Des variables aléatoires discrètes

MATHÉMATIQUES PSI-P2B
Année 2016/17
TD n°13
Des variables aléatoires discrètes.
1 Exercices de base
Exercice 1 On lance deux dés, un blanc et un rouge. On note Xle
nombre indiqué par le dé blanc, et Yle maximum des numéros indiqués
par les deux dés.
1. Donner la loi du couple (X, Y ).
2. En déduire les lois de Xet Y.
3. Les variables Xet Ysont elles indépendantes ?
Exercice 2 Soit Xune variable aléatoire suivant une loi uniforme
U(J1, NK)avec N∈N∗.
1. Donner la fonction génératrice de X.
2. En déduire l’espérance et la variance de X.
Exercice 3 Soit Xune variable aléatoire suivant une loi binomiale
B(n, p). On pose Y=1
X+ 1.
1. Donner la loi de Y.
2. Calculer son espérance.
Exercice 4 Soit X, Y deux variables aléatoires indépendantes sur le
même espace probabilisé. On suppose que Xsuit P(λ)et que Ysuit
P(µ). Pour tout n∈N, déterminer la loi de Xsachant X+Y=n.
Exercice 5 Soit Xune variable de Poisson de paramètre λ > 0. Déter-
miner la probabilité pour que Xprenne des valeurs paires.
Exercice 6 Soit Xune variable de Poisson de paramètre λ > 0. Déter-
miner E(1
X+1 ).
Exercice 7 Soit Xune variable géométrique de paramètre p∈]0,1[.
Déterminer E(1
X).
Exercice 8 Soit X, Y deux variables aléatoires indépendantes géomé-
triques de paramètres respectifs pet q. Calculer l’espérance de max(X, Y ).
Exercice 9 Soit Xune variable aléatoire discrète et fune fonction, au
moins définie sur l’ensemble des valeurs de X. À quelle condition sur la
fonction f, les variables aléatoire Xet f(X)sont-elles indépendantes ?
2 Les grands classiques
Exercice 10 Soit X, Y deux variables aléatoires indépendantes géomé-
triques de paramètres respectifs pet q. Calculer la probabilité pour que
la matrice ÇX1
0Yåsoit diagonalisable sur R.
Exercice 11 Soit (Xn)n∈Nune suite de variables aléatoire discrètes sur
un espace probabilisable (Ω,T)à valeurs dans un ensemble Eet soit N
une variable aléatoire sur ce même espace, mais à valeurs dans N. On
définit la fonction Y: Ω →Epar
∀ω∈Ω, Y (ω) = XN(ω)(ω).
Montrer que Yest une variable aléatoire discrète sur (Ω,T).
Exercice 12 Grâce aux fonctions génératrices, montrer qu’il est impos-
sible de truquer deux dés (à six faces) pour que la somme d’un lancer de
ces deux dés suivent une loi uniforme sur J1,12K.
1 V. Rohart

Exercice 13 (moindres carrés). Soit X, Y deux variables aléatoires dis-
crètes réelles admettant un moment d’ordre 2. On suppose que V(X)>0.
Déterminer a, b ∈Rtels que la quantité E([Y−(aX +b)]2)soit minimale.
Interpréter graphiquement.
Exercice 14 (taux de panne). Soit Tune variable aléatoire définie sur
un espace (Ω,T,P)à valeurs dans N, telle que
∀n∈N,P(T > n)6= 0.
Dans la pratique, Treprésente l’instant (en jours) où une machine va
tomber en panne. On appelle taux de panne de Tla suite (τn)n∈Ndéfinie
par τn=P(T>n)(T=n).
1. Montrer que τn∈[0,1[ pour tout n∈N.
2. Exprimer grâce à la suite τla probabilité P(T>n)pour tout n∈N,
et en déduire que Pτndiverge.
3. Réciproquement, soit (τn)∈[0,1[Ntelle que Pτndiverge. Montrer
qu’il existe une variable aléatoire Tdont le taux de panne est (τn).
Exercice 15 Soit X1, . . . , Xn(avec n∈N∗) des VARD sur un même
espace probabilisé. On appelle matrice de variance-covariance la matrice
C= (Cov(Xi, Xj))i,j ∈Mn(R).
1. Soit X=a1X1+. . . +anXnavec a1, . . . , an∈R. Exprimer V(X)
en fonction de la matrice C.
2. En déduire que les valeurs propres de Csont toutes positives ou
nulles.
Exercice 16 (le problème du collectionneur). Chez les surgelés Picard,
on peut acheter des galettes des rois et chacune contient une fève. Sur
l’emballage on peut voir qu’il y a six fèves à collectionner en tout. Si k∈
N∗, on note Xkle nombre de galettes achetées ayant permis l’obtention
de kfèves différentes.
1. Que vaut X1?
2. Déterminer la loi de Xk+1 −Xk.
3. En déduire le nombre de galettes moyen permettant d’obtenir la
collection complète des fèves.
3 Exercices plus techniques
Exercice 17 (identité de Wald). Soit N, X1, . . . , Xn, . . . des variables
aléatoires mutuellement indépendantes à valeurs dans N. On suppose que
X1, . . . , Xn, . . . suivent toutes une même loi, dont la fonction génératrice
est G. On considère alors la somme aléatoire S=PN
k=1 Xk.
1. Justifier que Sest une variable aléatoire discrète et que GS=GN◦G
sur [−1,1].
2. On suppose que toutes les variables ont une espérance. Montrer que
E(S) = E(N)E(X1).
Exercice 18 Une urne contient quatre boules rapportant 0,1,1 ou 2
points.On y effectue ntirages avec remise et on note Sle score final
obtenu. Déterminer la fonction génératrice de Set en déduire la loi de S.
Exercice 19 (∗)(fonction caractéristique d’une var à valeurs dans Z).
Si Xest une variable aléatoire à valeurs dans Z, on appelle fonction
caractéristique de Xla fonction ϕX:R→Cdéfinie par
∀t∈RϕX(t) = E(eitX ).
1. Montrer que ϕest 2π-périodique et de classe C∞.
2. Calculer ϕX(0) et interpréter ϕ0
X(0) et ϕ00 X(0).
3. Si Xet Ysont indépendantes, montrer que ϕX+Y=ϕXϕY.
4. Montrer que pour tout α∈Z,P(X=α) = 1
2πR2π
0ϕX(t)e−iαtdt.
5. En déduire que ϕX=ϕY=⇒PX=PY(Xet Yont même loi).
6. Si Xsuit une loi B(n, p), déterminer ϕX.
7. En déduire que si X B(n1, p)et Y B(n2, p)sont indépen-
dantes, alors X+Y B(n1+n2, p).
2 V. Rohart