Exercice 42

Exercice 42
Les zéros de la fonction :
r1=0; r2=1et r3=2
La fonction representée change de signe autour de
r1=0et r3=2
, donc les facteurs correspondants ont multiplicité impaire. La fonction representée
ne change pas de signe autour de
r2=1
, donc le facteur correspondant a multiplicité paire.
Donc
f(x)=ximpair ⋅(x−1)pair ⋅(x−2)impair
La fonction a trois points de changement de direction, les points où la fonction change de sens de
croissance, donc la fonction a un degré minimale de 3+1=4
Si
∣
x
∣
→∞
la fonction se comporte comme
f(x)~xpair
(parce que si
∣
x
∣
→∞
f(x)→+∞
)
1)
x→2x3 ⋅(x−1)⋅(x−2)2
La racine
r2=1
a multiplicité impaire, donc cette fonction
change de signe autour de cette racine. Ça ne corresponds pas
à la fonction répresentée.
La racine
r3=2
a multiplicité paire, donc cette fonction ne
change pas de signe autour de cette racine. Ça ne corresponds
pas à la fonction répresentée.
2)
x→2x2 ⋅(x−1)⋅(x−2)
La racine
r1=0
a multiplicité paire, donc cette fonction ne
change pas de signe autour de cette racine. Ça ne corresponds
pas à la fonction répresentée.
La racine
r2=1
a multiplicité impaire, donc cette fonction
change de signe autour de cette racine. Ça ne corresponds pas
à la fonction répresentée.
3)
x→x3 ⋅(x−1)2 ⋅(x−2)
Les zéros de ce polynome sont
r1=0; r2=1et r3=2
,
r1=0et r3=2
ont multiplicité impair, donc la fonction
change de signe autour de ces racines, corresponds avec la
représentation graphique.
r2=1
est un zéro de multiplicité
2, donc la fonction ne change pas de signe autour de ce racine,
ça corresponds avec la représentation graphique.
Le degré de ce polynôme est 6
Ce polynôme se comporte comme
x6
quand
∣
x
∣
→∞
, ça
pourrait correspondre avec la représentation graphique.
Ce polynôme est très similaire au polynôme représenté, c'est
une réponse possible.

Ce polynôme est très similaire au polynôme représenté, c'est une réponse possible, mais, on peux
essayer d'aller plus loin et noter que la fonction ne tends pas vers
∞
si vite que une fonction
x6
et
aussi que le facteur
x3
nous dit que cette fonction se comporte comme
f(x)=x3
autour de la
racine
r1=0
, ce n'est pas le cas de la fonction représentée.
4)
x→x2 ⋅(x−1)2 ⋅(x−2)2
Les racines
r1=0et r3=2
ont multiplicité paire, donc
cette fonction ne change pas de signe autour de ces racines. Ça
ne corresponds pas à la fonction répresentée.
5)
x→5x⋅(x−1)2 ⋅(x−2)
Les zéros de ce polynôme:
r1=0; r2=1et r3=2
;
r1=0et r3=2
ont multiplicité 1, donc la fonction change
de signe autour de ces racines, ça corresponds avec la
représentation graphique.
r2=1
a multiplicité 2, donc la
fonction ne change pas de signe autour de cette racine, ça
corresponds avec la représentation graphique.
Le degré de ce polynôme est 4
Ce polynôme se comporte comme
x4
quand
∣
x
∣
→∞
, ça
corresponds avec la représentation graphique.
6)
x→−2x⋅(x−1)2 ⋅(x−2)
Si
∣
x
∣
→∞
cette fonction se comporte comme
−x4
Donc si
∣
x
∣
→∞
la fonction tends vers
−∞
Ça ne se
corresponds pas avec la fonction representée qui tends vers
+∞
si
∣
x
∣
→+∞