Des variables aléatoires discrètes

MATHÉMATIQUES
TD n°13
Des variables aléatoires discrètes.
1
Exercice 6 Soit X une variable de Poisson de paramètre λ > 0. Déter1
PSI-P2B miner E( X+1
).
Année 2016/17
Exercice 7 Soit X une variable géométrique de paramètre p ∈ ]0, 1[.
Déterminer E( X1 ).
Exercice 8 Soit X, Y deux variables aléatoires indépendantes géométriques de paramètres respectifs p et q. Calculer l’espérance de max(X, Y ).
Exercices de base
Exercice 1 On lance deux dés, un blanc et un rouge. On note X le Exercice 9 Soit X une variable aléatoire discrète et f une fonction, au
nombre indiqué par le dé blanc, et Y le maximum des numéros indiqués moins définie sur l’ensemble des valeurs de X. À quelle condition sur la
par les deux dés.
fonction f , les variables aléatoire X et f (X) sont-elles indépendantes ?
1. Donner la loi du couple (X, Y ).
2. En déduire les lois de X et Y .
2
3. Les variables X et Y sont elles indépendantes ?
Les grands classiques
Exercice 10 Soit X, Y deux variables aléatoires indépendantes géoméExercice 2 Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme triques de paramètres respectifs p et q. Calculer la probabilité pour que
Ç
å
U (J1, N K) avec N ∈ N∗ .
X 1
la matrice
soit diagonalisable sur R.
1. Donner la fonction génératrice de X.
0 Y
2. En déduire l’espérance et la variance de X.
Exercice 11 Soit (Xn )n∈N une suite de variables aléatoire discrètes sur
Exercice 3 Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale un espace probabilisable (Ω, T ) à valeurs dans un ensemble E et soit N
1
B(n, p). On pose Y =
.
une variable aléatoire sur ce même espace, mais à valeurs dans N. On
X +1
définit la fonction Y : Ω → Epar
1. Donner la loi de Y .
2. Calculer son espérance.
∀ω ∈ Ω,
Y (ω) = XN (ω) (ω).
Exercice 4 Soit X, Y deux variables aléatoires indépendantes sur le
Montrer que Y est une variable aléatoire discrète sur (Ω, T ).
même espace probabilisé. On suppose que X suit P(λ) et que Y suit
P(µ). Pour tout n ∈ N, déterminer la loi de X sachant X + Y = n.
Exercice 12 Grâce aux fonctions génératrices, montrer qu’il est imposExercice 5 Soit X une variable de Poisson de paramètre λ > 0. Déter- sible de truquer deux dés (à six faces) pour que la somme d’un lancer de
ces deux dés suivent une loi uniforme sur J1, 12K.
miner la probabilité pour que X prenne des valeurs paires.
1
V. Rohart
Exercice 13 (moindres carrés). Soit X, Y deux variables aléatoires discrètes réelles admettant un moment d’ordre 2. On suppose que V(X) > 0.
Déterminer a, b ∈ R tels que la quantité E([Y −(aX +b)]2 ) soit minimale.
Interpréter graphiquement.
2. Déterminer la loi de Xk+1 − Xk .
3. En déduire le nombre de galettes moyen permettant d’obtenir la
collection complète des fèves.
3
Exercice 14 (taux de panne). Soit T une variable aléatoire définie sur
un espace (Ω, T , P) à valeurs dans N, telle que
Exercices plus techniques
Exercice 17 (identité de Wald). Soit N, X1 , . . . , Xn , . . . des variables
aléatoires mutuellement indépendantes à valeurs dans N. On suppose que
X1 , . . . , Xn , . . . suivent toutes une même loi, dont la fonction génératrice
Dans la pratique, T représente l’instant (en jours) où une machine va est G. On considère alors la somme aléatoire S = PN Xk .
k=1
tomber en panne. On appelle taux de panne de T la suite (τn )n∈N définie
1. Justifier que S est une variable aléatoire discrète et que GS = GN ◦G
par τn = P(T >n) (T = n).
sur [−1, 1].
1. Montrer que τn ∈ [0, 1[ pour tout n ∈ N.
2. On suppose que toutes les variables ont une espérance. Montrer que
E(S) = E(N )E(X1 ).
2. Exprimer grâce à la suite τ la probabilité P(T > n) pour tout n ∈ N,
P
et en déduire que τn diverge.
Exercice 18 Une urne contient quatre boules rapportant 0,1,1 ou 2
P
3. Réciproquement, soit (τn ) ∈ [0, 1[N telle que τn diverge. Montrer
points.On y effectue n tirages avec remise et on note S le score final
qu’il existe une variable aléatoire T dont le taux de panne est (τn ).
obtenu. Déterminer la fonction génératrice de S et en déduire la loi de S.
∀n ∈ N,
P(T > n) 6= 0.
Exercice 15 Soit X1 , . . . , Xn (avec n ∈ N∗ ) des VARD sur un même Exercice 19 (∗) (fonction caractéristique d’une var à valeurs dans Z).
espace probabilisé. On appelle matrice de variance-covariance la matrice Si X est une variable aléatoire à valeurs dans Z, on appelle fonction
C = (Cov(Xi , Xj ))i,j ∈ Mn (R).
caractéristique de X la fonction ϕX : R → C définie par
1. Soit X = a1 X1 + . . . + an Xn avec a1 , . . . , an ∈ R. Exprimer V(X)
∀t ∈ R
ϕX (t) = E(eitX ).
en fonction de la matrice C.
1. Montrer que ϕ est 2π-périodique et de classe C ∞ .
2. En déduire que les valeurs propres de C sont toutes positives ou
2. Calculer ϕX (0) et interpréter ϕ0X (0) et ϕ00X (0).
nulles.
3. Si X et Y sont indépendantes, montrer que ϕX+Y = ϕX ϕY .
R 2π
1
−iαt dt.
Exercice 16 (le problème du collectionneur). Chez les surgelés Picard,
4. Montrer que pour tout α ∈ Z, P(X = α) = 2π
0 ϕX (t)e
on peut acheter des galettes des rois et chacune contient une fève. Sur
5. En déduire que ϕX = ϕY =⇒ PX = PY (X et Y ont même loi).
l’emballage on peut voir qu’il y a six fèves à collectionner en tout. Si k ∈
6. Si X suit une loi B(n, p), déterminer ϕX .
N∗ , on note Xk le nombre de galettes achetées ayant permis l’obtention
7. En déduire que si X
B(n1 , p) et Y
B(n2 , p) sont indépende k fèves différentes.
dantes, alors X + Y
B(n1 + n2 , p).
1. Que vaut X1 ?
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V. Rohart