Astuces de calculs de dérivées - Base RAISonnée d`Exercices de

Base raisonn´ee d’exercices de math´ematiques (Braise) Fonctions de R dans R
M´ethodes et techniques des exercices
Astuces de calculs de d´eriv´ees
Quand on calcule la d´eriv´ee d’une fonction, il y a parfois des astuces qui permettent
de limiter un peu les calculs. En voici quelques unes :
S’il y a un quotient : faire apparaˆıtre une somme de quotients
S’il y a un quotient : d´eriver comme un produit
S’il y a un exposant d´ependant de x: revenir `a une ´ecriture exponentielle
Utiliser une d´eriv´ee logarithmique
S’il y a un quotient : faire apparaˆıtre une somme de quotientsRetour au d´ebut
Dans le cas, par exemple, du calcul de la d´eriv´ee sur R\ {−2}de la fonction fraction
rationnelle f:x7→ x+1
(x+2)2, on peut essayer de simplifier cette ´ecriture en faisant
apparaˆıtre le x+2 du d´enominateur au num´erateur pour obtenir une somme de fractions
plus simples `a d´eriver (c’est le d´ebut d’une d´ecomposition en ´el´ements simples) :
f(x) = x+ 1
(x+ 2)2=x+ 2 −1 (x+ 2)2=1 x+ 2 −1 (x+ 2)2
On d´erive ensuite comme une somme de fonctions en utilisant dans les deux cas la
d´eriv´ee de 1
u.
S’il y a un quotient : d´eriver comme un produit Retour au d´ebut
Dans le cas, par exemple, du calcul de la d´eriv´ee sur R\ {−2}de la fonction fraction
rationnelle f:x7→ x+1
(x+2)2, on peut utiliser la formule
u
v′
=u′v−uv′
v2soit f′(x) = (x+ 2)2−2(x+ 1)(x+ 2) (x+ 2)4
Si on fait soigneusement les calculs, on voit que la fraction se simplifie par x+ 2. Mais
si on d´eveloppe le num´erateur trop vite, on risque de perdre cette information. Il vaut
en fait mieux d´eriver sous forme du produit de x7→ x+ 1 par x7→ 1
x+ 2)2, ce qui
donne ici
f′(x) = 1
(x+ 2)2−2(x+ 1) (x+ 2)3=−x (x+ 2)3
S’il y a un exposant d´ependant de x: revenir `a une ´ecriture exponentielle
Retour au d´ebut
Pour d´eriver la fonction f:x7→ u(x)v(x)(o`u vn’est pas une fonction constante), il
faut TOUJOURS ´ecrire
f(x) = ev(x) ln(u(x))
1

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Il est d’ailleurs fortement conseill´e d’utiliser cette ´ecriture d`es que l’on travaille avec
une fonction de ce type.
Les fonctions x7→ axavec ar´eel strictement positif sont des exemples types de telles
fonctions qu’il faut manipuler sous la forme x7→ exln(a).
Par contre, pour d´eriver x7→ u(x)α, o`u αest une constante r´eelle, on a une formule
de d´erivation : (uα)′=αuα−1u′. Utilisez-la ! (Attention, n’oubliez pas de chercher les
domaines de d´efinition et de d´erivabilit´e de uα)
Utiliser une d´eriv´ee logarithmique Retour au d´ebut
Sur tout intervalle o`u l’application f, d´erivable, ne s’annule pas, on a (ln |f|)′=f′/f,
ce que l’on peut ´egalement ´ecrire f′= (ln |f|)′×f.
Or, il se trouve qu’il est parfois plus simple de calculer la d´eriv´ee de ln |f|que celle de
f. C’est en particulier le cas lorsque fest ´ecrite sous forme factoris´ee, car la fonction
logarithme transforme un produit de fonctions en somme de fonctions.
Par exemple, pour calculer la d´eriv´ee de f:x7→ x+1
(x+2)2, on ´ecrit que
ln |f|= ln |x+ 1| − 2 ln |x+ 2|donc
f′(x) = 1
x+ 1 −21 x+ 2f(x) = x+ 2 −2(x+ 1) (x+ 1)(x+ 2) f(x)
=−x
(x+ 1)(x+ 2)f(x) = −x (x+ 2)3
Remarquez que le calcul pr´ec´edent n’est valable que sur R\ {−2,−1}, mais sachant
qu’une fonction fraction rationnelle est r´eguli`ere, en particulier C1, sur son ensemble
de d´efinition, on peut prolonger ce calcul `a R\ {−2}.
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