8 – RÉFÉRENTIELS NON GALILÉENS

8–RÉFÉRENTIELSNONGALILÉENS
Pour une certaine échelle d’observation et un certain niveau de précision il existe des référentiels
dont le caractère galiléen est vérifié. En revanche, ces référentiels ne correspondent pas toujours aux
référentiels dans lesquels on effectue les mesures d’où la question légitime : comment les lois de la
mécanique s’expriment dans de tels référentiels ? Après avoir établi les relations qui permettent de
changer de référentiel, nous verrons qu’il faut introduire de nouvelles forces lorsque l’on veut décrire
des phénomènes mécaniques dans un référentiel non galiléen : la force d’inertie d’entraînement et
la force d’inertie de Coriolis.
Ce chapitre est accessible en ligne à l’adresse :
http://femto-physique.fr/mecanique/referentiels_non_inertiels.php
Sommaire
8.1 Référentiels en translation .............................. 103
8.1.1 Position du problème .............................103
8.1.2 Composition des vitesses et des accélérations ...............103
8.1.3 Notion de force d’inertie ...........................105
8.2 Référentiels en rotation uniforme autour d’un axe fixe .............. 106
8.2.1 Vecteur rotation ...............................106
8.2.2 Composition des vitesses et des accélérations ...............107
8.2.3 Force centrifuge ................................108
8.2.4 Force d’inertie de Coriolis ..........................109
8.3 Généralisation ..................................... 110
8.3.1 Lois de composition du mouvement .....................110
8.3.2 Principe de relativité galiléenne ....................... 111
8.3.3 Lois de la dynamique en référentiel non galiléen ..............112
102

CHAPITRE 8. RÉFÉRENTIELS NON GALILÉENS 103
8.1 Référentiels en translation
8.1.1 Position du problème
Considérons deux référentiels R et RÕ munis respectivement des systèmes d’axes (O,
≠æ
u1 ,
≠æ
u2 ,
≠æ
u3 )et
(O’,
≠æ
u1Õ ,
≠æ
u2Õ ,
≠æ
u3Õ ). Par définition, RÕ est en translation par rapport à R si, du point de vue d’un
observateur lié à R , les axes de RÕ conservent la même direction et le même sens au cours du
temps. Mathématiquement cela signifie qu’à tout instant on a
d≠æ ukÕ
dt----R
=≠æ0avec kœ{1,2,3}
où l’indice Rindique que la dérivée est calculée par un observateur lié à R.
Ici, le mouvement de RÕ par rapport à R est entièrement déterminé par celui du point O’. On
définit la vitesse et l’accélération de RÕpar :
≠ævRÕ/R=≠ævOÕ/Ret ≠æaRÕ/R=≠æaOÕ/R
Si O’ décrit une droite, on dit que le référentiel RÕ est en translation rectiligne comme c’est le cas
pour un référentiel lié à un ascenseur. Si O’ décrit un cercle, on parle de translation circulaire.
C’est ce mouvement que l’on observe lors des fêtes foraines où l’on rencontre fréquemment une
grande roue constituée de nacelles en translation circulaire par rapport au référentiel terrestre. De
manière générale, si O’ décrit une courbe quelconque, on parle de translation curviligne.
O
R
O’
RÕ
O’
RÕ
Translation rectiligne
O
R
O’
RÕO’
RÕ
Translation circulaire
Figure 8.1 – Exemples de mouvement de translation.
Posons nous deux questions :
1. Un corps en mouvement n’est pas décrit de la même manière par un observateur suivant
qu’il est lié à R ou à RÕ . Dès lors, quelles sont les relations qui permettent de passer d’une
observation à une autre ?
2. Si les lois de la mécanique sont valides dans R, le sont-elles encore dans RÕ?
8.1.2 Composition des vitesses et des accélérations
Un point matériel M en mouvement dans R est décrit par son vecteur position
≠ær
=
≠≠æ
OM fonction
du temps t . Dans RÕ , on définit le vecteur position
≠ærÕ
=
≠≠ ≠æ
OÕM fonction du temps tÕ . La relation de

CHAPITRE 8. RÉFÉRENTIELS NON GALILÉENS 104
passage de RÕæRest donnée par
It=tÕ
≠ær=≠≠æ
OOÕ+≠ærÕ(8.1)
Un observateur lié à Rmesure une vitesse, appelée parfois vitesse absolue,
≠ævM/R=d≠ær
dt----R
De la même façon, un observateur lié à RÕ mesure une vitesse, appelée arbitrairement vitesse
relative,
≠ævM/RÕ=d≠ærÕ
dtÕ----RÕ
où tÕest le temps dans RÕ.
Dérivons ≠ærpar rapport au temps tdans le référentiel R:
d≠ær
dt----R
=d≠ærÕ
dt----R
+d≠≠æ
OOÕ
dt------R
=d≠ærÕ
dt----R
+≠ævRÕ/R
Or, si l’on note xÕ , yÕ et zÕ les composantes du vecteur
≠ærÕ
dans la base (
≠æ
u1Õ ,
≠æ
u2Õ ,
≠æ
u3Õ ), on a
d≠ærÕ
dt----R
=dxÕ
dt≠æ
u1Õ+dyÕ
dt≠æ
u2Õ+dzÕ
dt≠æ
u3Õ+xÕd≠æ
u1Õ
dt----R
+yÕd≠æ
u2Õ
dt----R
+zÕd≠æ
u3Õ
dt----R
Mais puisque RÕ est en translation par rapport à R , les trois derniers termes sont nuls. Par ailleurs,
compte tenu que dxÕ/dt=dxÕ/dtÕ..., on peut écrire
d≠ærÕ
dt----R
=dxÕ
dtÕ≠æ
u1Õ+dyÕ
dtÕ≠æ
u2Õ+dzÕ
dtÕ≠æ
u3Õ=≠ævM/RÕ
Le terme de droite s’identifie alors avec la vitesse mesurée dans le référentiel RÕ . Finalement on
trouve la loi de composition suivante :
≠ævM/R=≠ævM/RÕ+≠ævRÕ/R¸(8.2)
La vitesse vue dans R est la somme vectorielle de la vitesse vue dans RÕ et de la vitesse de
translation de RÕpar rapport à R.
Poursuivons notre raisonnement et cherchons la relation entre les accélérations mesurées dans R et
RÕ. Pour cela, dérivons par rapport à tl’équation (8.2):
≠æaM/R=d≠ævM/R
dt-----R
=d≠ævM/RÕ
dt-----R
+≠æaRÕ/R
Pour les mêmes raisons que précédemment, le terme d≠ævM/RÕ/dt--R s’identifie avec l’accélération
relative d≠ævM/RÕ/dtÕ--RÕde sorte que
≠æaM/R=≠æaM/RÕ+≠æaRÕ/R¸(8.3)
À l’instar de la vitesse, l’accélération vue dans R est la somme vectorielle de l’accélération vue
dans RÕet de l’accélération de translation de RÕpar rapport à R.

CHAPITRE 8. RÉFÉRENTIELS NON GALILÉENS 105
8.1.3 Notion de force d’inertie
Supposons maintenant que le référentiel R soit galiléen. Un point matériel M de masse m soumis à
une résultante des forces ≠æFest donc régi par l’équation du mouvement
m≠æaM/R=≠æF
Qu’en est-il dans RÕ ? Tout d’abord, en mécanique newtonienne, la masse est une grandeur invariante
par changement de référentiel : mÕ = m . De plus, les lois d’interaction ne dépendent que des postions
et des vitesses relatives entre le point M et l’environnement matériel ; il est alors légitime de postuler
l’invariance de la force par changement de référentiel :
≠æFÕ
=
≠æF
.Enfin,sileréférentiel RÕ est en
translation par rapport à R,envertude(8.3) on a
≠æaM/R=≠æaM/RÕ+≠æaRÕ/R=≠æF
m=≠æFÕ mÕ
de sorte que
mÕ≠æaM/RÕ=≠æFÕ≠mÕ≠æaRÕ/R(mÕ=met ≠æFÕ=≠æF)
Tout se passe comme si l’on pouvait appliquer la relation fondamentale de la dynamique dans RÕ à
condition d’ajouter un terme supplémentaire dans le bilan des forces :
≠æfi=≠m≠æaRÕ/R[translation] ¸(8.4)
Cette grandeur homogène à une force est appelée force d’inertie. On peut noter qu’elle ne dépend
que du mouvement de RÕ par rapport à R et de la masse inerte du point M d’où son nom. Quand
le référentiel RÕ accélère tout se passe comme si le point matériel subissait une force supplémentaire
opposée à l’accélération.
Exemple :Freinage d’un véhicule
Imaginons la situation du conducteur d’un véhicule qui roule sur une route horizontale. Brus-
quement, le conducteur freine. Le référentiel lié à l’habitacle est donc en translation rectiligne
accéléré, l’accélération étant opposée à la vitesse. Dans ce référentiel, le conducteur ressent une
force d’inertie qui le propulse vers l’avant. Si ça ceinture de sécurité est attachée, elle le maintient
fixe dans l’habitacle en exerçant une tension opposée à cette force d’inertie.
•
≠æa≠æfi
Figure 8.2 – Le véhicule freine. Le passager se sent projeté vers l’avant.
En revanche, si le référentiel RÕest en translation rectiligne uniforme, on a
≠æaRÕ/R=≠æ0donc mÕ≠æaM/RÕ=≠æFÕ
La relation fondamentale de la dynamique est alors valide dans RÕ ce qui confère à RÕ le statut de
référentiel galiléen.
D’ores et déjà on peut retenir que tout référentiel en translation uniforme par rapport à un
référentiel galiléen, est lui aussi galiléen.

CHAPITRE 8. RÉFÉRENTIELS NON GALILÉENS 106
8.2 Référentiels en rotation uniforme autour d’un axe fixe
8.2.1 Vecteur rotation
Définition
O
R
O’
A
B
RÕ
C
()
Ê
Figure 8.3 – Référentiel en rota-
tion par rapport à un axe fixe
Supposons maintenant que le référentiel RÕ ait son origine O’
fixe par rapport à R mais, qu’en revanche, ses axes tournent
autour d’un axe fixe à une vitesse angulaire Ê constante.
Dans ce cas, on caractérise la rotation du référentiel tournant
à l’aide du vecteur rotation ≠æ Ê dont la direction est donnée
par celle de l’axe de rotation, la norme par la vitesse angulaire
Ê et le sens par la règle du tire-bouchon : faire tourner un
tire-bouchon autour de l’axe de rotation le fait déplacer dans
le sens recherché.
Illustrons cette notion sur l’exemple de la figure ci-contre. Ici, RÕ
est en rotation par rapport à R autour d’un axe fixe , orienté
suivant ≠æ u3, à la vitesse angulaire Ê. On posera donc
≠æÊ=Ê≠æ
u3
Plaçons les points A, B et C aux extrémités des vecteurs
≠æ
u1Õ ,
≠æ
u2Õ et
≠æ
u3Õ . Un observateur lié à R
constate que les points A et B décrivent un cercle de rayon unité et de centre O’ à la vitesse Ê
tandis que le point C reste immobile. Compte tenu des résultats sur le mouvement circulaire, on
ad≠æ
u1Õ
dt----R
=≠ævA/R=1◊Ê≠æ u2Õ=≠æÊ·≠æ u1Õ
d≠æ u2Õ
dt----R
=≠ævB/R=≠1◊Ê≠æ u1Õ=≠æÊ·≠æ u2Õ
d≠æ u3Õ
dt----R
=≠ævC/R=≠æ0=
≠æÊ·≠æ
u3Õ
ce qui se met sous la forme
d≠æ ukÕ
dt----R
=≠æÊ·≠æ ukÕavec kœ{1,2,3}¸(8.5)
Cette relation est en fait une définition générale du vecteur rotation que l’on admettra. Notons
qu’un observateur lié à RÕ voit le référentiel R tourner à la même vitesse angulaire mais dans le
sens opposé, de sorte que l’on a ≠æÊR/RÕ=≠≠æÊRÕ/R
Formule de dérivation vectorielle
En conséquence, la variation temporelle d’une grandeur vectorielle dépend du référentiel. En effet,
considérons un observateur lié au référentiel RÕ observant les variations d’une grandeur
≠æA
( tÕ )et
cherchons à calculer ce que verrait un observateur lié à R . Appelons A1 , A2 et A3 les composantes
du vecteur ≠æAdans la base (≠æ u1Õ,≠æ u2Õ,≠æ u3Õ):
≠æA=A1≠æ
u1Õ+A2≠æ u2Õ+A3≠æ u3Õ