ECS 1 Dupuy de Lˆ
ome
Semaine du 11 novembre 2004
Programme de colles S8
NB : Le programme de colle porte sur nombres r´eels, fonctions num´eriques uselles, plus ce qui suit :
Nombres complexes
Notation alg´ebrique des nombres complexes
Th´eor`eme.— Notation alg´
ebrique d’un nombre complexe
Pour tout nombre complexe z∈Cil existe un couple de nombres r´eels (x, y)∈R2,unique, tel que
z=x+iy
Le nombre r´eel xest appel´e la partie r´eelle de zet not´e Re z,yest appel´e la partie imaginaire de zet not´e
Im z. L’unicit´e de la notation alg´ebrique se traduit par :
∀(z, z0)∈C2,z=z0⇐⇒ Re z=Re z0
Im z=Im z0
Proposition?.— Soit z∈Cun nombre complexe. Alors
1. Re z=z+ ¯z
22. Im z=z−¯z
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Illustration.— le plan complexe, interpr´etation g´eom´etrique de l’addition des nombres complexes.
Notation exponentielle des nombres complexes non nuls
Proposition-d´efinition.— Module d’un nombre complexe
Soit z∈Cun nombre complexe, Le nombre z¯zest un nombre r´eel positif. On appelle module de z, et on note
|z|le nombre r´eel posistif :
|z|=√z¯z=pRe z2+Im z2
Nombres complexes de module 1
Th´eor`eme.— Repr´
esentation de nombres complexes de module 1
Soit ϕ:R→ U l’application d´efinie par ∀θ∈R, ϕ(θ) = cos θ+isin θ
L’application ϕainsi d´efinie est surjective de Rsur U. En accord avec les propri´et´es de ϕ, on note pour tout
nombre r´eel θ,eiθ = cos θ+isin θ=ϕ(θ)
Th´eor`eme?.— R`
egles de calcul pour l’application ϕ
1. ei0= 1.
2. ∀(θ, θ0)∈R2,ei(θ+θ0)=eiθ ×eiθ0
3. ∀θ∈R,e−iθ = 1/eiθ
4. ∀(θ, θ0)∈R2,ei(θ−θ0)=eiθ /eiθ0
Th´eor`eme?.— Formules d’Euler Pour tout nombre r´eel θ∈R,
cos θ=eiθ +e−iθ
2et sin θ=eiθ −e−iθ
2i
Th´eor`eme?.— Formule de Moivre Pour tout nombre r´eel θ∈Ret tout entier relatif n∈Z,
eiθ n=einθ et cos θ+isin θ)n= cos nθ +isin nθ
Exercice?:Soit θ∈R1. Lin´earisez sin3θ2. Ecrivez cos 4θen fonction de puissances de cos θ.
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