Trigonométrie Cercle trigonométrique

Trigonométrie
Cercle trigonométrique
J
Définition :
Le cercle trigonométrique est un cercle dont le rayon OI vaut 1
unité, parcouru dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
Sens direct ou
trigonométrique
I
O
Sens indirect ou
rétrograde
Activité :
• Soit C un cercle trigonométrique de centre O d' unité de longueur la longueur OI.
• (OJ) est parallèle à OI.
• (d) est la droite tangente au cercle en I.
• (d) est forme une droite graduées d'origine I et d'unité IK = OI
̂ , IOA
̂ et IOB
̂ ?
1. Quelles sont les mesures en degré des angles au centre IOJ
Dans chaque cas, cette mesure est elle unique ?
"Enroulons" (d) sur le cercle. Les points de (d) viennent en coïncidence avec les
points du cercle.
π
3
2
J
A
1
I
O
B
-1
-2
2. Quels sont les abscisse de J, A et B ?
On faire correspondre l'abscisse d'un point à l'angle au centre qu'il décrit.
-3
-π
̂ , IOA
̂ et IOB
̂ ?
3. Quelles sont les abscisses correspondantes aux angles au centre IOJ
Définition :
Le radian est une autre unité d’angle.
Sur un cercle trigonométrique, un angle au centre de mesure 1 radian intercepte un arc dont la
longueur est égale à une unité de mesure. (Le mot radian vient du latin Radius qui signifie le rayon.)
π/2
1
1 radian
π
-π
0
O
-π/2
-1
-1 radian
K
Sinus, Cosinus et Tangente
Définition :
̂ = x rad
Soit M un point du cercle trigonométrique tel que IOM
•
Le cosinus de x,
noté cos(x), est l’abscisse de M.
•
Le sinus de x,
noté sin(x), est l’ordonnée de M.
•
La tangente de x,
noté tan(x), est donné par l'abscisse de T sur l'axe ( IT )
tan(x) =
sin( x )
π
pour tout x ≠
+ k2π, k ∈ Z
cos(x )
2
Propriétés :
Pour tout x ∈ Z :
•
-1 ≤ cos(x) ≤ 1
et
•
cos ² (x) + sin ² (x) = 1
-1 ≤ sin(x) ≤ 1
Valeurs remarquables de la trigonométrie
x en radian
x en degré
cos(x)
sin(x)
tan(x)