Programme de colles S8 Nombres complexes Notation

ECS 1 Dupuy de Lˆ ome
Semaine du 11 novembre 2004
Programme de colles S8
NB : Le programme de colle porte sur nombres r´eels, fonctions num´eriques uselles, plus ce qui suit :
Nombres complexes
Notation alg´ebrique des nombres complexes
Th´eor`eme.— Notation alg´ ebrique d’un nombre complexe
Pour tout nombre complexe z∈Cil existe un couple de nombres r´eels (x, y)∈R2,unique, tel que
z=x+iy
Le nombre r´eel xest appel´e la partie r´eelle de zet not´e Re z,yest appel´e la partie imaginaire de zet not´e
Im z. L’unicit´e de la notation alg´ebrique se traduit par :
∀(z, z0)∈C2,z=z0⇐⇒ Re z=Re z0
Im z=Im z0
Proposition?.— Soit z∈Cun nombre complexe. Alors
1. Re z=z+ ¯z
22. Im z=z−¯z 2i
Illustration.— le plan complexe, interpr´etation g´eom´etrique de l’addition des nombres complexes.
Notation exponentielle des nombres complexes non nuls
Proposition-d´efinition.— Module d’un nombre complexe
Soit z∈Cun nombre complexe, Le nombre z¯zest un nombre r´eel positif. On appelle module de z, et on note
|z|le nombre r´eel posistif :
|z|=√z¯z=pRe z2+Im z2
Nombres complexes de module 1
Th´eor`eme.— Repr´ esentation de nombres complexes de module 1
Soit ϕ:R→ U l’application d´efinie par ∀θ∈R, ϕ(θ) = cos θ+isin θ
L’application ϕainsi d´efinie est surjective de Rsur U. En accord avec les propri´et´es de ϕ, on note pour tout
nombre r´eel θ,eiθ = cos θ+isin θ=ϕ(θ)
Th´eor`eme?.— R` egles de calcul pour l’application ϕ
1. ei0= 1.
2. ∀(θ, θ0)∈R2,ei(θ+θ0)=eiθ ×eiθ0
3. ∀θ∈R,e−iθ = 1/eiθ
4. ∀(θ, θ0)∈R2,ei(θ−θ0)=eiθ /eiθ0
Th´eor`eme?.— Formules d’Euler Pour tout nombre r´eel θ∈R,
cos θ=eiθ +e−iθ
2et sin θ=eiθ −e−iθ 2i
Th´eor`eme?.— Formule de Moivre Pour tout nombre r´eel θ∈Ret tout entier relatif n∈Z,
eiθ n=einθ et cos θ+isin θ)n= cos nθ +isin nθ
Exercice?:Soit θ∈R1. Lin´earisez sin3θ2. Ecrivez cos 4θen fonction de puissances de cos θ.
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Proposition.— Forme exponentielle d’un nombre complexe non nul
Soit z∈C?un nombre complexe non nul. Il existe un couple de r´eels (ρ, θ)∈R+?×Rtel que
z=ρeiθ =ρcos θ+isin θ
Il n’y a pas unicit´e de l’´ecriture exponentielle : pour tous (ρ, θ),(ρ0, θ0)∈R+?×R,
ρeiθ =ρ0eiθ0⇐⇒ ρ=ρ0
θ0≡θ0[2π].
Remarque : Si z∈C?, s’´ecrit z=ρeiθ , n´ecessairement ρ=|z|. On appelle un argument de z, et on note
arg (z) tout nombre r´eel tel que z=|z|eiarg (z).
La partie ”unicit´e” de l’´ecriture exponentielle se traduit par
Th´eor`eme.—
∀(z, z0)∈C?×C?,(z=z0)⇐⇒ |z|=|z0|
arg (z)≡arg (z0) [2π]
Illustration.— Interpr´etation g´eom´etrique de la multiplication des nombres complexes.
Racines ni`emes d’un nombre complexe
Th´eor`eme?.— Soit n∈N,n≥2. Notons ω= exp 2iπ
n. L’ensemble Undes racines ni`emes de l’unit´e est :
Un={ωk;k∈Z}={1, ω, . . . , ωn−1}
Illustration.— Repr´esentation des racines ni`emes de 1.
Th´eor`eme?.— Soit n∈N,n≥2 et a∈C?. L’ensemble Sdes racines ni`emes de aest donn´e par :
S={n
p|a|eiarg a
n,n
p|a|eiarg a+2π
n,n
p|a|eiarg a+4π
n, . . . , n
p|a|eiarg a+2(n−1)π
n}
Savoir-faire.— calcul des racines carr´ees en notation alg´ebrique.
Exercice?:Calculez les racines carr´ees de a= 3 −4i.
Equations polynˆomiales de degr´e 2
Proposition.— Soient a∈C?,b, et c∈C. Posons ∆ = b2−4ac et d´esignons par δl’une des racines carr´ees
(complexes) de ∆. Alors l’´equation du deuxi`eme degr´e
az2+bz +c= 0
poss`ede deux solutions (distinctes ou confondues) qui sont donn´ees par :
z1=−b−δ
2az2=−b+δ 2a
De plus pour tout z∈C, nous avons la factorisation :
az2+bz +c=a(z−z1)(z−z2).
Quelques cas particuliers
•lorsque ∆ est nul, . . .
•lorsque a, b et csont r´eels, . . .
Savoir-faire.— r´esolution des ´equations polynˆomiales de degr´e 2
Exercice?:R´esoudre dans Cl’´equation 2z2−(1 + 5i)z−2(1 −i) = 0
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