Cours : Nombres complexes Table des mati`eres 1 Le corps des

Lycée du Parc
831 année 2006–2007
Cours : Nombres complexes
Table des matières
Proposition 7. Soit z un nombre complexe non nul. Alors il existe un unique
nombre complexe z ′ tel que zz ′ = 1. On note ce nombre z −1 ou 1/z. De plus :
1 Le corps des nombres complexes
1.1 Définition, conjugaison, module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Inégalité triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
1
1
2 Forme trigonométrique
2.1 Forme trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Applications à la trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
2
3 Racines d’un nombre complexe
3.1 L’équation du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Racines n-ièmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
1
Le corps des nombres complexes
1.1
z
1
= 2
z
|z|
Proposition 8. Soit z un nombre complexe non nul. Alors :
1
1
1
1
=
et =
z
z
z
|z|
Proposition 9. Soit z ∈ C et n ∈ N. Alors :
– z¯n = z̄ n
n
– |z n | = |z|
Ces relations restent vraies lorsque z est non nul et que n est un entier relatif.
1.3
Définition, conjugaison, module
Le carré de tout nombre réel étant positif, l’équation :
Re z 6 |Re (z)| 6 |z|
x2 = −1
Im z 6 |Im (z)| 6 |z|
Proposition 11. Soit z1 et z2 deux nombres complexes. Alors :
|z1 + z2 | 6 |z1 | + |z2 |
De plus l’égalité a lieu si et seulement si z1 et z2 sont positivement liés, c’est-à-dire
lorsque z1 = 0 ou lorsqu’il existe λ ∈ R+ tel que z2 = λz1 .
Proposition 12. Soit z1 et z2 deux nombres complexes. Alors :
Définition 1. On appelle corps des nombres complexes l’ensemble des nombres
a + ib où a et b sont réels.
Proposition 1. L’ensemble C est stable pour les opérations d’addition et de multiplication.
Définition 2. Pour tout nombre complexe z, il existe un unique couple de réels
(a, b) tel que z = a + ib. Les réels a et b sont respectivement appelés partie réelle
et partie imaginaire de z. On note :
et
et
De plus Re z = |z| si et seulement si z est réel positif.
n’admet pas de solution réelle. Nous admettrons qu’il existe un ensemble de nombres A
vérifiant les propriétés suivantes :
– R⊂A
– On peut additionner et multiplier les éléments de A en utilisant les règles usuelles de
l’algèbre.
– L’équation x2 = −1 admet au moins une solution sur A.
On note i une solution de cette équation.
a = Re z
Inégalité triangulaire
Proposition 10. Soit z ∈ C. Alors :
||z1 | − |z2 || 6 |z1 + z2 | 6 |z1 | + |z2 |
2
2.1
Forme trigonométrique
Forme trigonométrique
Définition 6. Pour tout réel θ, on définit l’exponentielle de iθ par :
eiθ = cos θ + i sin θ
b = Im z
Proposition 2. Soit z1 et z2 deux nombres complexes, λ et µ deux réels. Alors :
– Re (λz1 + µz2 ) = λ Re z1 + µ Re z2
– Im (λz1 + µz2 ) = λ Im z1 + µ Im z2
Un nombre complexe z est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie
imaginaire le sont.
Proposition 13. Soit θ1 et θ2 deux réels. Alors :
ei0 = 1
ei(θ1 +θ2 ) = eiθ1 eiθ2
et
Proposition 14. Soit θ un réel et n ∈ Z. Alors eiθ est non nul et :
1
= e−iθ
eiθ
Définition 3. On dit qu’un nombre complexe z est imaginaire pur lorsque
Re z = 0. L’ensemble des nombres imaginaires purs est noté iR.
et
einθ = eiθ
n
Proposition 15. Soit θ un réel. Alors on a les formules dites formules d’Euler :
Définition 4. Soit z un nombre complexe. On appelle conjugué de z et on note
z le nombre complexe :
z = a − ib
où a et b sont respectivement la partie réelle et imaginaire de z.
cos θ =
eiθ + e−iθ
2
et
sin θ =
eiθ − e−iθ
2i
Pour n ∈ Z on a la formule dite formule de Moivre :
cos (nθ) + i sin (nθ) = (cos θ + i sin θ)n
Proposition 3. Soit z1 , z2 ∈ C. Alors :
– z1 + z2 = z1 + z2
– z1 z2 = z1 z2
De plus, pour tout nombre complexe z, z = z.
Proposition 16.
– Soit θ ∈ R. Alors eiθ = 1 si et seulement si θ ≡ 0 [2π].
– Plus précisement, étant donnés θ1 et θ2 ∈ R, eiθ1 = eiθ2 si et seulement si
θ1 ≡ θ2 [2π].
Proposition 4. Soit z un nombre complexe. Alors :
Re z =
z+z
2
et
Im z =
z−z
2i
En particulier :
– z est réel si et seulement si z = z.
– z est imaginaire pur si et seulement si z = −z.
1.2
Définition 7. On note U l’ensemble des nombres complexes de module 1.
Proposition 17. L’application qui à θ associe eiθ est une surjection de R dans
U. Autrement dit :
– Si θ ∈ R, eiθ ∈ U.
– Réciproquement, pour tout élément u de U, il existe un réel θ tel que u = eiθ .
Définition 5. Pour tout nombre complexe z, le nombre zz est réel positif. On
appelle module de z et on note |z| le réel défini par :
√
|z| = zz
Définition 8. Soit z un nombre complexe non nul. On appelle argument de z
tout réel θ tel que :
z = |z| eiθ
Proposition 5. Soit z1 , z2 , z ∈ C. Alors :
– |z1 z2 | = |z1 | |z2 |
– |z| = |z|
De plus |z| = 0 si et seulement si z = 0.
On note alors :
Inverse
Proposition 6. Si z1 et z2 sont deux nombres complexes tels que z1 z2 = 0, alors
z1 = 0 ou z2 = 0. On dit que C est intègre.
Si θ est un argument de z, l’ensemble de ses arguments est :
θ + 2πZ = {θ + 2kπ : k ∈ Z}
arg z ≡ θ [2π]
Proposition 18. Soit ρ1 , ρ2 deux réels non nuls et θ1, θ2 deux réels tels que
ρ1 eiθ1 = ρ2 eiθ2 . Alors :
ρ1 = ρ2 et θ1 ≡ θ2 [2π]
ou
ρ1 = −ρ2 et θ1 ≡ θ2 + π [2π]
Proposition 19. Soit z1 , z2 , z ∈ C∗ et n ∈ Z. Alors :
– arg z1 z2 ≡ arg z1 + arg z2 [2π]
– arg z1 /z2 ≡ arg z1 − arg z2 [2π]
– arg z n ≡ n arg z [2π]
Proposition 26. Soit a, b, c ∈ C avec a 6= 0.
– On considère l’équation :
az 2 + bz + c = 0
On appelle discriminant le nombre complexe ∆ = b2 − 4ac.
– Si ∆ = 0, le trinôme admet une et une seule racine appelée racine double :
z0 = −
2.2
Applications à la trigonométrie
2.3
Exponentielle complexe
– Si ∆ 6= 0, le trinôme admet exactement deux racines distinctes :
z1 =
−b + δ
2a
on utilise le discriminant réduit ∆′ = b2 − ac. Dans ce cas :
– Si ∆′ = 0, le trinôme admet une et une seule racine appelée racine double :
z0 = −
Proposition 20. Soit z1 et z2 deux nombres complexes. Alors :
ez1 +z2 = ez1 ez2
Proposition 21. Soit z un nombre complexe, et n ∈ Z . Alors ez est non nul et :
et
nz
e
et
−b + δ ′
a
z2 =
et
−b − δ ′
a
où δ ′ est une racine carrée de ∆′ .
z n
= (e )
Proposition 27. Soit a, b, c ∈ C avec a 6= 0 et z1 , z2 deux nombre complexes. Alors z1 et z2 sont les deux racines, éventuellement égales, de l’équation
az 2 + bz + c = 0 si et seulement si :
Proposition 22. Soit z un nombre complexe. Alors :
ez = ez
b
a
– Si ∆′ 6= 0, le trinôme admet exactement deux racines distinctes :
z1 =
1
= e−z
ez
−b − δ
2a
az 2 + 2bz + c = 0
ez = ea (cos b + i sin b)
et
z2 =
et
où δ est une racine carrée de ∆.
– Lorsque l’équation s’écrit sous la forme :
Définition 9. Soit z = a + ib un nombre complexe où a et b sont respectivement
la partie réelle et imaginaire de z. On appelle exponentielle de z et on note ez le
nombre complexe défini par :
e0 = 1
b
2a
z1 + z2 = −
b
a
z1 z2 =
et
c
a
|ez | = eRe z
3.2
Proposition 23.
– Soit z ∈ C. Alors ez = 1 si et seulement si il existe un entier k ∈ Z tel que
z = ik2π.
– Plus précisement, étant donnés z1 et z2 deux nombres complexes, ez1 = ez2 si
et seulement si il existe un entier k ∈ Z tel que z1 = z2 + ik2π.
Proposition 24. L’exponentielle est une surjection de C dans C∗ . Autrement
dit :
′
∀z ∈ C∗ ∃z ′ ∈ C ez = z
Racines n-ièmes
Définition 11. Étant donné n ∈ N∗ et a ∈ C, on appelle racine n-ième de a tout
nombre complexe z tel que z n = a. Les racines n-ièmes de 1 sont appelées racines
n-ièmes de l’unité et l’ensemble de ces racines est noté Un .
2π
Proposition 28. Soit n ∈ N∗ et ω = ei n . Alors les n nombres complexes
1, ω, . . . , ω n−1
sont deux à deux distincts et sont exactement les racines n-ièmes de l’unité.
Proposition 29. Soit n ∈ N∗ et ζ une racine n-ième de l’unité différente de 1.
Alors :
1 + ζ + · · · + ζ n−1 = 0
2π
En particulier pour ζ = ei n , on en déduit que la somme des racines n-ièmes de
l’unité est nulle.
3
3.1
Racines d’un nombre complexe
Proposition 30. Soit a ∈ C∗ et n ∈ N∗ . Si a = reiθ avec r > 0 et θ ∈ R
z0 =
L’équation du second degré
Définition 10. Soit a un nombre complexe. On appelle racine de a tout nombre
complexe z tel que :
z2 = a
√
n
θ
rei n
est une racine n-ième de a.
Proposition 31. Soit a ∈ C∗ et n ∈ N∗ . On suppose que z0 est une racine n-ième
de a. Alors les n nombres complexes
z0 , ωz0 , . . . , ω n−1 z0
Proposition 25. Soit a un nombre complexe non nul. Alors a admet exactement
deux racines distinctes opposées l’une à l’autre.
i 2π
n
où ω = e
a.
sont deux à deux distincts et sont exactement les racines n-ièmes de