Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4

Exercice 1 Seconde/Trigonométrie/exo-010/texte
Simplifier les expressions suivantes en admettant que les
valeurs prises par xsont telles que les expressions soient
bien définies.
1. A(x) = (cos(x) + sin(x))2+ (cos(x)−sin(x))2;
2. B(x) = 1
1 + cos(x)+1 1−cos(x);
3. C(x) = sin2(x)−sin4(x)
cos2(x)−cos4(x);
4. D(x) = cos4(x)−sin4(x)
cos2(x)−sin2(x);
5. E(x) = 1
cos2(x)−(1 + tan2(x)) ;
6. F(x) = 1 −cos4(x)
1−sin2(x).
Exercice 2 Seconde/Trigonométrie/exo-013/texte
1. Soit αle réel appartenant à òπ;3π
2ïvérifiant
cos(α) = −1
4. Calculer sin(α).
2. Soit βle réel appartenant à iπ
2;πhvérifiant sin(β) = 2 3.
Calculer cos(β).
3. Soit θle réel appartenant à i0; π
2hvérifiant
cos(θ) = √3
5. Calculer sin(θ).
Exercice 3 Seconde/Trigonométrie/exo-014/texte
1. Placer sur un cercle trigonométrique les points A,B,C,
Dd’abscisses curvilignes respectives 2π
3,7π 6,5π 4et −π 6.
2. Déterminer les valeurs respectives des sinus et cosinus
de chacun des réels 2π
3,7π 6,5π 4et −π 6.
Exercice 4 Seconde/Trigonométrie/exo-011/texte
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie
ou fausse et justifier la réponse.
1. Pour tous réels aet b,sin(a) + sin(b) = sin(a+b).
2. L’équation cos(x) = √3n’admet pas de solution.
3. Il existe une infinité de réels vérifiant cos(x) = sin(x).
4. Si uappartient à iπ
2;πhalors cos(u)<0et sin(u)<0.
5. Si −π
2< y < 0et cos(y) = 0,8alors sin(y) = −0,6.
6. cos Å169π
3ã=1 2.
7. ∀x∈Rcos(x)−sin(π−x) + cos(π−x) + sin(x) = 0
Exercice 5 Seconde/Trigonométrie/exo-015/texte
Calculer :
1. A= sin π
6+ cos π 6+ sin Å5π 6ã+ cos Å5π 6ã;
2. B= sin π
3+ sin Å2π 3ã+ sin Å4π 3ã+ sin Å7π 6ã;
3. C= cos −π
4+ cos Å5π 4ã+ cos Å7π 4ã+ cos Å9π 4ã;
4. D= sin π
7+ cos Å6π 7ã+ cos π 7+ sin −π 7.
Exercice 6 Seconde/Trigonométrie/exo-018/texte
Calculer :
1. A= sin(x) + sin x+π
2+ sin(x+π) + sin Åx+3π 2ã;
2. B= cos π
6+ cos −π 6+ sin π 7+ sin −π 7;
3. C= cos π
9+ cos Å4π 9ã+ cos Å5π 9ã+ cos Å8π 9ã.
Exercice 7 S/Trigonométrie/exo-011/texte
yest un réel appartenant à i−π
2; 0htel que cos(y) = 2 7.
Calculer sin(y),tan(y),sin π
2−yet cos(π+y).
Exercice 8 S/Trigonométrie/exo-013/texte
1. Calculer π
2−π 7.
2. Simplifier aet b:
a= cos Å6π
7ã+ cos −π 7+ sin Å8π 7ã+ cos Å5π 14 ã.
b= sin Å9π
8ã−cos Å5π 8ã+ cos Å7π 8ã+ sin Å5π 8ã.
Exercice 9 Seconde/Trigonométrie/exo-012/texte
Résoudre dans ]−π;π]chacune des équations suivantes :
1. cos(x) = √3
2;
2. cos(x) = −1
2;
3. sin(x)×cos(x) = 0 ;
4. sin(x) = √2
2;
5. sin(x) = 1
2;
6. cos2(x) = 0,5.
Exercice 10 S/Trigonométrie/exo-009/texte
1. Résoudre l’équation 2 sin(t) = √3.
2. Résoudre l’équation 2x2+ 3x−2 = 0.
3. Résoudre l’équation 2 cos2(t) + 3 cos(t)−2 = 0.
Exercice 11 S/Trigonométrie/exo-012/texte
1. Résoudre dans Rl’équation cos(x) = √3
2.
2. Résoudre dans Rl’équation cos(x) = −√2
2.
3. Résoudre dans Rl’équation sin 2x−π
4=1 2.
4. Résoudre dans ]−π;π]l’équation sin 2x−π
4=1 2.
Exercice 12 S/Trigonométrie/exo-010/texte
Soit BOC un triangle isocèle de sommet principal Otel
que ÿ
# »
OC;
# »
OB=3π
4[2π]. On appelle Dle symétrique de
Bpar rapport à la droite (OC)et Hle milieu de [BD].
1. Déterminer la mesure principale de chacun des angles
ÿ
# »
CB;
# »
CO,ÿ
# »
OB;
# »
BC,ÿ
# »
BH;
# »
BCet ÿ
# »
CB;
# »
DO.
2. On pose OB = 1. Calculer BH,OH,HC et BC.
3. En déduire les valeurs respectives de cos π
8,sin π 8,
cos Å3π
8ãet sin Å3π 8ã.
Exercice 13 S/Trigonométrie/exo-015/texte
Soit AEDC un carré direct de côté 2et Ble point tel que
ABC soit un triangle équilatéral intérieur au carré.
2
2K
D
H
A
B
C
E

1. a) Calculer AD puis donner une mesure de ÿ
# »
AD;
# »
AC.
b) En déduire les valeurs de cos π
4et sin π 4.
2. Donner les mesures principales respectives de
ÿ
# »
AB;
# »
AC,ÿ
# »
AE;
# »
AB,ÿ
# »
EB;
# »
EAet ÿ
# »
ED;
# »
EB.
3. On appelle Het Kles projetés orthogonaux de Bres-
pectivement sur [ED]et [AC].
a) Calculer KB et retrouver ainsi les valeurs respectives
de cos π
3,sin π 3,cos π 6et sin π 6.
b) Calculer BH et en déduire que EB =p8−4√3.
4. Établir que cos π
12=√6 + √2 4et en déduire la valeur
de sin π
12.
Exercice 14 S/Trigonométrie/exo-016/texte
ABC est un triangle isocèle de sommet Atrès particulier.
En effet, la bissectrice de l’angle ’ ABC coupe [AC]en Dtel
que BCD est à son tour un triangle isocèle en B.
A
CB
D
1. On note aet bles mesures respectives en radians des
angles ’ BAC et ’ ABC. Établir que a=π
5.
2. En repérant deux triangles semblables dans cette confi-
guration, justifier l’égalité AB ×CD =BC2.
3. On pose BC = 1. Prouver que AB2−AB −1 = 0 et en
déduire la valeur de AB.
4. On note Hle projeté orthogonal de Dsur [AB].
Déterminer la valeur de cos π
5.
Exercice 15 S/Trigonométrie/exo-017/texte
On considère un demi-cercle Cde diamètre [AB]tel que
AB = 2 et on appelle Ole milieu de [AB],Ile point de C
tel que ◊
# »
OB;
# »
OI=π
4(2π)et Hle projeté orthogonal de
Isur [AB].
2
O
I
H
A B
C
π
4
1. a) Calculer OH et AH.
b) En déduire que cos ◊
# »
AB;
# »
AI=2 + √2
2×AI .
2. a) Que peut-on dire du triangle AIB ?
b) En déduire que cos ◊
# »
AB;
# »
AI=AI
2.
3. Déduire des questions précédentes la valeur de AI.
4. Déterminer la mesure principale de l’angle ◊
# »
AB;
# »
AI
puis établir que cos π
8=p2 + √2 2.
Exercice 16 S/Trigonométrie/exo-014/texte
On considère un point O,Cle cercle trigonométrique de
centre O,ABCDE un pentagone régulier convexe inscrit
dans Cet Jle point de Ctel que ◊
# »
OA;
# »
OJ=π
2(2π).
A
C
B
D
E
O
J
C
1. a) Justifier que ÿ
# »
OA;
# »
OB=2π
5(2π)puis donner une
mesure en radians de chacun des angles ÿ
# »
OA;
# »
OC,
ÿ
# »
OA;
# »
ODet ÿ
# »
OA;
# »
OE.
b) Exprimer alors les coordonnées de chacun des points
A,B,C,Det Edans le repère (O;
# »
OA,
# »
OJ)puis
celles du vecteur #» v=
# »
OA +
# »
OB +
# »
OC +
# »
OD +
# »
OE.
2. a) Donner une autre mesure de l’angle ÿ
# »
OA;
# »
OE. Que
peut-on en déduire pour # » OB +
# »
OE ?
b) Donner une autre mesure de l’angle ÿ
# »
OA;
# »
OD. Que
peut-on en déduire pour # » OC +
# »
OD ?
c) En déduire que #» vet # » OA sont colinéaires.
d) On admet que #» vet # » OB sont également colinéaires.
Que peut-on en déduire au sujet de #» v?
3. a) Déduire des questions 1b et 2d, une relation liant
cos Å2π
5ãet cos Å4π 5ã.
b) Rappeler l’expression de cos Å4π
5ãen fonction de
cos Å2π
5ãet en déduire que cos Å2π 5ãest solution
de l’équation 4x2+ 2x−1 = 0.
c) Déterminer alors la valeur exacte de cos Å2π
5ã.