(b) Donner des conditions suffisantes sur f et/ou X et/ou Y pour que F soit un homéomorphisme.
(c) Considérons les espaces topologiques (X, TX ) ≡ (R2 , Tdiscrète ), (Y, TY ) ≡ (R, TR ) et l’application f : (R2 , Tdiscrète ) −→ (R, TR ) définie par f (x, y) = y.
Montrer que
f est continue et surjective mais que F : R2 /∼ → R n’est pas un homéomorphisme.
Exercice 2
♣♣♣♣
Soient X et Y deux ouverts disjoints d’un espace topologique Z.
Considérons deux points base x0 ∈ X et y0 ∈ Y .
On considère sur l’union X ∪ Y la relation d’équivalence ∼ définie par:
h
i
u ∼ v ⇔ u = v ou (u, v) = (x0 , y0 ) ou (u, v) = (y0 , x0 ) .
On définit le bouquet de X et Y par X ∨Y = (X ∪ Y )/ ∼ .
Le but de cet exercice est de montrer que X ∨Y ∼
= {(x, y) ∈ X × Y | x = x0 ou y = y0 }.
(d) Montrer que l’application
f : X ∨Y → {(x, y) ∈ X × Y | x = x0 ou y = y0 },
(z, y0 ) si z ∈ X
donnée par f (π(z)) =
, est bien définie, bijective et continue.
(x0 , z) si z ∈ Y
(e) Expliciter les sous-ensembles saturés de X ∪ Y .
(f) Montrer que f est un homéomorphisme.
Exercice 3
♣♣♣♣♣
On considère
- le cylindre CY = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 = 1},
- le cône CO = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 = z 2 } et
- A = {(x, y, z) ∈ CY | z = 0}.
(g) La projection canonique π : CY → CY /A est-elle ouverte? fermée?
(h) Montrer que CY /A ∼
= CO.
Exercice 4
♣♣♣♣
Décrire les espaces topologiques suivants.
a
d BB
a
-
B
c ?
(i)
-
b 6
b
B
B
-
a
(k)
6a
(j)
B
@
B
I
d @
@ B b
6
d @
R b
@
@
c
a
a
-
-
@@
R b
@
c ? 6a
@
I
d @
@ b
d BB
@
R b
@
B
@
B c ? B
6a
B
@
B
I
d @
@ B b
c
c
(l)
Exercice 5
♣♣♣♣
Soit G un groupe topologique dont l’opération est notée multiplicativement · et dont le l’élément
neutre est noté e.
Si f, g : [0, 1] → G sont deux applications, on définie l’application f · g : [0, 1] → G par (f · g)(x) =
f (x) · g(x).
Rappelons que ∗ désigne la composition des chemins.
Soient γ1 , γ2 , γ3 , γ4 des lacets dans G basés au point e.
˙ γ2 et γ3 '
˙ γ4 alors γ1 · γ3 '
˙ γ2 · γ4 .
(m) Montrer que si γ1 '
(n) Montrer que (γ1 ∗ γ2 ) · (γ3 ∗ γ4 ) = (γ1 · γ3 ) ∗ (γ2 · γ4 ).
˙ γ1 · γ2 et que γ1 ∗ γ2 '
˙ γ2 · γ1 .
(o) Montrer que γ1 ∗ γ2 '
(p) Montrer que π1 (G, e) est un groupe abélien.