Cours : Nombres complexes Table des mati`eres 1 Le corps des

Lyc´ee du Parc 831 ann´ee 2006–2007
Cours : Nombres complexes
Table des mati`eres
1 Le corps des nombres complexes 1
1.1 D´efinition, conjugaison, module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 In´egalit´e triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Forme trigonom´etrique 1
2.1 Forme trigonom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2.2 Applications `a la trigonom´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.3 Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3 Racines d’un nombre complexe 2
3.1 L’´equation du second degr´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3.2 Racines n-i`emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1 Le corps des nombres complexes
1.1 D´efinition, conjugaison, module
Le carr´e de tout nombre r´eel ´etant positif, l’´equation :
x2=−1
n’admet pas de solution r´eelle. Nous admettrons qu’il existe un ensemble de nombres A
v´erifiant les propri´et´es suivantes :
–R⊂A
– On peut additionner et multiplier les ´el´ements de Aen utilisant les r`egles usuelles de
l’alg`ebre.
– L’´equation x2=−1 admet au moins une solution sur A.
On note iune solution de cette ´equation.
D´efinition 1. On appelle corps des nombres complexes l’ensemble des nombres
a+ib o`u aet bsont r´eels.
Proposition 1. L’ensemble Cest stable pour les op´erations d’addition et de mul-
tiplication.
D´efinition 2. Pour tout nombre complexe z, il existe un unique couple de r´eels
(a, b)tel que z=a+ib. Les r´eels aet bsont respectivement appel´es partie r´eelle
et partie imaginaire de z. On note :
a= Re zet b= Im z
Proposition 2. Soit z1et z2deux nombres complexes, λet µdeux r´eels. Alors :
–Re (λz1+µz2) = λRe z1+µRe z2
–Im (λz1+µz2) = λIm z1+µIm z2
Un nombre complexe zest nul si et seulement si sa partie r´eelle et sa partie
imaginaire le sont.
D´efinition 3. On dit qu’un nombre complexe zest imaginaire pur lorsque
Re z= 0. L’ensemble des nombres imaginaires purs est not´e iR.
D´efinition 4. Soit zun nombre complexe. On appelle conjugu´e de zet on note
zle nombre complexe :
z=a−ib
o`u aet bsont respectivement la partie r´eelle et imaginaire de z.
Proposition 3. Soit z1, z2∈C. Alors :
–z1+z2=z1+z2
–z1z2=z1z2
De plus, pour tout nombre complexe z,z=z.
Proposition 4. Soit zun nombre complexe. Alors :
Re z=z+z
2et Im z=z−z 2i
En particulier :
–zest r´eel si et seulement si z=z.
–zest imaginaire pur si et seulement si z=−z.
D´efinition 5. Pour tout nombre complexe z, le nombre zz est r´eel positif. On
appelle module de zet on note |z|le r´eel d´efini par :
|z|=√zz
Proposition 5. Soit z1, z2, z ∈C. Alors :
–|z1z2|=|z1||z2|
–|z|=|z|
De plus |z|= 0 si et seulement si z= 0.
1.2 Inverse
Proposition 6. Si z1et z2sont deux nombres complexes tels que z1z2= 0, alors
z1= 0 ou z2= 0. On dit que Cest int`egre.
Proposition 7. Soit zun nombre complexe non nul. Alors il existe un unique
nombre complexe z′tel que zz′= 1. On note ce nombre z−1ou 1/z. De plus :
1
z=z
|z|2
Proposition 8. Soit zun nombre complexe non nul. Alors :
1
z=1 zet 
1
z
=1
|z|
Proposition 9. Soit z∈Cet n∈N. Alors :
–¯ zn= ¯zn
–|zn|=|z|n
Ces relations restent vraies lorsque zest non nul et que nest un entier relatif.
1.3 In´egalit´e triangulaire
Proposition 10. Soit z∈C. Alors :
Re z6|Re (z)|6|z|et Im z6|Im (z)|6|z|
De plus Re z=|z|si et seulement si zest r´eel positif.
Proposition 11. Soit z1et z2deux nombres complexes. Alors :
|z1+z2|6|z1|+|z2|
De plus l’´egalit´e a lieu si et seulement si z1et z2sont positivement li´es, c’est-`a-dire
lorsque z1= 0 ou lorsqu’il existe λ∈R+tel que z2=λz1.
Proposition 12. Soit z1et z2deux nombres complexes. Alors :
||z1| − |z2|| 6|z1+z2|6|z1|+|z2|
2 Forme trigonom´etrique
2.1 Forme trigonom´etrique
D´efinition 6. Pour tout r´eel θ, on d´efinit l’exponentielle de iθ par :
eiθ = cos θ+isin θ
Proposition 13. Soit θ1et θ2deux r´eels. Alors :
ei0= 1 et ei(θ1+θ2)=eiθ1eiθ2
Proposition 14. Soit θun r´eel et n∈Z. Alors eiθ est non nul et :
1
eiθ =e−iθ et einθ =eiθ n
Proposition 15. Soit θun r´eel. Alors on a les formules dites formules d’Euler :
cos θ=eiθ +e−iθ
2et sin θ=eiθ −e−iθ 2i
Pour n∈Zon a la formule dite formule de Moivre :
cos (nθ) + isin (nθ) = (cos θ+isin θ)n
Proposition 16.
– Soit θ∈R. Alors eiθ = 1 si et seulement si θ≡0 [2π].
– Plus pr´ecisement, ´etant donn´es θ1et θ2∈R,eiθ1=eiθ2si et seulement si
θ1≡θ2[2π].
D´efinition 7. On note Ul’ensemble des nombres complexes de module 1.
Proposition 17. L’application qui `a θassocie eiθ est une surjection de Rdans
U. Autrement dit :
– Si θ∈R,eiθ ∈U.
– R´eciproquement, pour tout ´el´ement ude U, il existe un r´eel θtel que u=eiθ .
D´efinition 8. Soit zun nombre complexe non nul. On appelle argument de z
tout r´eel θtel que :
z=|z|eiθ
Si θest un argument de z, l’ensemble de ses arguments est :
θ+ 2πZ={θ+ 2kπ :k∈Z}
On note alors :
arg z≡θ[2π]
Proposition 18. Soit ρ1, ρ2deux r´eels non nuls et θ1, θ2deux r´eels tels que
ρ1eiθ1=ρ2eiθ2. Alors :
ρ1=ρ2et θ1≡θ2[2π]
ou ρ1=−ρ2et θ1≡θ2+π[2π]

Proposition 19. Soit z1, z2, z ∈C∗et n∈Z. Alors :
–arg z1z2≡arg z1+ arg z2[2π]
–arg z1/z2≡arg z1−arg z2[2π]
–arg zn≡narg z[2π]
2.2 Applications `a la trigonom´etrie
2.3 Exponentielle complexe
D´efinition 9. Soit z=a+ib un nombre complexe o`u aet bsont respectivement
la partie r´eelle et imaginaire de z. On appelle exponentielle de zet on note ezle
nombre complexe d´efini par :
ez=ea(cos b+isin b)
Proposition 20. Soit z1et z2deux nombres complexes. Alors :
e0= 1 et ez1+z2=ez1ez2
Proposition 21. Soit zun nombre complexe, et n∈Z. Alors ezest non nul et :
1
ez=e−zet enz = (ez)n
Proposition 22. Soit zun nombre complexe. Alors :
ez=ezet |ez|=eRe z
Proposition 23.
– Soit z∈C. Alors ez= 1 si et seulement si il existe un entier k∈Ztel que
z=ik2π.
– Plus pr´ecisement, ´etant donn´es z1et z2deux nombres complexes, ez1=ez2si
et seulement si il existe un entier k∈Ztel que z1=z2+ik2π.
Proposition 24. L’exponentielle est une surjection de Cdans C∗. Autrement
dit :
∀z∈C∗∃z′∈Cez′=z
3 Racines d’un nombre complexe
3.1 L’´equation du second degr´e
D´efinition 10. Soit aun nombre complexe. On appelle racine de atout nombre
complexe ztel que :
z2=a
Proposition 25. Soit aun nombre complexe non nul. Alors aadmet exactement
deux racines distinctes oppos´ees l’une `a l’autre.
Proposition 26. Soit a, b, c ∈Cavec a6= 0.
– On consid`ere l’´equation :
az2+bz +c= 0
On appelle discriminant le nombre complexe ∆ = b2−4ac.
– Si ∆ = 0, le trinˆome admet une et une seule racine appel´ee racine double :
z0=−b
2a
– Si ∆6= 0, le trinˆome admet exactement deux racines distinctes :
z1=−b+δ
2aet z2=−b−δ 2a
o`u δest une racine carr´ee de ∆.
– Lorsque l’´equation s’´ecrit sous la forme :
az2+ 2bz +c= 0
on utilise le discriminant r´eduit ∆′=b2−ac. Dans ce cas :
– Si ∆′= 0, le trinˆome admet une et une seule racine appel´ee racine double :
z0=−b
a
– Si ∆′6= 0, le trinˆome admet exactement deux racines distinctes :
z1=−b+δ′
aet z2=−b−δ′ a
o`u δ′est une racine carr´ee de ∆′.
Proposition 27. Soit a, b, c ∈Cavec a6= 0 et z1, z2deux nombre com-
plexes. Alors z1et z2sont les deux racines, ´eventuellement ´egales, de l’´equation
az2+bz +c= 0 si et seulement si :
z1+z2=−b
aet z1z2=c a
3.2 Racines n-i`emes
D´efinition 11. ´ Etant donn´e n∈N∗et a∈C, on appelle racine n-i`eme de atout
nombre complexe ztel que zn=a. Les racines n-i`emes de 1 sont appel´ees racines
n-i`emes de l’unit´e et l’ensemble de ces racines est not´e Un.
Proposition 28. Soit n∈N∗et ω=ei2π
n. Alors les nnombres complexes
1,ω,...,ωn−1
sont deux `a deux distincts et sont exactement les racines n-i`emes de l’unit´e.
Proposition 29. Soit n∈N∗et ζune racine n-i`eme de l’unit´e diff´erente de 1.
Alors :
1 + ζ+···+ζn−1= 0
En particulier pour ζ=ei2π
n, on en d´eduit que la somme des racines n-i`emes de
l’unit´e est nulle.
Proposition 30. Soit a∈C∗et n∈N∗. Si a=reiθ avec r > 0et θ∈R
z0=n
√reiθ
n
est une racine n-i`eme de a.
Proposition 31. Soit a∈C∗et n∈N∗. On suppose que z0est une racine n-i`eme
de a. Alors les nnombres complexes
z0, ωz0,...,ωn−1z0
o`u ω=ei2π
nsont deux `a deux distincts et sont exactement les racines n-i`emes de
a.