TD : Primitives, méthodes d`intégration

IUT GMP Année 2014/2015
TD : Primitives, méthodes d’intégration
Exercice 1. Calculer les intégrales suivantes, puis vérifier géométriquement le résultat :
I=Z2
−2
x3dx, J =Z1
−1
(1 − |x|)dx, et K=Z3
0|x−2|dx
Exercice 2. Déterminer les primitives des fonctions suivantes :
x3+ 5x2−4x−1
x2
2
x3(4x+ 3)5√x3xpx2+ 1
e2x+6 5x2e2x3+1 sin3(x) cos(x)cos(x)
2 + sin(x)
(1 + 3 ln(x))3
x
Exercice 3. Calculer les intégrales suivantes :
Z3
1x+1
√x2
dx, Zπ
4
0
tan(x)dx, Z1
0
Arctan(x)
1 + x2dx et Ze
1
1
x(1 + ln(x))dx
Exercice 4. Calculer, à l’aide d’un changement de variable, les intégrales suivantes :
I=Z1
0
(x+ 1)5(x+ 2)dx en posant t=x+ 1
J=Z4
1
dx
(√x+ 1)√xen posant t=√x
K=Z1
0
dx
(1 + x2)2en posant x= tan(t)
Exercice 5. Soit C0et C1les cercles de rayon 1 et de centres respectifs (0,0) et (1,0).
1. Déterminer les équations cartésiennes de C0et C1.
2. Déterminer les coordonnées des points d’intersection des deux cercles.
3. Calculer l’aire de la surface délimitée par l’intersection des deux disques.
Exercice 6. Calculer, à l’aide d’une intégration par parties, les intégrales suivantes :
I=Zπ
2
0
xcos(x)dx, K =Z1
0
Arctan(x)dx et L=Zπ
4
0
x
cos2(x)dx
Exercice 7. Déterminer les primitives suivantes :
I=Zln(x)dx, J =Z(ln(x))2dx, K =Zln(x)
√xdx et L=Zex+exdx
Exercice 8. Calculer : Z1
0
e−√xdx.

TD : Intégration des fractions rationnelles et
trigonométriques
Exercice 9. Déterminer Aet Bdans les égalités suivantes :
6x
(x−2)(x+ 1) =A x−2+B x+ 1 et 6x x2−2x−3=A x−3+B x+ 1
Exercice 10. Déterminer A,Bet Cdans l’égalité suivante :
x2+ 5x−4
(x−2)(x2+ 1) =A x−2+Bx +C x2+ 1 .
Exercice 11. Déterminer A,B,Cet Ddans l’égalité suivante :
2x3+x2−1
(x+ 1)2(x2+ 1) =A x+ 1 +B (x+ 1)2+Cx +D x2+ 1
Calculer alors Z2x3+x2−1
(x+ 1)2(x2+ 1)dx.
Exercice 12. Décomposer en éléments simples la fraction x2+ 1
x3+ 4x2+ 4x.
Exercice 13. Linéariser sin2(x),cos4(x)et sin(2x) cos2(3x)à l’aide des formules d’Euler et du
triangle de Pascal, puis calculer :
I=Zπ
2
0
sin2(x)dx, J =Zcos4(x)dx et K=Zsin(2x) cos2(3x)dx
TD : Intégrales généralisées
Exercice 14. Les intégrales suivantes sont-elles convergentes ?
I=Z+∞
0
1
1 + xdx, J =Z+∞
0
1
1 + x2dx et K=Z+∞
1
ln(x)
xdx.
Exercice 15. Calculer les intégrales suivantes :
I=Z+∞
2
5x+ 3
(x+ 1)2(x−1)dx, J =Z+∞
0
2ex
1 + e2xdx et K=Z+∞
2
dx
xln2(x).
Exercice 16. Soit pun réel strictement positif. Calculer les 2 intégrales suivantes :
F(p) = Z+∞
0
cos(x)e−pxdx et G(p) = Z+∞
0
sin(x)e−pxdx.
Exercice 17. Calculer Z+∞
1
1
x√1 + x2dx en posant u=√1 + x2.

TD : Équations différentielles
Exercice 18. Intégrer les équations différentielles suivantes :
y0=y, y −2xy0= 1, xy0+ (1 + x)y= 0, y0−y2= 1, yy0+1
x2= 1,et y0ey−2x= 3.
Exercice 19. La destruction d’un corps radioactif se traduit par la formule : dN
dt =−λN où test
le temps compté en jours, t7−→ N(t)le nombre d’atomes du corps radioactif à l’instant tet λla
constante radioactive de ce corps.
1. Soit N0le nombre d’atomes du corps à l’instant t= 0. Calculer Nen fonction de N0,tet λ.
2. On appelle période ou demi-vie de ce corps radioactif le temps Tau bout duquel le nombre
d’atomes de ce corps a diminué de moitié. Calculer Ten fonction de λ.
Application : Calculer la constante radioactive du radium sachant que sa période est de 11,7 jours.
Exercice 20. Intégrer les équations différentielles suivantes :
y0+y=e−x
xxy0−2y=x3
(1 + x2)y0−y= 2xeArctan(x) (x+ 1)y0+ 2y= 4x2
Exercice 21. Soit un circuit électrique série de résistance Ret d’inductance L. On applique aux
bornes du circuit une force électromotrice Econstante.
1. Ecrire l’équation différentielle satisfaite par l’intensité i(t).
2. On ferme le circuit à l’instant t= 0. Déterminer i(t)en fonction de E, R, L et t.
Exercice 22. Un parachutiste tombe à une vitesse de 52ms−1au moment où s’ouvre son parachute.
On fixe l’origine des temps à ce moment-là, et on note t7−→ v(t)sa vitesse à l’instant t≥0. On a
donc v(0) = 52ms−1.
On admet que la résistance de l’air est donnée par R=mg
16 v2où mdésigne la masse du parachutiste
et g= 9,81ms−2.
1. Démontrer que la vitesse vest solution de l’équation différentielle :
v0=g1−v2
16
2. Résoudre cette équation différentielle et en déduire l’expression de v.
3. Déterminer la limite de v(t)lorsque ttend vers +∞.
Exercice 23. Intégrer les équations différentielles suivantes :
y00 = 4y y00 −2y0−3y= 3x2+ 1 y00 −2y=x2+ 1 y00 +y0−2y= 6ex
y00 + 9y= 5e−xy00 + 2y0+y=x2+ 1 y00 −2y0+y=ex+ 5 y00 + 4y= sin(2x)
Exercice 24. L’équation différentielle y00 +y=x2+ 2 admet-elle une solution ytelle que :
i)y(0) = 1 et y0(0) = 0 ?
ii)y(0) = 1 et y0π
2= 0 ?
iii)y(0) = 1 et yπ
2= 0 ?
iv)y(0) = 1 et y(π)=0?

TD : Formulaire (à connaître !)
I Dérivées usuelles
Ici udésigne une fonction dérivable et αest un réel.
f(x)f0(x)
xαα xα−1
ln(x)1
x
exex
sin(x) cos(x)
cos(x)−sin(x)
tan(x) 1 + (tan(x))2=1
(cos(x))2
f(x)f0(x)
(u(x))αα u0(x) (u(x))α−1
ln(u(x)) u0(x)
u(x)
eu(x)u0(x)eu(x)
sin(u(x)) u0(x) cos(u(x))
cos(u(x)) −u0(x) sin(u(x))
tan(u(x)) u0(x) (1 + (tan(u(x))2) = u0(x)
(cos(u(x))2
II Primitives usuelles (à une constante près)
Ici udésigne une fonction dérivable et αest un réel différent de −1.
f(x)F(x)
xαxα+1
α+ 1
1
xln |x|
exex
cos(x) sin(x)
sin(x)−cos(x)
tan(x)−ln |cos(x)|
f(x)F(x)
u0(x) (u(x))α(u(x))α+1
α+ 1
u0(x)
u(x)ln |u(x)|
u0(x)eu(x)eu(x)
u0(x) cos(u(x)) sin(u(x))
u0(x) sin(u(x)) −cos(u(x))
1
1 + x2Arctan(x)
III Trigonométrie
t0π
6
π
4
π
3
π
2
sin(t) 0 1
2
√2
2
√3
21
cos(t) 1 √3
2
√2
2
1
20
tan(t) = sin(t)
cos(t)01
√31√3∞
Formule fondamentale :
(cos(t))2+ (sin(t))2= 1
Formules d’angle double :
sin(2t) = 2 sin(t) cos(t)
et
cos(2t) = (cos(t))2−(sin(t))2
= 2 (cos(t))2−1
= 1 −2 (sin(t))2