TD n°4 PGCD, PPCM, Polynômes premiers entre eux, Racine de

Licence ST – Semestre 1 – M102.
- 1 -
TD n°4
PGCD, PPCM, Polynômes premiers entre eux,
Racine de polynôme
Exercice 1
22
222
322
)1)(2)(3()(
)1()2()3()(
)1)(1()3()(
+++= +++= +++= XXXXC
XXXXB
XXXXA
1. Combien
A
possède de diviseurs normalisés ?
B
et C ?
2. Donner le pgcd et le ppcm de
A
et
B
.
3. Donner le pgcd et le ppcm de
A
,
B
et C .
Exercice 2
On considère le polynôme :
0,,,,)(
2
≠∈++= aIRcbacbXaXXP .
1. Calculer le polynôme dérivé de
P
.
2. Calculer le reste
R
de la division euclidienne de
P
par
'
P
.
3. A quelle condition sur ba, et
c
, 0
=
R ? Interpréter ce résultat.
Exercice 3
1. Soit
01
...)( aXaXaXP
n
n
+++= avec Zani
i
∈≤≤∀ ,0 .
Montrer que si q
pest une racine rationnelle de
P
avec
p
et
q
premiers entre eux,
alors
p
divise
0
a et
q
divise
n
a.
2. Application : Montrer que le polynôme
1
2
23
+
−
+
X
X
X
est irréductible
dans
[
]
XQ .
Exercice 4
Soit
[
]
XIRf ∈ de degré
n
.
Soit IRaaa
n
∈...,,,
10
. On pose )(...,),(),(
1100 nn
afbafbafb === .
Pour tout entier nii
≤
≤
0, , on considère le polynôme :
∏
∏
≠=
≠=
−
−
=
n
ijj ji
n
ijj j
i
aa
aX
XL
,0
,0
)(
)(
)(
.

Licence ST – Semestre 1 – M102.
- 2 -
1. Pour 2
=
n , écrire les polynômes
210
,, LLL .
2. Calculer pour tout nki
≤
≤
,0 , )(
ki
aL .
3. On considère le polynôme
∑
=
=n
iii LbP 0
.
Vérifier que pour tout ,0 nk
≤
≤
k
a est une racine de Pf
−
.
En déduire que Pf
=
.
4. Application : Montrer qu’il existe un unique polynôme f de degré au plus 3 tel que
6)3(,0)2(,2)1(,6)0(
=
=
=
=
ffff et donner son expression.
Exercice 5
On considère le polynôme ,)(
3qpXXXQ −−=
avec
q
p
,
réels ou complexes.
1. Calculer le polynôme dérivé de Q .
2. Montrer que le reste de la division euclidienne de Q par ' Q est qX
p
XT −−=
3
2
)( .
3. On suppose que 0
=
p et 0
≠
q . Montrer que Q et 'Q sont premiers entre eux.
4. On suppose que 0
≠
p . Calculer le reste U de la division euclidienne de 'Q par
T
.
Conclure que Q et 'Q sont premiers entre eux si et seulement si 0274
23
≠− qp .
Exercice 6
Soient
[
]
XIRgf ∈, .
Les assertions sont-elles vraies ou fausses ?
Justifier votre réponse par une démonstration ou un contre-exemple.
1. Si f et
g
sont premiers entre eux sur le corps C des complexes, alors ils n’ont pas de
racine complexe commune.
2. Si f et
g
n’ont pas de racine complexe commune, alors ils sont premiers entre eux
sur C .
3. Si f et
g
sont premiers entre eux sur C , alors ils n’ont pas de racine réelle
commune.
4. Si f et
g
n’ont pas de racine réelle commune, alors ils sont premiers entre eux sur
C .
5. Si f et
g
sont premiers entre eux sur
IR
, alors ils n’ont pas de racine complexe
commune.
6. Si f et
g
n’ont pas de racine complexe commune, alors ils sont premiers entre eux
sur
IR
.
7. Si f et
g
sont premiers entre eux sur
IR
, alors ils n’ont pas de racine réelle
commune.
8. Si f et
g
n’ont pas de racine réelle commune, alors ils sont premiers entre eux sur
IR
.
9. Si f et
g
sont premiers entre eux sur
IR
, alors ils le sont sur C .
10. Si f et
g
sont premiers entre eux sur C , alors ils le sont sur
IR
.
Mêmes questions si
[
]
XCgf ∈, .