1 - IG2I

1ère année IG2I Lens
DS2 d’algèbre. 6 mai 2009
Documents autorisés. Calculatrices autorisées. 1 page.
C. SUEUR.
Exercice 1
Résoudre le système linéaire en discutant suivant les valeurs de a.
0
1)1(
)1(
azyx
azyaax
aazyax
Exercice 2
Soit la matrice A telle que
031
251
233
A
.
1) Calculer les valeurs propres de la matrice A.
2) Calculer les vecteurs propres de la matrice A (indication : montrer qu’il existe 2 vecteurs propres, à déterminer,
pour la valeur propre double)
3) La matrice A est-elle diagonalisable?
4) La matrice A est-elle inversible, si oui, pourquoi ?
Exercice 3
Soient a et b deux réels et la matrice A définie par :
baba
abab
baba
A
1) Calculer le déterminant de la matrice A
2) Donner les valeurs des paramètres a et b pour lesquelles le déterminant est nul.
Exercice 4
Soient E et F deux espaces vectoriels définis sur le corps commutatif R. On définit une application linéaire h de E sur F.
321 eee
et
321 fff
sont respectivement les bases de E et F. L’application linéaire h est définie de la manière
suivante :
321)( ffeh 
,
212 )( ffeh 
,
313)( ffeh 
1) Donner la matrice A représentant l’application linéaire h
2) Caractériser le noyau et l’image de l’application h (base et dimension)
3) Calculer l’image du vecteur v défini par
321 eeev 
. Remarque !
4) L’application linéaire est-elle injective ? L’application linéaire est-elle surjective ?