Lycée Roland Garros BCPST 1ère année Mathématiques 2013 - 2014 Chapitre n 1 o 3 : Trigonométrie Premières propriétés de cos, sin et tan → − → − Dénition 1. Soit x ∈ R. Dans un plan muni d'un repère orthonormé (O, i , j ), → − −−→ on note M le point tel que OM = 1 et ( i , OM ) = x [2π]. On dénit cos x comme l'abscisse du point M , sin x comme l'ordonnée du point M . On dénit en outre sin x , pour x 6= π/2[π] ; tan x = cos x x cotanx = cos , pour x 6= 0[π]. sin x les fonctions tan et cotan ne sont pas dénies sur R entier, ce à cause des divisions par zéro. Comme on le voit sur la gure ci-dessus, tan x a aussi une interprétation graphique sur le cercle trigonométrique. Remarque. Proposition 1. Pour x ∈ R, on a cos2 x + sin2 x = 1 . Remarque. On en déduit la formule suivante, parfois utile : 1 + tan2 x = 1 1 . cos2 x Les propriétés suivantes découlent de simples considérations sur les symétries et les rotations. Proposition 2. Les fonctions cos et sin sont 2π -périodiques : ∀x ∈ R, cos(x + 2π) = cos x, sin(x + 2π) = sin x; cos est une fonction paire et sin est une fonction impaire : ∀x ∈ R, ∀x ∈ R, ∀x ∈ R, cos(−x) = cos x, cos(x + π) = − cos x, sin(x + π/2) = cos x, sin(−x) = − sin x; sin(x + π) = − sin x ; cos(x + π/2) = − sin x. La proposition suivante est fondamentale pour résoudre des équations trigonométriques. Proposition 3. On a ( cos x = 0 ⇔ x = π/2 [π] ⇔ x = π/2 ou − π/2 sin x = 0 ⇔ x = 0 [π] ⇔ x = 0 ou π [2π] [2π] Les valeurs suivantes sont à connaître par c÷ur. Ce tableau ne concerne a priori que les angles du quart supérieur droit du plan, mais pour les trois autres quarts on s'en sortira en tirant prot de la proposition 2. x cos x sin x 0 √π/6 1 0 √π/4 √2/2 2/2 3/2 1/2 π/3 √1/2 3/2 1 0 1 Démonstration. utiliser la formule de cos(2x) avec x = π/4 et cos(3x) avec x = π/6. Moyen mnémotechnique p p : ces p va- leurs p sontpen fait 0/4, 1/4, 2/4, 3/4 et 4/4. En cas de trou de mémoire, refaites le dessin suivant : Pour tan, il sut de connaitre tan 0 = 0 et tan(π/4) = 1. 2 2 cosinus et sinus d'une somme Proposition 4. Soient a, b ∈ R. On a cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b , et sin(a + b) = cos a sin b + sin a cos b . Démonstration. En admettant l'identité ei(a+b) = eia eib , on a donc cos(a + b) = Re((cos a + i sin a)(cos b + i sin b)) = cos a cos b − sin a sin b et de même sin(a + b) = Im((cos a + i sin a)(cos b + i sin b)) = cos a sin b + cos a sin b Cas particulier a = b : formules de duplication d'un angle. On a cos(2a) = cos2 a − sin2 a = 2 cos2 a − 1 = 1 − 2 sin2 a , sin(2a) = 2 cos a sin a . Remarque. lement En utilisant la parité de cos et l'imparité de sin on obtient éga- cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b, 3 sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b. Fonctions trigonométriques inverses : résolution d'équations Dénition 2. Soit c ∈ [−1, 1]. L'équation cos x = c admet une unique équation dans l'intervalle [0, π] notée arccos c. Soit s ∈ [−1, 1]. L'équation sin x = s admet une unique équation dans l'intervalle [−π/2, π/2] notée arcsin s. Soit t ∈ R. L'équation tan x = t admet une unique équation dans l'intervalle ] − π/2, π/2[ notée arctan t. Solutions sur R entier : • Solutions de cos x = c : x = arccos c [2π] ou x = − arccos c [2π] • Solutions de sin x = s : x = arcsin s [2π] ou x = π − arcsin s [2π] • Solutions de tan x = t : x = arctan t [π] 3 4 Amplitude et phase Supposons qu'on ait une expression de la forme f (x) = α cos(x) + β sin(x), avec α, β ∈ R. On souhaite trouver des constantes ρ et φ telles que ∀x ∈ R, f (x) = ρ cos(x − φ), (1) où ρ et φ sont des constantes à déterminer. Proposition 5. et seulement si Soient α, β ∈ R. On a α cos(x) + β sin(x) = ρ cos(x − φ) si et φ = Arg(α + iβ) [2π] . p Démonstration. En posant ρ = α2 + β 2 on a : β α cos x + sin x α cos(x) + β sin(x) = ρ ρ ρ ρ = |α + iβ| , Les égalités cos φ = α/ρ et sin φ = β/ρ caractérisent φ = Arg(α + iβ). En physique on a fréquemment aaire à des signaux (électriques par exemple) de la forme α cos θ + β sin θ. On préfère l'expression ρ cos(θ − φ) car elle est plus maniable. On appelle alors ρ l'amplitude du signal et ρ son déphasage ou sa phase. Remarque. Application. Résolution d'équation. Résoudre √ √ 3 cos x + 3 sin x = − 6 5 Linéarisation Le but est de transformer une expression de la forme cosp θ sinq θ en une combinaison linéaire de termes cos(kθ) et sin(kθ). C'est intéressant pour le calcul d'intégrales par exemple. La méthode consiste à iθ −iθ iθ −iθ 1. remplacer cos θ par e +e2 et sin θ par e −e (formule d'Euler) ; 2i 2. Développer le produit obtenu ; 3. Identier les termes de la forme cos(kθ) et sin(kθ) (encore par la formule d'Euler). Exemple. 2 sin θ cos θ = eiθ − e−iθ 2i eiθ + e−iθ 2 2 ··· 1 i3θ e + eiθ − e−iθ − e−i3θ 8i 1 = (2i sin(3θ) + 2i sin(θ)) 8i sin(3θ) + sin(θ) = 4 = 4 Application. Calcul d'intégrale. Z Calculer π/2 I= sin2 t cos3 tdt. 0 (résultat : I = 6 2 ) 15 Développement de cos(nθ) ou sin(nθ) Voyons comment transformer une expression de la forme cos(nθ) en une combinaison linéaire de termes cosp θ sinq θ. La méthode consiste à 1. utiliser la formule de De Moivre : (eiθ )n = einθ ; 2. Développer (eiθ )n = (cos θ + i sin θ)n ; 3. Garder la partie réelle : cos(nθ) = Re(einθ ). De même sin(nθ) = Im(einθ ). cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ)n ). Il sut donc de développer cette puissance et d'identier la partie réelle. Exemple. cos(3θ) = Re (cos θ + i sin θ)3 = Re cos3 θ + 3i cos2 θ sin θ − 3 cos θ sin2 θ − i sin3 θ = cos3 θ − 3 cos θ sin2 θ. Application. Calcul de valeurs de cos. La formule de cos(3θ) donne une relation entre cos θ et cos(3θ). Elle permet par exemple de calculer une valeur du type cos(π/18) à partir de cos(π/6), ou l'inverse. 5