Suite numérique(2éme PC)(partie 1)

1
Activités
Exercice1
On considère la suite
n
U
définie par :
0
( ): 1n IN U   
et
n
nU
U
69
1
1) a) Calculer :
1
U
,
2
U
b) Montrer que:
( ): 3
n
n IN U
.
2) Etudier la monotonie de la suite
n
U
3) On pose :
1
( ): 3
nn
n IN V U
a) montrer que
n
V
est une suite arithmétique et préciser sa raison.
b) Déterminer
n
U
en fonction de n.
c) Calculer en fonction de n la somme :
2
kn
nk
k
SV
Exercice2
On considère la suite
n
U
définie par :
0
3
( ): 4
n IN U   
et
52 12
1 n
n
nU
U
U
1) a) Calculer :
1
U
,
2
U
b) Vérifier que
16
:1
25
nn
n IN U U
c) Montrer que :
2
1
1:   n
UNn
2) Etudier la monotonie de la suite
n
U
.
3) On pose
21
( ): 1
n
nn
U
n IN V U
a) Montrer que
n
V
est une suite géométrique
b) Déterminer
n
V
et
n
U
en fonction de n
c) Calculer en fonction de n la somme :
0
kn
nk
k
SV
4) a) Montrer que :
n IN
:
7
6
2
1
1 n
U
2
1
n
U
b) Montrer que :
1 1 6
:2 4 7
n
n
n IN U 
PROFESSEUR
LAHBABI
2éme PC
Les suites numériques
(Partie1)

2
Rappels
Définition
Toute fonction de IN vers IR ou d’une partie I de IN vers IR est appelée une suite réelle ou
une suite numérique.
Vocabulaires
Soit U une suite réelle définie sur I
NI 
n0 : le plus petit élément de I.
1- l’image U (n) est notée Un (U indice n)
2- la suite U est notée
In
n
U
ou
0nn
n
U
.
3- Un est appelé le terme général de la suite
0nn
n
U
Si I=N
La suite sera notée :
nn IN
U
ou
0n
n
U
ou (Un)
Suite minorée- majorée et bornée
Définition
Soit
In
n
U
une suite réelle
1-
In
n
U
est minorée
:n
m IR n I m U     
2-
In
n
U
est majorée
:n
M IR n I U M     
3-
In
n
U
est bornée
2
,:
n
m M IR n I m U M      
In
n
U
est minorée et majorée.
:n
k IR n I U k     
Remarque
Pour montrer qu’une suite récurrente est minorée majorée ou bornée on utilise une
démonstration par récurrence.
La monotonie d’une suite réelle.
Définition
Soit
In
n
U
une suite réelle.
I IN
1-
In
n
U
est croissante
nn UUIn  1
:
2-
In
n
U
est strictement croissante
nn UUIn 
1
:
3-
In
n
U
est décroissante
nn UUIn  1
:
4-
In
n
U
est strictement décroissante
nn UUIn  1
:
5-
In
n
U
est constante
nn UUIn  1
:

3
Remarques
1- Pour étudier la monotonie d’une suite
In
n
U
On étudie le signe de la différence
nn UU 
1
pour tout
In
.
2- Si
0: 
n
UIn
ou
0
n
U
Alors pour étudier la monotonie de
In
n
U
On peut comparer :
n
n
U
U1
avec 1 pour tout
In
.
3- Si la suite
In
n
U
est croissante alors :
nn UUIn  0
:
4- Si la suite
In
n
U
est décroissante alors :
nn UUIn  0
:
Suite arithmétique
Définition
Soit
In
n
U
une suite réelle et r un réel fixe.
On dit que la suite
In
n
U
est arithmétique de raison r ssi :
In
:
rUU nn 
1
Remarques
1- Pour montrer que la suite
In
n
U
est arithmétique de raison r
On montre que :
rUUIn nn  1
:
2- Toutes les suites de la forme :
banUNn n :)(
( a et b sont des réels) Sont arithmétiques de raison r = a.
Propriétés
Soit
n
U
suite arithmétique une de raison r.
1-
0
:.
n
n IN U U nr   
rnUUn.1
1
rpnUUpn pn .: 
2-
nnI
U
est suite arithmétique
21
( ): 2.
n n n
n I U U U
3- Somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique
On pose :
nPppn UUUUS   21
)( np 
On a :
2
)).(1( np
nUUpn
S
Suite géométrique
Définition
Soit
In
n
U
une suite réelle et q un réel fixe
On dit que :
In
n
U
est une suite géométrique de raison q ssi
nn UqUIn .: 1 

4
Remarques
1- Pour montrer que la suite
In
n
U
est géométrique de raison q
On montre que :
nn UqUIn .........:1 
2- Toutes les suites de la forme :
( ): . n
n
n IN U k a  
( a et k sont des réels) Sont géométriques de raison q = a.
Propriétés
Soit
n
U
une suite géométrique de raison q.
1-
n
nqUUNn .: 0
1
1.
n
nqUU
pn
pn qUUpn 
 .:
2-
nnI
U
est suite géométrique
2
21
( ): ( )
n n n
n I U U U
3- Somme de termes consécutifs d’une suite géométrique.
On pose :
nPppn UUUUS   21
)( np 
Si q
1
Alors :
q
qU
Spn
p
n
1
)1.( 1
Si q=1
pn UpnS ).1( 