12- Trigonométrie - Cours - Version courte

1
2
Perpendiculaire à un côté du
secteur, tracée où l’on veut
T RIGONOMÉTRIE
I. MESURE
Secteur représentant
l’angle
Considérons un secteur angulaire et un cercle ayant pour centre le
Hypoténuse
DÉFINITION
D’ UN ANGLE EN RADIAN
Côté « opposé » à
sommet O de ce secteur. Soient A et B les points d’intersection de
avec les côtés du secteur. Notons AB l’arc du cercle intercepté par
longueur de l'arc AB
rayon du cercle
Côté « adjacent » à
de l’angle AOB est le rapport :
le secteur. La mesure en
DÉFINITION
Dans un triangle rectangle, on considère un angle (autre que l’angle
droit). On définit le sinus, le cosinus et la tangente de cet angle
comme rapports de certains côtés du triangle rectangle :
ANGLES USUELS
tan
côté adjacent
hypoténuse
cos
côté opposé
hypoténuse
sin
2πr
2
r
πr
Mesure en radian de l’angle plat :
=
r
1
πr πr π
Mesure en radian de l’angle droit : 2 = =
r
2r 2
Mesure en radian de l’angle plein :
sin 2
1
2
» signifie cos
« cos 2
T R I G O N O M É T R I Q U E S AU C O L L È G E
L E S R A P P O RT S
cos 2
II. RAPPEL :
sin
cos
est la mesure en radian de l’angle plat.
rad
tan
Angle plat =
RÉSUMÉ
RELATIONS TRIGONOMÉTRIQUES
côté opposé
côté adjacent
3
4
VALEURS EXACTES À CONNAÎTRE
mesure de en
degré
L’arc fléché sert à « numéroter » les côtés (1-départ ; 2-arrivée) et
non à orienter ! De ce fait, il peut tourner dans l’autre sens et
cos
sin
B
A
O
&
%
#
"
III. ANGLE
%
OA;OB
%
π
3
3
2
1
2
$
π
4
2
2
2
2
&
π
6
1
2
3
2
mesure de en
radian
pourtant marquer le même angle :
%
60°
%
45°
%
30°
RÉCAPITULATIF
DE COUPLE
Angles de secteurs
ANGLE DE SECTEUR
Angles de couples
Dans le secteur angulaire les deux côtés ont un rôle similaire, en
revanche, on distingue le secteur saillant du secteur rentrant. Deux
B
B
&
%
%
%
&
%
$
$
*
A
O
entre la partie saillante et la partie rentrante, mais on distingue les
B
&
%
%
)
A
#
"
O
&
%
%
%
&
#
"
Départ
%
$
A
O
%
!
!
OA;OB
OA;OB
%
O
A
%
$
B
O
&
O
*
Arrivée
A
%
'
AOB
A
%
OA;OB
%
l’arrivée).
B
B
B
deux côtés (le numéro 1 et le numéro 2 ou si l’on préfère le départ et
#
"
#
"
A
O
%
OB;OA
&
%
%
%
&
%
O
%
OA;OB
%
O
BOA
A
(
)
AOB
A
'
ANGLE DE COUPLE
Dans le couple de demi-droites (ou de vecteurs) on ne choisit pas
B
B
%
secteurs définissent le même angle lorsqu’ils sont « superposables ».
5
6
V
I V. M E S U R E S O R I E N T É E S
D ’ UN ANGLE DE COUPLE
π
2
ORIENTATION
.
0
/
.
-
,
+
Pour mesurer les angles (de couple), on
9π
; ...
2
:
.
-
,
0
+
/
+
-
,
0
/
.
6
5
4
3
2
1
1
.
=
<
?
>
=
<
;
Chaque angle a ainsi une infinité de
est traditionnellement représenté par le sens inverse des aiguilles
5π
;
2
:
3π
π
; +
;
2
2
9
7π
;
2
9
... ;
. Sur le papier, ce sens
d’une montre. Les mesures des angles sont alors munies d’un signe :
5π
2
Les mesures de l’angle droit direct sont :
tout d’abord le
plan, c'est-à-dire qu’on privilégie l’un des deux sens de rotation, qui
sera appelé le
:
9
3π
2
LA MESURE PRINCIPALE
<
?
>
=
A
@
@
<
B
C
?
π
2
de cet angle.
D
E
G
F
E
8
7
π
2
D
+
π;π ) est appelée
<
qui appartient à l’intervalle
;
sinon, elle est négative.
C
La mesure d’un angle donné qui a la plus petite valeur absolue (celle
B
si l’on tourne dans le sens trigonométrique, la mesure est positive,
CONGRUENCE
On passe d’une mesure à l’autre d’un même angle en ajoutant ou
H
soustrayant un certain nombre de fois 2 . On dit qu’elles sont
angle droit direct
angle droit indirect
2 .
I
K
H
B
>
;
TRIGONOMÉTRIQUE
G
E
I
F
I
J
E
<
>
Q
?
O
P
;
?
O
est le cercle de rayon 1 et de centre O.
U
U
lorsque l’angle droit i; j
T
G
E
K
O
<
?
S
R
Un repère orthonormé est dit
est lui-même direct.
<
B
?
<
O
<
?
, le
G
G
E
K
M
cinq quarts de tours dans le sens positif, etc.
N
O ; i; j
N
Dans un repère orthonormé
L
DÉFINITION
=
aussi tourner de trois quarts de tours dans le sens négatif, ou de
V. C E R C L E
<
de tourner d’un quart de tour dans le sens positif, mais on peut
>
?
Pour attribuer une mesure à l’angle droit direct, le plus simple est
I
J
F
I
G
LES MESURES
entre elles,
7
8
+
g
3π
4
j
i
π
4
π
6
0
5π
6
π
6
q
π
2
q
r
Z
trigonométrique. À tout point M de , on fait correspondre l’angle
2π
3
π
3
q
3π
4
r
Z
X
le cercle
q
π
r
Y
Y
Dans un repère orthonormé direct O ; i; j , on note
W
AZIMUT
π
3
5π
6
f
O
π
2
2π
3
π
4
^
_
_
_
_
^
^
_
_
_
_
^
]
]
e
d
c
b
a
`
\
[
\
[
i;OM . L’angle i;OM s’appelle l’
du point M.
+
azimut
M
VI. LES
FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
AU LYC É E
DÉFINITION
f
O
i
Dans un repère orthonormé direct :
k
sont les coordonnées du point d’« azimut » sur le
k
m
l
j
k
j
i
h
et
o
cercle trigonométrique. (Respectivement abscisse et ordonnée.)
sin
0, on pose : tan
Lorsque cos
cos
p
o
n
k
o
ANGLES USUELS
Voici les mesures principales (en radian) des angles les plus courants,
représentées sur le cercle trigonométrique (les mesures sont écrites
à côté du point du cercle qui représente l’angle) :
9
10
‚
x
tan x
}
sin
~
}
cos

FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
sin, cos et tan peuvent être vues comme des fonctions.
SINUSOÏDE
Voici les courbes de ces trois fonctions. Les courbes des fonction
sinus et cosinus (dans un repère orthogonal) se nomment des
s
z
y
x
w
s
v
u
t
s
.
{
x
sin x
|
–2
|
cos x
€
π
2
π
2
2
|

x
|
–
π
2
π
2