Résumés du cours d`alg`ebre linéaire - ANMC

Alg`ebre lin´eaire pour GM
Prof. A. Abdulle
Automne 2014
EPFL
R´esum´es du cours d’alg`ebre lin´eaire
1 Introduction
1.1 Introduction aux syst`emes d’´equations lin´eaires (cf. Section 1.1 de [1])
Syst`emes d’´equations, interpr´etation g´eom´etrique de syst`emes lin´eaires (plan, espace `a
trois dimensions), notation matricielle d’un syst`eme lin´eaire, matrice augment´ee d’un
syst`eme lin´eaire.
1.2 R´esolution dun systme d´equations lin´eaires (cf. Section 1.2 de [1])
Syst`emes lin´eaires ´equivalents, op´erations sur un syst`eme lin´eaire qui ne modifient pas
l’ensemble de solutions (permutation, addition d’un multiple d’une autre ´equation,
multiplication d’une ´equation par une constante non nulle).
Th´eor`eme 1. Les op´erations de type 1,2,3transforment un syst`eme lin´eaire en un
syst`eme ´equivalent.
Algorithme de r´eduction, forme ´echelonn´ee, forme ´echelonn´ee r´eduite, position
pivot, variables de base et variables libres.
Th´eor`eme 2. Un syst`eme lin´eaire est compatible si et seulement si la matrice aug-
ment´ee n’a pas de ligne de la forme 0 0 ··· cavec cnon nul. Pour un syst`eme
lin´eaire compatible, on a une solution unique s’il n’y a pas de variables libres et une
infinit´e de solutions sinon.
1.3 Vecteurs et ´equations vectorielles (cf. Section 1.3 de [1])
Notion de vecteur, l’espace Rn. Combinaisons lin´eaires de vecteurs, ´equivalence entre
solutions de syst`emes lin´eaires et solutions d’´equations vectorielles associ´ees (cf. r´esultat
fondamental `a la page 34 dans [1]), ensemble des combinaisons lin´eaires de v1, v2, . . . , vp
vecteurs de Rn, la notion de span d’une collection de vecteurs et sous-ensembles de Rn.
1.4 ´ Equations matricielles et syst`emes lin´eaires (cf. Section 1.4 de [1])
Produit matrice vecteur.
Th´eor`eme 1. Soit Aune matrice m×n. Alors
1. A(u+v) = Au +Av pour tout u, v ∈Rm,
2. A(αu) = αA(u)pour tout u∈Rmet tout α∈R.
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Th´eor`eme 2. Soit Aune matrice m×n;Ax =ba le mˆeme ensemble de solutions que
l’´equation vectorielle x1a1+··· +xnan=b, o`u aiest la i-i`eme colonne de la matrice
A, ou que le syst`eme lin´eaire de matrice augment´ee a1a2··· anb.
Th´eor`eme 3. Soit Aune matrice m×n, alors les ´enonc´es suivants sont ´equivalents:
•pour chaque bde Rm,Ax =badmet une solution,
•tout bde Rmest une combinaison lin´eaire des colonnes de A,
•les colonnes de Aengendrent Rm,
•Aa une position pivot dans chaque ligne.
1.5 Ensembles de solutions des syst`emes lin´eaires (cf. Section 1.5 de [1])
Notion de syst`eme homog`ene Ax = 0, o`u Aest une matrice m×n.
Th´eor`eme 1. Ax = 0 admet une solution non triviale si et seulement si l’´equation a
au moins une variable libre.
Syst`emes non homog`enes Ax =b.
Th´eor`eme 2. Supposons que Ax =best compatible et soit pune solution du syst`eme.
Alors l’ensemble des solutions de Ax =best l’ensemble des vecteurs x=p+vo`u vest
une solution de l’´equation homog`ene Ax = 0.
1.6 Ind´ependance lin´eaire (cf. Section 1.7 de [1])
D´efinition d’(in)d´ependance lin´eaire d’un ensemble de vecteurs (v1, v2, . . . , vp) de Rn.
Th´eor`eme 1. Soit Aune matrice m×n. Les colonnes de Asont lin´eairement
ind´ependantes si et seulement si l’´equation Ax = 0 n’admet que la solution triviale.
Th´eor`eme 2. Un ensemble indic´e S= (v1, v2, . . . , vp), o`u visont des vecteurs de Rn
avec p≥2, est lin´eairement d´ependant si et seulement si au moins l’un des vecteurs de
Sest une combinaison lin´eaires des autres.
Notion de base de Rnet base canonique de Rn.
1.7 Introduction aux transformations lin´eaires (cf. Section 1.8 de [1])
Notion de transformation T:Rn→Rm, domaine de d´efinition, ensemble d’arriv´ee,
image d’un vecteur x, image de l’application T.
D´efinition d’une transformation lin´eaire, exemples de transformations lin´eaires (sym´etrie,
projection, etc.).
1.8 La matrice d’une transformation lin´eaire (cf. Section 1.9 de [1])
Matrice d’une transformation lin´eaire, matrice canonique d’une transformation lin´eaire.
Th´eor`eme 1. Soit T:Rn→Rmune transformation lin´eaire. Alors il existe une
unique matrice Ade dimension m×n, telle que T(x) = Ax, o`u xest un vecteur de Rn.
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Applications injectives, surjectives et bijectives.
Th´eor`eme 2. Soit T:Rn→Rmune transformation lin´eaire. Alors Test injective si
et seulement si T(x)=0n’admet que la solution triviale, o`u xest un vecteur de Rn.
Th´eor`eme 3. Soit T:Rn→Rmune transformation lin´eaire et soit Asa matrice
canonique. Les ´enonc´es suivants sont ´equivalents:
•Test surjective,
•tout bde Rmest une combinaison lin´eaire des colonnes de A,
•les colonnes de Aengendrent Rm,
•Aa une position pivot dans chaque ligne.
Notion de noyau et d’image d’une transformation lin´eaire.
2 L’alg`ebre matricielle
2.1 Op´eration sur les matrices (cf. Section 2.1 de [1])
D´efinition de l’addition de deux matrices m×n, multiplication d’une matrice par un
scalaire.
Th´eor`eme 1. Soit A,B,Cdes matrices m×n. Alors
1. A+B=B+A,
2. (A+B) + C=A+ (B+C),
3. A+ 0 = A.
Th´eor`eme 2. Soit A,Bdes matrices m×net α, β ∈R. Alors
1. α(A+B) = αA +βB,
2. (α+β)A=αA +βA,
3. α(βA)=(αβ)A,
4. 1·A=A,
5. 0·A= 0 (scalaire 0·matrice A=matrice 0).
D´efinition du produit matriciel.
Th´eor`eme 3. Soit Amatrice m×net Bmatrice n×p. Alors (AB)x=A(Bx)pour
tout x∈Rp.
Produit matriciel (exemple), r`egle ligne colonne pour le calcul de AB.
Th´eor`eme 4. Propri´et´es du produit matriciel, sym´etrie, associativit´e, distributivit´e
par rapport `a l’addition, etc.
Transpos´ee d’une matrice et propri´et´es (cf. p.115 dans [1]).
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2.2 L’inverse d’une matrice (cf. Section 2.2 de [1])
D´efinition de l’inverse, lemme 1 (unicit´e de l’inverse).
Proposition 1. Soit Aune matrice n×n. S’il existe une matrice Cde taille n×n
telle que AC =Inou CA =Inalors Aest inversible et A−1=C.
Th´eor`eme 2. Soit A=a b
c dune matrice 2×2. Alors Aest inversible si et seulement
si ad −bc est diff´erent de z´ero. Si Aest inversible, alors A−1=1
ad −bc d−b
−c a .
Th´eor`eme 3. Si Aest une matrice n×ninversible, alors pour chaque bde Rn,
l’´equation Ax =badmet la solution unique x=A−1b.
Th´eor`eme 4. Soient Aet Bdeux matrices inversibles. Alors,
•A−1est inversible et (A−1)−1=A,
•AB est inversible et (AB)−1=B−1A−1,
•ATest inversible et (AT)−1= (A−1)T.
Matrices sym´etriques et antisym´etriques.
Matrices ´el´ementaires.
Th´eor`eme 5. Effet du produit par une matrice ´el´ementaire.
Th´eor`eme 6. Inversibilit´e des matrices ´el´ementaires.
Th´eor`eme 7. Soit Aune matrice de taille n×n. Alors les ´enonc´es suivants sont
´equivalents:
•Aest inversible,
•pour chaque bde RnAx =badmet une solution unique,
•Ax=0 n’a que la solution triviale x= 0,
•les colonnes de Asont lin´eairement ind´ependantes,
•les colonnes de Aengendrent Rn,
•Aa une position pivot dans chaque ligne,
•Aest ´equivalente `a la matrice In,
•Aest un produit de matrice ´el´ementaires.
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2.3 Factorisation des matrices (cf. Section 2.2 et Section 2.5 de [1])
Calcul de l’inverse d’une matrice A|I→I|A−1, factorisation des matrices,
matrices triangulaires sup´erieures et inf´erieures, la d´ecomposition A=LU.
La d´ecomposition A=LU, r´esolution d’un syst`eme lin´eaire Ax =b`a l’aide de la
d´ecomposition LU, o`u
(i) Ly =b,
(ii) Ux =y,
calcul de la d´ecomposition, matrice Liet son inverse, compte d’op´erations : n3
3pour
la d´ecomposition, n2pour la r´esolution.
2.4 Matrices partitionn´ees (cf. Section 2.4 de [1])
D´ecomposition d’une matrice par blocs. Addition et multiplication de matrices avec
partitions par blocs compatibles
R`egle colonne/ligne pour le produit de deux matrices. Inverse de matrices (triangu-
laires) partitionn´ees.
3 Les d´eterminants
3.1 Introduction aux d´eterminants (cf. Section 3.1 de [1])
D´efinition du d´eterminant d’ordre n(par r´ecurrence sur n), cofacteurs.
Th´eor`eme 1. Le d´eterminant de Ad’ordre npeut ˆetre calcul´e par un d´eveloppement
selon n’importe quelle ligne ou colonne.
Th´eor`eme 2. Le d´eterminant d’une matrice triangulaire (sup´erieure ou inf´erieure) est
le produit des ´el´ements de sa diagonale.
3.2 Propi´et´es des d´eterminants (cf. Section 3.2 et Section 3.3 de [1])
Th´eor`eme 1. Soit Aune matrice n×n. Son d´eterminant a les propri´et´es suivantes:
•si Best une matrice obtenue en ajoutant `a une ligne de la matrice Aun multiple
d’une autre de ses lignes, alors det B= det A,
•si Best une matrice obtenue en intervertissant deux lignes de A, alors det B=
−det A,
•si Best obtenue en multipliant une ligne de Apar α, alors det B=αdet A.
Calcul d’un d´eterminant, remarque sur la complexit´e du calcul d’un d´eterminant par
la m´ethode du d´eveloppement en cofacteur (complexit´e n!), calcul du d´eterminant par
transformation de la matrice sous forme ´echelonn´ee.
Th´eor`eme 2. Une matrice A n ×nest inversible si et seulement si det A6= 0.
Th´eor`eme 3. Soit Aune matrice n×n, alors det A= det AT.
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