Programme de colles S8 Nombres complexes Notation

ECS 1 Dupuy de Lˆ
ome
Semaine du 11 novembre 2004
Programme de colles S8
NB : Le programme de colle porte sur nombres r´eels, fonctions num´eriques uselles, plus ce qui suit :
Nombres complexes
Notation alg´ebrique des nombres complexes
Th´eor`eme.— Notation alg´
ebrique d’un nombre complexe
Pour tout nombre complexe zCil existe un couple de nombres eels (x, y)R2,unique, tel que
z=x+iy
Le nombre r´eel xest appel´e la partie eelle de zet not´e Re z,yest appel´e la partie imaginaire de zet not´e
Im z. L’unicit´e de la notation alg´ebrique se traduit par :
(z, z0)C2,z=z0Re z=Re z0
Im z=Im z0
Proposition?.— Soit zCun nombre complexe. Alors
1. Re z=z+ ¯z
22. Im z=z¯z
2i
Illustration.— le plan complexe, interpr´etation g´eom´etrique de l’addition des nombres complexes.
Notation exponentielle des nombres complexes non nuls
Proposition-d´efinition.— Module d’un nombre complexe
Soit zCun nombre complexe, Le nombre z¯zest un nombre r´eel positif. On appelle module de z, et on note
|z|le nombre r´eel posistif :
|z|=z¯z=pRe z2+Im z2
Nombres complexes de module 1
Th´eor`eme.— Repr´
esentation de nombres complexes de module 1
Soit ϕ:R→ U l’application d´efinie par θR, ϕ(θ) = cos θ+isin θ
L’application ϕainsi d´efinie est surjective de Rsur U. En accord avec les propri´et´es de ϕ, on note pour tout
nombre r´eel θ,e= cos θ+isin θ=ϕ(θ)
Th´eor`eme?.— R`
egles de calcul pour l’application ϕ
1. ei0= 1.
2. (θ, θ0)R2,ei(θ+θ0)=e×e0
3. θR,e= 1/e
4. (θ, θ0)R2,ei(θθ0)=e/e0
Th´eor`eme?.— Formules d’Euler Pour tout nombre r´eel θR,
cos θ=e+e
2et sin θ=ee
2i
Th´eor`eme?.— Formule de Moivre Pour tout nombre r´eel θRet tout entier relatif nZ,
en=einθ et cos θ+isin θ)n= cos +isin
Exercice?:Soit θR1. Lin´earisez sin3θ2. Ecrivez cos 4θen fonction de puissances de cos θ.
1
Proposition.— Forme exponentielle d’un nombre complexe non nul
Soit zC?un nombre complexe non nul. Il existe un couple de r´eels (ρ, θ)R+?×Rtel que
z=ρe=ρcos θ+isin θ
Il n’y a pas unicit´e de l’´ecriture exponentielle : pour tous (ρ, θ),(ρ0, θ0)R+?×R,
ρe=ρ0e0ρ=ρ0
θ0θ0[2π].
Remarque : Si zC?, s’´ecrit z=ρe, n´ecessairement ρ=|z|. On appelle un argument de z, et on note
arg (z) tout nombre r´eel tel que z=|z|eiarg (z).
La partie ”unicit´e” de l’´ecriture exponentielle se traduit par
Th´eor`eme.—
(z, z0)C?×C?,(z=z0)|z|=|z0|
arg (z)arg (z0) [2π]
Illustration.— Interpr´etation g´eom´etrique de la multiplication des nombres complexes.
Racines ni`emes d’un nombre complexe
Th´eor`eme?.— Soit nN,n2. Notons ω= exp 2
n. L’ensemble Undes racines ni`emes de l’unit´e est :
Un={ωk;kZ}={1, ω, . . . , ωn1}
Illustration.— Repr´esentation des racines ni`emes de 1.
Th´eor`eme?.— Soit nN,n2 et aC?. L’ensemble Sdes racines ni`emes de aest donn´e par :
S={n
p|a|eiarg a
n,n
p|a|eiarg a+2π
n,n
p|a|eiarg a+4π
n, . . . , n
p|a|eiarg a+2(n1)π
n}
Savoir-faire.— calcul des racines carr´ees en notation alg´ebrique.
Exercice?:Calculez les racines carr´ees de a= 3 4i.
Equations polynˆomiales de degr´e 2
Proposition.— Soient aC?,b, et cC. Posons ∆ = b24ac et d´esignons par δl’une des racines carr´ees
(complexes) de ∆. Alors l’´equation du deuxi`eme degr´e
az2+bz +c= 0
poss`ede deux solutions (distinctes ou confondues) qui sont donn´ees par :
z1=bδ
2az2=b+δ
2a
De plus pour tout zC, nous avons la factorisation :
az2+bz +c=a(zz1)(zz2).
Quelques cas particuliers
lorsque ∆ est nul, . . .
lorsque a, b et csont r´eels, . . .
Savoir-faire.— r´esolution des ´equations polynˆomiales de degr´e 2
Exercice?:R´esoudre dans Cl’´equation 2z2(1 + 5i)z2(1 i) = 0
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