Séquence 7. Trigonométrie

Séquence 7. Trigonométrie
I. RAPPELS DE SECONDE
1 ) ORIENTATION DU PLAN
Définition :
Dans le plan muni d'un repère (O,I,J) et orienté positivement, le cercle trigonométrique est le cercle de
centre O et de rayon 1.
Par convention, le sens positif est le sens inverse de celui des aiguilles d'une
montre : il est appelé sens direct ou sens trigonométrique.
Soit D la tangente au cercle trigonométrique au point I et K le point de D de coordonnées (1;1). (I,K) est donc un repère de
l'axe D .
Par le procédé de l'enroulement de D autour du cercle :
– à tout point de l'axe D d'abscisse x, correspond un point M du cercle.
– tout point du cercle est associé à une infinité de points de l'axe, donc à une infinité de nombres réels.
Propriété :
Soit x un réel, et M le point du cercle trigonométrique associé au réel x, alors le point M est associé à tous les réels de la forme
x+ k×2 π , avec k entier.
En d'autres termes,les points de
après enroulement du cercle.
D
d'abscisses...., x − 4  , x −2 π , x + 2 π , x + 4 π , , etc... se retrouvent également en M
2 ) MESURE DES ANGLES EN RADIAN
Définition :
Soit K le point de D d’abscisse 1.
Par enroulement de D autour du cercle, on lui associe le point R telle que la longueur de l'arc IR est égale à 1.
OR qui intercepte, un arc de longueur 1 sur le cercle trigonométrique.
Le radian ( rad ) est la mesure de l'angle géométrique I ̂
Conséquence : Soit A et B deux points du cercle trigonométrique, la
mesure en radians de l'angle AOB est égale à la longueur de l'arc
intercepté AB.
Propriété :
La mesure d'un angle en radians est proportionnelle à sa mesure en degré.
Le tableau ci-dessous fournit les mesures remarquables :
mesures en degré
180
360

2
mesures en radian
•
1 rad ≈ 57,3 °
45
1° =

rad ≈ 0,0175 rad
180
30

3
3) COSINUS ET SINUS D'UN ANGLE
Définition :
Soit M le point du cercle trigonométrique associé au réel x.
• l'abscisse du point M est le cosinus de x ( noté cos x )
• l'ordonnée y M du point M est le sinus de x ( noté sin x )
Exemples :
cos 0= 1
et
et
sin 0 = 0
;
cos  =−1
et
sin  = 0
 2  = – 1
;
cos

=0
2
et
sin

=1
2
;
 2  = 0
cos –
sin –
VALEURS REMARQUABLES DU SINUS ET DU COSINUS
x (en
degré)
0
30
45
60
90
x (en
radian)
0

6

4

3

2
sin x
0
1
2
2
3
1
3
2
1
2
0
cos x
1
2
Propriétés :
Pour tout réel x , on a :
•
•
•
•
∀ k ∈ ℤ , cos ( x + 2 k π ) =...... et sin ( x + 2 k π ) =........
......⩽ cos x  ..... et .....  sin x  ....
sin 2 x + cos 2 x =....
cos ( −x ) =...... et sin (− x ) = ......
2
2
2
II. MESURES D'UN ANGLE ORIENTÉ DE VECTEURS
1)
ANGLE ORIENTÉ DE DEUX VECTEURS NON NULS
Définition :
Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (O,I,J).
u et ⃗v deux vecteurs non nuls.
Soit ⃗
u et ⃗
On construit sur le cercle trigonométrique les points A et B tel que ⃗
OA soit colinéaire et de même sens que ⃗
OB soit
colinéaire et de même sens que ⃗v . Alors :
u , ⃗v ) est égale à celle de l'angle orienté ( ⃗
– La mesure de l'angle orienté ( ⃗
OA , ⃗
OB ).
– Pour tout réel a associé au point A et tout réel b associé au point B, b−a est une mesure en radian de l'angle orienté
( ⃗
OA , ⃗
OB ).
AB , à un multiple de 2π
Concrètement, une mesure de l'angle orienté ( ⃗
OA , ⃗
OB ) en radian est égale à la longueur de l'arc ̂
près.
Remarque : Si b−a et une mesure en radian de l'angle orienté ( ⃗
OA , ⃗
OB ) alors les mesures de cet angle orienté sont tous
les réels b −a+ 2k π .
On note :( ⃗
OA , ⃗
OB ) = b −a+ 2k π=b−a ( 2 π) .
Attention : l'ordre est important ! ( ⃗
OB , ⃗
OA ) = - ( ⃗
OA , ⃗
OB )
Exemple : Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct (O, I, J ), on considère le dodécagone régulier direct
D
ABCDEFGHKLMN.
1)
(
(
(
⃗
OA , ⃗
OB ) =
⃗
OA , ⃗
OE ) =
⃗
OA , ⃗
OH ) =
2)
(
(
E
F
B
J
I
Déterminer une mesure négative en radian des angles orientés suivants :
⃗
OA , ⃗
OD ) =
⃗
OA , ⃗
OK ) =
3)
C
Déterminer une mesure positive en radian de chacun des angles orientés suivants :
Déterminer une mesure en radian des angles orientés suivants :
G
O
H
( ⃗
OB , ⃗
OE ) =
( ⃗
OG ) =
OK , ⃗
4 ) Que dire du triangle GOF ? En déduire la mesure en radian de ( ⃗
GO , ⃗
GF ).
5 ) Quelle est la mesure de l'angle ( ⃗
AG , ⃗
AE ) ?
voir savoir faire : exercice 13 p. 239
A
N
K
M
L
2) MESURE PRINCIPALE D'UN ANGLE ORIENTÉ DE VECTEURS
Définition :
Parmi toutes les mesures en radian d'un angle orienté(  u , v  ), il en existe une seule appartenant à
l'intervalle ] −π ; π ] .
On l'appelle mesure principale de l’angle orienté (  u , v  ).
Remarque :
La valeur absolue de la mesure principale de l’angle orienté (  u , v  )est la mesure de l’angle géométrique formé par ces deux
vecteurs.
Exemple :
•
•
20
...
....
π=(...+ ) π= + ...×2 π ; la mesure principale est …..
3
3
3
107
π=.......
6
La mesure principale est …... et l'angle géométrique associé a pour mesure …..................
Remarque : Soit A et B deux points du cercle trigonométrique. La mesure principale de l'angle ( ⃗
OA , ⃗
OB ) est égale
à la longueur du plus court chemin partant de A et allant vers B, affecté du signe – si on s'est déplacé dans le sens
indirect.
3) PROPRIÉTÉ DES ANGLES ORIENTÉS
Propriété : angle nul ou plat :
Soit ⃗u et ⃗v deux vecteurs non nuls :
u , ⃗v )=0(2 π) .
1) Si ⃗u et ⃗v sont colinéaires et de même sens, ( ⃗
u , ⃗v )=π(2 π) .
2) Si ⃗u et ⃗v sont colinéaires et de sens contraires, ( ⃗
Propriété : relation de Chasles sur les vecteurs
w trois vecteurs non nuls :
Soit ⃗u , ⃗v , et ⃗
(⃗
u , ⃗v )+ (⃗v , w
⃗ )=( ⃗u , w
⃗ )(2 π) .
Exemple :
A
B
ABCD est un carré. Construire le point E tel que DEB est un triangle isocèle.
( ⃗
DC , ⃗
DC , ⃗
DE ) = ( ⃗
DB ) + (…..., ….)
(2 π) =
π +....(2 π)=....( 2 π)
4
( ⃗
DA ) = ….........................................................................................................
DE ,⃗
D
C
Conséquences de la Relation de Chasles :