Exercice 42

Exercice 42
Les zéros de la fonction : r 1=0 ; r 2=1 et r 3=2 La fonction representée change de signe autour de
r1 =0 et r 3=2 , donc les facteurs correspondants ont multiplicité impaire. La fonction representée
ne change pas de signe autour de r 2=1 , donc le facteur correspondant a multiplicité paire.
impair
pair
impair
Donc f ( x)=x
⋅( x−1) ⋅( x−2)
La fonction a trois points de changement de direction, les points où la fonction change de sens de
croissance, donc la fonction a un degré minimale de 3+1=4
pair
Si ∣x∣→ ∞ la fonction se comporte comme f ( x) ~ x
(parce que si ∣x∣ → ∞
f ( x) →+∞ )
3
2
1) x → 2x ⋅(x−1)⋅( x−2)
La racine r 2=1 a multiplicité impaire, donc cette fonction
change de signe autour de cette racine. Ça ne corresponds pas
à la fonction répresentée.
La racine r 3=2 a multiplicité paire, donc cette fonction ne
change pas de signe autour de cette racine. Ça ne corresponds
pas à la fonction répresentée.
2
2) x → 2x ⋅( x−1)⋅( x−2)
La racine r1=0 a multiplicité paire, donc cette fonction ne
change pas de signe autour de cette racine. Ça ne corresponds
pas à la fonction répresentée.
La racine r 2=1 a multiplicité impaire, donc cette fonction
change de signe autour de cette racine. Ça ne corresponds pas
à la fonction répresentée.
3
2
3) x → x ⋅(x−1) ⋅( x−2)
Les zéros de ce polynome sont r1 =0 ; r 2 =1 et r 3=2 ,
r1 =0 et r 3=2 ont multiplicité impair, donc la fonction
change de signe autour de ces racines, corresponds avec la
représentation graphique. r 2=1 est un zéro de multiplicité
2, donc la fonction ne change pas de signe autour de ce racine,
ça corresponds avec la représentation graphique.
Le degré de ce polynôme est 6
6
Ce polynôme se comporte comme x quand ∣x∣ → ∞ , ça
pourrait correspondre avec la représentation graphique.
Ce polynôme est très similaire au polynôme représenté, c'est
une réponse possible.
Ce polynôme est très similaire au polynôme représenté, c'est une réponse possible, mais, on peux
6
essayer d'aller plus loin et noter que la fonction ne tends pas vers ∞ si vite que une fonction x et
3
3
aussi que le facteur x nous dit que cette fonction se comporte comme f ( x)=x autour de la
racine r 1=0 , ce n'est pas le cas de la fonction représentée.
2
2
2
4) x → x ⋅( x−1) ⋅( x−2)
Les racines r 1=0 et r 3=2 ont multiplicité paire, donc
cette fonction ne change pas de signe autour de ces racines. Ça
ne corresponds pas à la fonction répresentée.
2
5) x → 5x⋅(x−1) ⋅( x− 2)
Les zéros de ce polynôme: r1 =0 ; r 2 =1 et r 3=2 ;
r1 =0 et r 3=2 ont multiplicité 1, donc la fonction change
de signe autour de ces racines, ça corresponds avec la
représentation graphique. r 2=1 a multiplicité 2, donc la
fonction ne change pas de signe autour de cette racine, ça
corresponds avec la représentation graphique.
Le degré de ce polynôme est 4
4
Ce polynôme se comporte comme x quand ∣x∣ → ∞ , ça
corresponds avec la représentation graphique.
2
6) x →−2x⋅( x−1) ⋅( x−2)
4
Si ∣x∣→ ∞ cette fonction se comporte comme −x
Donc si ∣x∣→ ∞ la fonction tends vers −∞ Ça ne se
corresponds pas avec la fonction representée qui tends vers
+∞ si ∣x∣ →+∞