PROGRAMME DE COLLE S03 NOMBRES COMPLEXES Notation

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1er septembre 2011
PROGRAMME DE COLLE S03
NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees.
NOMBRES COMPLEXES
Notation alg´ebrique des nombres complexes
Th´eor`eme*.— Pour tout nombre complexe z∈C, il existe un couple de nombres r´eels (x, y)∈R2,unique, tel que
z=x+iy
D´efinition : Le nombre r´eel xest appel´e la partie r´eelle de zet not´e Re z,yest appel´e la partie imaginaire de z
et not´e Im z. Le nombre complexe x−iy est appel´e le conjugu´e de z, on le note ¯z.
Th´eor`eme*.— Pour tout couple (z, z′)∈C2de nombres complexes z=z′⇐⇒ •Re z=Re z′
•Im z=Im z′
Proposition.— Formules du binˆome et identit´e g´eom´etrique —.
∀(a, b)∈C2,∀n∈N, an+1 −bn+1 = (a−b)×
n
X
k=0
akbn−ket (a+b)n=
n
X
k=0 n
kakbn−k
Illustration :le plan complexe, interpr´etation g´eom´etrique de l’addition des nombres complexes.
D´efinition : Soit z∈Cun nombre complexe. Le nombre z¯zest un nombre r´eel positif. On appelle module de z, et
on note |z|le nombre r´eel positif |z|=√z¯z=√Re z2+Im z2.
Nombres complexes complexes de module 1
D´efinition : Soit θ∈R, on appelle exponentielle imaginaire d’angle θ, et on note eiθ le complexe :
eiθ = cos θ+isin θ
Proposition*.— Repr´esentation des nombres complexes de module 1
•Pour tout nombre complexe z∈ U, il existe θ∈Rtel que z=eiθ ,
•Pour tout couple (θ, θ′)∈R2de r´eels, eiθ =eiθ′⇐⇒ θ≡θ′[2π]
Th´eor`eme.— R`egles de calcul pour l’exponentielle imaginaire —. Pour tout couple (θ, θ′)∈R2de r´eels
1. ei0= 1 3. e−iθ = 1/eiθ =eiθ
2. ei(θ+θ′)=eiθ ×eiθ′4. ei(θ−θ′)=eiθ /eiθ′
Th´eor`eme.— Formules d’Euler et Moivre —. Pour tout r´eel θ∈Ret tout entier relatif n∈Z,
Euler cos θ=1
2eiθ +e−iθMoivre eiθ n=einθ
sin θ=1
2ieiθ −e−iθcos θ+isin θ)n= cos nθ +isin nθ
Applications `a la trigonom´etrie
Lemme.— Factorisation d’une somme d’exponentielles imaginaires —. Soit (θ1, θ2)∈R2, alors
eiθ1+eiθ2= 2 cos θ1−θ2
2eiθ1+θ2
2eiθ1−eiθ2= 2isin θ1−θ2
2eiθ1+θ2
2.
1

Proposition*.— Rappels de trigonom´etrie —. Formules d’addition, de duplication, de transformation de produit
en somme , de sommes en produit (cf programme de S01bis)
Savoir-faire.— lin´eariser un produit de fonctions trigonom´etriques et l’op´eration inverse en utilisant les formules de
trigo et en utilisant les formules d’Euler, Moivre et Newton.
Notation exponentielle d’un nombre complexe non nul
Proposition.— Soit z∈C⋆un nombre complexe non nul. Il existe un couple de r´eels (ρ, θ)∈R+⋆×Rtel que
z=ρeiθ =ρcos θ+isin θ
Cette ´ecriture est appel´ee forme exponentielle ou trigonom´etrique du nombre complexe non nul z.
D´efinition : Si z∈C⋆, s’´ecrit z=ρeiθ, n´ecessairement ρ=|z|. On appelle un argument de z, et on note arg (z)
tout nombre r´eel tel que z=|z|eiarg (z).
Th´eor`eme*.— Pour tout couple (z, z′)∈C⋆×C⋆de nombres complexes non nuls :
(z=z′)⇐⇒ • |z|=|z′|
•arg (z)≡arg (z′) [2π]
Illustration :interpr´etation g´eom´etrique de la multiplication des nombres complexes.
D´efinition : Soit z=x+iy en notation alg´ebrique. On d´efinit l’exponentielle de zpar ez=ex+iy =exeiy =
excos y+isin y).
Racines ni`emes d’un nombre complexe
Th´eor`eme.— Soit n∈N,n≥2. Notons ωn= exp 2iπ
n. L’ensemble Undes racines ni`emes de l’unit´e est :
Un={ωk
n;k∈Z}={1, ωn,...,ωn−1 n}
Illustration :Repr´esentation des racines ni`emes de 1.
Th´eor`eme.— Racines ni`emes de a—. Soit n∈N,n≥2 et a∈C⋆. On note ωn= exp( 2iπ
n). Soit ζ0une solution
particuli`ere de l’´equation zn=a, par exemple ζ0=n
p|a|eiarg a
n. Alors
S={ζ0, ζ0ωn, ζ0ω2
n,..., ζ0ωn−1 n}={n
p|a|eiarg a
n,n
p|a|eiarg a+2π
n,n
p|a|eiarg a+4π
n,..., n
p|a|eiarg a+2(n−1)π
n}
Autrement dit, on obtient toutes les racines ni`emes de a∈C⋆en multipliant l’une d’entre elles par toutes les racines
ni`emes de l’unit´e.
Savoir-faire.— calcul des racines carr´ees en notation alg´ebrique.
Application aux ´equations polynomiales
Proposition.— Soient a∈C⋆,b, et c∈C. Posons ∆ = b2−4ac et d´esignons par δl’une des racines carr´ees (complexes)
de ∆. Alors l’´equation du deuxi`eme degr´e az2+bz +c= 0 poss`ede deux solutions (distinctes ou confondues) qui sont
donn´ees par :
z1=−b−δ
2az2=−b+δ 2a
De plus, pour tout z∈C, nous avons la factorisation : az2+bz +c=a(z−z1)(z−z2).
Corollaire*.— Soit (σ, ρ)∈C2. Les solutions dans C2du syst`eme d’´equations z1+z2=σ
z1×z2=ρsont les couples de
complexes dont les coordonn´ees sont les solutions de l’´equation polynomiale z2−σz +ρ= 0.
Savoir-faire.— Pour les ´equation polynomiales de degr´e sup´erieur `a 3,
•trouver une solution particuli`ere (´evidente ou en suivant les indications de l’´enonc´e),
•effectuer un changement d’inconnue pour se ramener `a une ´equation de plus bas degr´e
2