IUT GMP Année 2014/2015 TD : Primitives, méthodes d’intégration Exercice 1. Calculer les intégrales suivantes, puis vérifier géométriquement le résultat : Z 3 Z 1 Z 2 3 |x − 2|dx (1 − |x|)dx, et K = x dx, J= I= −1 −2 0 Exercice 2. Déterminer les primitives des fonctions suivantes : x3 + 5x2 − 4x − 1 x2 2 x3 e2x+6 5x2 e2x √ (4x + 3)5 3 +1 x 3x (1 + 3 ln(x))3 x cos(x) 2 + sin(x) sin3 (x) cos(x) Exercice 3. Calculer les intégrales suivantes : Z 3 Z 1 Z π 4 1 2 Arctan(x) √ x+ tan(x)dx, dx dx, 1 + x2 x 0 1 0 p x2 + 1 Z e et 1 1 dx x(1 + ln(x)) Exercice 4. Calculer, à l’aide d’un changement de variable, les intégrales suivantes : Z 1 I= (x + 1)5 (x + 2)dx en posant t = x + 1 0 4 Z J= 1 1 Z K= 0 dx √ √ ( x + 1) x dx (1 + x2 )2 en posant t = √ x en posant x = tan(t) Exercice 5. Soit C0 et C1 les cercles de rayon 1 et de centres respectifs (0, 0) et (1, 0). 1. Déterminer les équations cartésiennes de C0 et C1 . 2. Déterminer les coordonnées des points d’intersection des deux cercles. 3. Calculer l’aire de la surface délimitée par l’intersection des deux disques. Exercice 6. Calculer, à l’aide d’une intégration par parties, les intégrales suivantes : Z 1 Z π Z π 2 4 x x cos(x)dx, K = Arctan(x)dx et L = dx I= 2 0 0 0 cos (x) Exercice 7. Déterminer les primitives suivantes : Z Z Z ln(x) 2 √ dx I = ln(x)dx, J = (ln(x)) dx, K= x Z Exercice 8. Calculer : 0 1 e− √ x dx. Z et L= x ex+e dx TD : Intégration des fractions rationnelles et trigonométriques Exercice 9. Déterminer A et B dans les égalités suivantes : 6x A B = + (x − 2)(x + 1) x−2 x+1 et x2 6x A B = + − 2x − 3 x−3 x+1 Exercice 10. Déterminer A, B et C dans l’égalité suivante : A Bx + C x2 + 5x − 4 = + 2 . (x − 2)(x2 + 1) x−2 x +1 Exercice 11. Déterminer A, B, C et D dans l’égalité suivante : Cx + D 2x3 + x2 − 1 A B + 2 = + (x + 1)2 (x2 + 1) x + 1 (x + 1)2 x +1 Z Calculer alors 2x3 + x2 − 1 dx. (x + 1)2 (x2 + 1) Exercice 12. Décomposer en éléments simples la fraction x2 + 1 . x3 + 4x2 + 4x Exercice 13. Linéariser sin2 (x), cos4 (x) et sin(2x) cos2 (3x) à l’aide des formules d’Euler et du triangle de Pascal, puis calculer : Z I= π 2 Z 2 sin (x)dx, J= 4 cos (x)dx Z et K= sin(2x) cos2 (3x)dx 0 TD : Intégrales généralisées Exercice 14. Les intégrales suivantes sont-elles convergentes ? Z +∞ Z +∞ Z +∞ 1 1 ln(x) I= dx, J = dx et K = dx. 2 1+x 1+x x 0 0 1 Exercice 15. Calculer les intégrales suivantes : Z +∞ Z +∞ 2ex 5x + 3 I= dx, J = dx (x + 1)2 (x − 1) 1 + e2x 2 0 Z et K= 2 +∞ dx . x ln2 (x) Exercice 16. Soit p un réel strictement positif. Calculer les 2 intégrales suivantes : Z +∞ Z +∞ −px F (p) = cos(x)e dx et G(p) = sin(x)e−px dx. 0 Z Exercice 17. Calculer 1 +∞ 0 √ 1 dx en posant u = 1 + x2 . 2 x 1+x √ TD : Équations différentielles Exercice 18. Intégrer les équations différentielles suivantes : y 0 = y, y − 2xy 0 = 1, xy 0 + (1 + x)y = 0, y 0 − y 2 = 1, yy 0 + 1 = 1, x2 et y 0 ey − 2x = 3. dN = −λN où t est dt le temps compté en jours, t 7−→ N (t) le nombre d’atomes du corps radioactif à l’instant t et λ la constante radioactive de ce corps. Exercice 19. La destruction d’un corps radioactif se traduit par la formule : 1. Soit N0 le nombre d’atomes du corps à l’instant t = 0. Calculer N en fonction de N0 , t et λ. 2. On appelle période ou demi-vie de ce corps radioactif le temps T au bout duquel le nombre d’atomes de ce corps a diminué de moitié. Calculer T en fonction de λ. Application : Calculer la constante radioactive du radium sachant que sa période est de 11,7 jours. Exercice 20. Intégrer les équations différentielles suivantes : y0 + y = e−x x (1 + x2 )y 0 − y = 2xeArctan(x) xy 0 − 2y = x3 (x + 1)y 0 + 2y = 4x2 Exercice 21. Soit un circuit électrique série de résistance R et d’inductance L. On applique aux bornes du circuit une force électromotrice E constante. 1. Ecrire l’équation différentielle satisfaite par l’intensité i(t). 2. On ferme le circuit à l’instant t = 0. Déterminer i(t) en fonction de E, R, L et t. Exercice 22. Un parachutiste tombe à une vitesse de 52ms−1 au moment où s’ouvre son parachute. On fixe l’origine des temps à ce moment-là, et on note t 7−→ v(t) sa vitesse à l’instant t ≥ 0. On a donc v(0) = 52ms−1 . mg 2 On admet que la résistance de l’air est donnée par R = v où m désigne la masse du parachutiste 16 et g = 9, 81ms−2 . 1. Démontrer que la vitesse v est solution de l’équation différentielle : v2 0 v =g 1− 16 2. Résoudre cette équation différentielle et en déduire l’expression de v. 3. Déterminer la limite de v(t) lorsque t tend vers +∞. Exercice 23. Intégrer les équations différentielles suivantes : y 00 = 4y y 00 − 2y 0 − 3y = 3x2 + 1 y 00 − 2y = x2 + 1 y 00 + y 0 − 2y = 6ex y 00 + 9y = 5e−x y 00 + 2y 0 + y = x2 + 1 y 00 − 2y 0 + y = ex + 5 y 00 + 4y = sin(2x) Exercice 24. L’équation différentielle y 00 + y = x2 + 2 admet-elle une solution y telle que : i) y(0) = 1 et y 0 (0) = 0 ? π ii) y(0) = 1 et y 0 = 0? π2 iii) y(0) = 1 et y = 0? 2 iv) y(0) = 1 et y (π) = 0 ? TD : Formulaire (à connaître !) I Dérivées usuelles Ici u désigne une fonction dérivable et α est un réel. f (x) f 0 (x) f (x) f 0 (x) xα α xα−1 (u(x))α α u0 (x) (u(x))α−1 ln(x) 1 x ln(u(x)) u0 (x) u(x) ex ex eu(x) u0 (x) eu(x) sin(x) cos(x) sin(u(x)) u0 (x) cos(u(x)) cos(x) − sin(x) cos(u(x)) −u0 (x) sin(u(x)) tan(x) 1 + (tan(x))2 = II 1 (cos(x))2 tan(u(x)) u0 (x) (1 + (tan(u(x))2 ) = u0 (x) (cos(u(x))2 Primitives usuelles (à une constante près) Ici u désigne une fonction dérivable et α est un réel différent de −1. f (x) F (x) xα xα+1 α+1 F (x) u0 (x) (u(x))α (u(x))α+1 α+1 ln |u(x)| 1 x ln |x| u0 (x) u(x) ex ex u0 (x) eu(x) eu(x) cos(x) sin(x) u0 (x) cos(u(x)) sin(u(x)) sin(x) − cos(x) u0 (x) sin(u(x)) − cos(u(x)) 1 1 + x2 tan(x) − ln | cos(x)| III f (x) Arctan(x) Trigonométrie t 0 sin(t) 0 cos(t) tan(t) = sin(t) cos(t) 1 0 π 6 1 2 √ 3 2 1 √ 3 π 4 √ 2 2 √ 2 2 1 π 3 √ 3 2 1 2 √ 3 π 2 Formule fondamentale : 1 Formules d’angle double : (cos(t))2 + (sin(t))2 = 1 sin(2t) = 2 sin(t) cos(t) 0 et cos(2t) = (cos(t))2 − (sin(t))2 ∞ = 2 (cos(t))2 − 1 = 1 − 2 (sin(t))2