1 - IG2I

1ère année
IG2I Lens
DS2 d’algèbre. 6 mai 2009
Documents autorisés. Calculatrices autorisées. 1 page.
C. SUEUR.
Exercice 1
Résoudre le système linéaire en discutant suivant les valeurs de a.
 x  (1  a) y  az  a

ax  (1  a) y  az  1
 x  y  az  0

Exercice 2
 3 3 2 

Soit la matrice A telle que A   1 5
 2 .

 1 3
0 
1) Calculer les valeurs propres de la matrice A.
2) Calculer les vecteurs propres de la matrice A (indication : montrer qu’il existe 2 vecteurs propres, à déterminer,
pour la valeur propre double)
3) La matrice A est-elle diagonalisable?
4) La matrice A est-elle inversible, si oui, pourquoi ?
Exercice 3
Soient a et b deux réels et la matrice A définie par :
b
a  b
 a

A b
ab
a 
a  b
a
b 
1) Calculer le déterminant de la matrice A
2) Donner les valeurs des paramètres a et b pour lesquelles le déterminant est nul.
Exercice 4
Soient E et F deux espaces vectoriels définis sur le corps commutatif R. On définit une application linéaire h de E sur F.
e1 e2 e3  et  f1 f 2 f 3  sont respectivement les bases de E et F. L’application linéaire h est définie de la manière
suivante :
h(e1 )  f 2  f 3 , h(e2 )  f1  f 2 , h(e3 )  f1  f 3
1) Donner la matrice A représentant l’application linéaire h
2) Caractériser le noyau et l’image de l’application h (base et dimension)
3) Calculer l’image du vecteur v défini par v  e1  e2  e3 . Remarque !
4) L’application linéaire est-elle injective ? L’application linéaire est-elle surjective ?