Exercice 1 Seconde/Trigonométrie/exo-010/texte Simplifier les expressions suivantes en admettant que les valeurs prises par x sont telles que les expressions soient bien définies. 1. A(x) = (cos(x) + sin(x))2 + (cos(x) − sin(x))2 ; 1 1 2. B(x) = + ; 1 + cos(x) 1 − cos(x) sin2 (x) − sin4 (x) 3. C(x) = ; cos2 (x) − cos4 (x) cos4 (x) − sin4 (x) 4. D(x) = ; cos2 (x) − sin2 (x) 1 − (1 + tan2 (x)) ; 5. E(x) = cos2 (x) cos4 (x) 6. F (x) = 1 − . 1 − sin2 (x) Exercice 2 Seconde/Trigonométrie/exo-013/texte ò ï 3π 1. Soit α le réel appartenant à π; vérifiant 2 1 cos(α) = − . Calculer sin(α). iπ h 4 2 2. Soit β le réel appartenant à ; π vérifiant sin(β) = . 2 3 Calculer cos(β). i πh 3. Soit θ √ le réel appartenant à 0; vérifiant 2 3 cos(θ) = . Calculer sin(θ). 5 Exercice 3 Seconde/Trigonométrie/exo-014/texte Exercice 7 i S/Trigonométrie/exo-011/texte π h 2 y est un réel appartenant à − ; 0 tel que cos(y) = . 7 π 2 Calculer sin(y), tan(y), sin − y et cos(π + y). 2 Exercice 8 Exercice 9 Exercice 10 S/Trigonométrie/exo-009/texte Exercice 11 S/Trigonométrie/exo-012/texte √ 1. Résoudre l’équation 2 sin(t) = 3. 2. Résoudre l’équation 2x2 + 3x − 2 = 0. 3. Résoudre l’équation 2 cos2 (t) + 3 cos(t) − 2 = 0. 2. Résoudre dans Exercice 4 4. Résoudre dans Seconde/Trigonométrie/exo-011/texte Exercice 5 1. 2. 3. 4. ã Å ã 5π 5π A = sin + cos + sin + cos ; 6 6 6 6 Å ã Å ã Å ã π 2π 4π 7π B = sin + sin + sin + sin ; 3 3 3 6 Å ã Å ã Å ã π 5π 7π 9π C = cos − + cos + cos + cos ; 4 4 4 4 Å ã π π π 6π D = sin + cos + cos + sin − . 7 7 7 7 Exercice 6 1. Résoudre dans 3. Résoudre dans √ 3 R l’équation cos(x) = . 2√ 2 . R l’équation cos(x) = − 2 π 1 R l’équation sin 2x − = . 4 2 π 1 ] − π; π] l’équation sin 2x− = . 4 2 Exercice 12 S/Trigonométrie/exo-010/texte Soit BOC untriangle isocèle de sommet principal O tel 3π # » # » ÿ que OC; OB = [2π]. On appelle D le symétrique de 4 B par rapport à la droite (OC) et H le milieu de [BD]. 1. Déterminer de des angles la mesure principale chacun # » # » # » # » #ÿ » # » #ÿ » # » ÿ ÿ CB; CO , OB; BC , BH; BC et CB; DO . 2. On pose OB = 1. Calculer BH, OH, HC et BC. π π 3. En déduire les valeurs respectives de cos , sin , 8 8 Å ã Å ã 3π 3π cos et sin . 8 8 Seconde/Trigonométrie/exo-015/texte Calculer : π Seconde/Trigonométrie/exo-012/texte Résoudre dans ] − π; π] chacune des équations suivantes : √ √ 3 2 ; 4. sin(x) = ; 1. cos(x) = 2 2 1 1 5. sin(x) = ; 2. cos(x) = − ; 2 2 3. sin(x) × cos(x) = 0 ; 6. cos2 (x) = 0,5. 1. Placer sur un cercle trigonométrique les points A, B, C, 2π 7π 5π −π D d’abscisses curvilignes respectives , , et . 3 6 4 6 2. Déterminer les valeurs respectives des sinus et cosinus 2π 7π 5π −π de chacun des réels , , et . 3 6 4 6 Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse. 1. Pour tous réels a et b, sin(a) + sin(b) = sin(a + b). √ 2. L’équation cos(x) = 3 n’admet pas de solution. 3. Il existe une infinité de réels vérifiant cos(x) = sin(x). iπ h 4. Si u appartient à ; π alors cos(u) < 0 et sin(u) < 0. 2 π 5. Si − < y < 0 et cos(y) = 0,8 alors sin(y) = −0,6. Å2 ã 169π 1 6. cos = . 3 2 7. ∀x ∈ R cos(x) − sin(π − x) + cos(π − x) + sin(x) = 0 S/Trigonométrie/exo-013/texte π π 1. Calculer − . 2 7 2. Simplifier Å a et ã b: Å ã Å ã 6π π 8π 5π a = cos + cos − + sin + cos . 7 7 7 Å ã Å ã Å 14ã Å ã 9π 5π 7π 5π − cos + cos + sin . b = sin 8 8 8 8 π Å Seconde/Trigonométrie/exo-018/texte Exercice 13 S/Trigonométrie/exo-015/texte Soit AEDC un carré direct de côté 2 et B le point tel que ABC soit un triangle équilatéral intérieur au carré. C D B 2 K H Calculer : Å ã π 3π 1. A = sin(x) + sin x + + sin(x + π) + sin x + ; 2 2 π π π π 2. B = cos + cos − + sin + sin − ; 6 Å 6ã Å7 ã Å7 ã π 4π 5π 8π 3. C = cos + cos + cos + cos . 9 9 9 9 E A 2 # » # » ÿ 1. a) Calculer AD puis donner une mesure de AD; AC . π π b) En déduire les valeurs de cos et sin . 4 4 2. Donner les mesures principales respectives de # » # » # » # » # » # » #ÿ » # » ÿ ÿ ÿ AB; AC , AE; AB , EB; EA et ED; EB . 3. On appelle H et K les projetés orthogonaux de B respectivement sur [ED] et [AC]. a) Calculer retrouver les valeurs πKB et ainsi π respectives π π de cos , sin , cos et sin . 3 3 6 6p √ b) Calculer BH et en déduire que EB = 8 − 4 3. π √6 + √2 4. Établir que cos = et en déduire la valeur 12 4 π de sin . 12 Exercice 14 1. a) Calculer OH et AH. √ 2+ 2 #◊ » #» b) En déduire que cos AB; AI = . 2 × AI 2. a) Que peut-on dire du triangle AIB ? AI #◊ » #» b) En déduire que cos AB; AI = . 2 3. Déduire des questions précédentes la valeur de AI. #◊ » #» 4. Déterminer la mesure principale de l’angle AB; AI p √ π 2+ 2 puis établir que cos = . 8 2 Exercice 16 S/Trigonométrie/exo-014/texte On considère un point O, C le cercle trigonométrique de centre O, ABCDE un pentagone régulier convexe inscrit π #◊ » # » dans C et J le point de C tel que OA; OJ = (2π). 2 S/Trigonométrie/exo-016/texte J ABC est un triangle isocèle de sommet A très particulier. ’ coupe [AC] en D tel En effet, la bissectrice de l’angle ABC que BCD est à son tour un triangle isocèle en B. B C A C O A D D B C E 1. On note a et b les mesures respectives en radians des ’ et ABC. ’ Établir que a = π . angles BAC 5 2. En repérant deux triangles semblables dans cette configuration, justifier l’égalité AB × CD = BC 2 . 3. On pose BC = 1. Prouver que AB 2 − AB − 1 = 0 et en déduire la valeur de AB. 4. On note H le projeté orthogonal de D sur [AB]. π Déterminer la valeur de cos . 5 Exercice 15 S/Trigonométrie/exo-017/texte On considère un demi-cercle C de diamètre [AB] tel que AB = 2et on appelle O le milieu de [AB], I le point de C π #◊ » #» tel que OB; OI = (2π) et H le projeté orthogonal de 4 I sur [AB]. I C π 4 A O 2 H B 2π # » # » ÿ 1. a) Justifier que OA; OB = (2π) puis donner une 5 # » # » ÿ mesure en radians de chacun des angles OA; OC , # » # » # » # » ÿ ÿ OA; OD et OA; OE . b) Exprimer alors les coordonnées de chacun des points # » # » A, B, C, D et E dans le repère (O; OA, OJ) puis # » # » # » # » # » celles du vecteur #» v = OA + OB + OC + OD + OE. # » # » ÿ 2. a) Donner une autre mesure de l’angle OA; OE . Que # » # » peut-on en déduire pour OB + OE ? # » # » ÿ b) Donner une autre mesure de l’angle OA; OD . Que # » # » peut-on en déduire pour OC + OD ? # » c) En déduire que #» v et OA sont colinéaires. # » d) On admet que #» v et OB sont également colinéaires. Que peut-on en déduire au sujet de #» v? 3. a) Déduire Å ãdes questions Å ã 1b et 2d, une relation liant 2π 4π cos et cos . 5 5 Å ã 4π b) Rappeler l’expression de cos en fonction de 5Å ã Å ã 2π 2π cos et en déduire que cos est solution 5 5 2 de l’équation 4x + 2x − 1 = 0. Å ã 2π c) Déterminer alors la valeur exacte de cos . 5