Rappels de Trigonométrie

Rappels de Trigonométrie
1) Radian et cercle trigonométrique
Cercle trigonométrique :
Le plan est muni d’un repère (O, I, J) orthonormal.
On appelle cercle trigonométrique un cercle orienté de rayon 1, le sens direct (ou trigonométrique) est le sens inverse des
aiguilles d’une montre.
Le radian : Sur un cercle trigonométrique, la longueur de l’arc
s’expriment par le même nombre.
!
!
!
AB et la mesure en radians de l’angle au centre AOB
!
Si AOB = x rad alors AB = x unité de longueur et réciproquement.
Un radian est donc une mesure de l’angle qui intercepte un arc de longueur ….. sur le cercle trigonométrique.
Conversion des degrés en radians (et réciproquement).
degrés
180
60
π
2
radians
30
x
π
4
2) Enroulement des réels sur le cercle trigonométrique
Soit C le cercle trigonométrique.
On représente la droite des réels D sous la forme d’un axe d’origine I et dirigé vers le haut.
On « enroule » D sur le cercle trigonométrique.
À un nombre x > 0, on associe, en tournant dans le sens direct sur le cercle trigo, le point
N, tel que la longueur de l’arc IN soit égale à x.
À un nombre x < 0, on associe de la même façon le point N, mais en tournant dans le sens
indirect.
Soit N un point du cercle.
Soit x une mesure de l’arc orienté d’origine I et d’extrémité N.
Alors, cet arc orienté possède d’autres mesures : ……………………………………. etc.
Toutes ces mesures sont du type x + ……… où k ! Z représente le nombre de tour.
Parmi toutes ces mesures, il en existe une seule dans l’intervalle] -π ; π ]. C’est la mesure principale.
Exemple : Mesure principale de
11!
4
Les mesures principales dans l’intervalle] -π ; π ].
3) Définition et propriétés du cosinus et du sinus d'un nombre
1
M
Soit un nombre réel x et soit M un point du cercle trigonométrique
⎯⎯→
⎯⎯→
tel que ( OI , OM ) = x rad.
cos (x) est l’abscisse de M.
sin (x) est l’ordonnée de M .
Nous pouvons remarquer que:
-1

.....
! cos (x) ! .....

.....
! sin (x) ! .....

à k tours près l’angle ( OI , OM ) est le même donc
⎯⎯→
cos(x + ……) = cos(x)
O
1
⎯⎯→
et
-1
sin(x + ……) = sin(x)
4) Valeurs remarquables du cosinus et du sinus d'un nombre
En général pour un angle de x radian, les valeurs obtenues pour le cosinus et le sinus de x sont approchées et non exactes.
Il est donc important de retenir les valeurs exactes simples de certains angles particuliers.
x
0
!
6
!
4
!
3
!
2
π
cos(x)
sin(x)
5) Courbe des fonctions cosinus et sinus
La fonction cosinus est la fonction, notée cos, qui associe à tout réel x le réel cos(x).
La fonction sinus est la fonction, notée sin, qui associe à tout réel x le réel sin(x).
Les courbes représentatives de ces fonctions sont :
Ces deux fonctions sont …………………….. de période …… puisque ………………………………………………………