Rapports trigonométriques On connaît déjà les rapports trigonométriques sinus, cosinus et tangente qui sont définis par : On obtient : On note les égalités suivantes : sin A = cos B tan A = sin A cos A cos A = sin B et tan B = sin B cos B On définit trois nouveaux rapports trigonométriques : sécante, cosécante et cotangente. Sécante La sécante est l'inverse multiplicatif du cosinus. ( sec A x cos A = 1 ) sec A = 1 = cos A 1 = (b/c) c b Cosécante La cosécante est l'inverse multiplicatif du sinus. ( cosec A x sin A = 1 ) cosec A = = 1 sin A 1 = (a/c) c a Cotangente La cotangente est l'inverse multiplicatif de la tangente. ( cotan A x tan A = 1 ) cotan A = 1 = tan A 1 = (a/b) b a Valeur exacte En utilisant la relation de Pythagore, on peut trouver la valeur exacte de certains rapports trigonométriques. Angle de 45o Donc : Angle de 30o Donc : Angle de 60o De la même manière, on peut aisément trouver que : Radians Combien de fois un arc de cercle de longueur égale au rayon r est-il compris dans la circonférence d'un cercle ? c = 2πr c / r = 2π Donc, il est compris environ 6,28 fois. L'angle entre les deux rayons s'appelle 1 radian. 360o = 2π radians donc : 1 radian = 360 / 2π 1 radian vaut environ 57,29o Pour transformer des degrés en radians ( ou l'inverse ), on utilise : Note : θ se lit "thêta". Ex.: Transformer 90 o en radians. On obtient les équivalences suivantes entre les angles et les radians : Pour trouver la longueur d'un arc de cercle ( en unité de longueur ), on utilise : En mode degré : En mode radian : Cercle trigonométrique C'est un cercle de rayon r = 1, centré à l'origine. En appliquant la relation de Pythagore, on obtient : x2 + y2 = 1 donc (cosθ)2 + (sinθ)2 = 1 Un point situé sur le cercle trigonométrique est un point appartenant à la fonction d'enroulement. On peut définir le point ( x,y ) par rapport à l'angle de rotation du rayon. La fonction d'enroulement. qui associe un couple à un point du cercle est la fonction Visuellement, c'est comme si on "enroulait" la droite des réels ( qui contient les angles de rotation ) autour du cercle trigonométrique et qu'on fait la correspondance entre l'angle de rotation et le point du cercle. À la fin, on constate que les angles de rotation de 360o,720o et 1080o ont tous la même image ( le couple (1,0)).