Astuces de calculs de dérivées - Base RAISonnée d`Exercices de

Base raisonnée d’exercices de mathématiques (Braise)
Fonctions de R dans R
Méthodes et techniques des exercices
Astuces de calculs de dérivées
Quand on calcule la dérivée d’une fonction, il y a parfois des astuces qui permettent
de limiter un peu les calculs. En voici quelques unes :
S’il y a un quotient : faire apparaı̂tre une somme de quotients
S’il y a un quotient : dériver comme un produit
S’il y a un exposant dépendant de x : revenir à une écriture exponentielle
Utiliser une dérivée logarithmique
S’il y a un quotient : faire apparaı̂tre une somme de quotientsRetour au début
Dans le cas, par exemple, du calcul de la dérivée sur R \ {−2} de la fonction fraction
x+1
rationnelle f : x 7→ (x+2)
2 , on peut essayer de simplifier cette écriture en faisant
apparaı̂tre le x+2 du dénominateur au numérateur pour obtenir une somme de fractions
plus simples à dériver (c’est le début d’une décomposition en éléments simples) :
f (x) =
x+2−1
1
1
x+1
=
=
−
2
2
(x + 2)
(x + 2)
x + 2 (x + 2)2
On dérive ensuite comme une somme de fonctions en utilisant dans les deux cas la
dérivée de u1 .
S’il y a un quotient : dériver comme un produit
Retour au début
Dans le cas, par exemple, du calcul de la dérivée sur R \ {−2} de la fonction fraction
x+1
rationnelle f : x 7→ (x+2)
2 , on peut utiliser la formule
u ′
v
=
(x + 2)2 − 2(x + 1)(x + 2)
u′v − uv ′
′
soit
f
(x)
=
v2
(x + 2)4
Si on fait soigneusement les calculs, on voit que la fraction se simplifie par x + 2. Mais
si on développe le numérateur trop vite, on risque de perdre cette information. Il vaut
1
en fait mieux dériver sous forme du produit de x 7→ x + 1 par x 7→
, ce qui
x + 2)2
donne ici
2(x + 1)
x
1
−
=−
f ′ (x) =
2
3
(x + 2)
(x + 2)
(x + 2)3
S’il y a un exposant dépendant de x : revenir à une écriture exponentielle
Retour au début
Pour dériver la fonction f : x 7→ u(x)v(x) (où v n’est pas une fonction constante), il
faut TOUJOURS écrire
f (x) = ev(x) ln(u(x))
1
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Fonctions de R dans R
Il est d’ailleurs fortement conseillé d’utiliser cette écriture dès que l’on travaille avec
une fonction de ce type.
Les fonctions x 7→ ax avec a réel strictement positif sont des exemples types de telles
fonctions qu’il faut manipuler sous la forme x 7→ ex ln(a) .
Par contre, pour dériver x 7→ u(x)α , où α est une constante réelle, on a une formule
de dérivation : (uα )′ = αuα−1u′ . Utilisez-la ! (Attention, n’oubliez pas de chercher les
domaines de définition et de dérivabilité de uα )
Utiliser une dérivée logarithmique
Retour au début
′
′
Sur tout intervalle où l’application f , dérivable, ne s’annule pas, on a (ln |f |) = f /f ,
ce que l’on peut également écrire f ′ = (ln |f |)′ × f .
Or, il se trouve qu’il est parfois plus simple de calculer la dérivée de ln |f | que celle de
f . C’est en particulier le cas lorsque f est écrite sous forme factorisée, car la fonction
logarithme transforme un produit de fonctions en somme de fonctions.
x+1
Par exemple, pour calculer la dérivée de f : x 7→ (x+2)
2 , on écrit que
ln |f | = ln |x + 1| − 2 ln |x + 2| donc
x + 2 − 2(x + 1)
1
1
′
f (x) =
−2
f (x)
f (x) =
x+1
x+2
(x + 1)(x + 2)
x
−x
f (x) = −
=
(x + 1)(x + 2)
(x + 2)3
Remarquez que le calcul précédent n’est valable que sur R \ {−2, −1}, mais sachant
qu’une fonction fraction rationnelle est régulière, en particulier C 1 , sur son ensemble
de définition, on peut prolonger ce calcul à R \ {−2}.
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