Analyse 1 FONCTIONS DERIVABLES 1. La dérivée d`une fonction

Analyse 1
FONCTIONS DERIVABLES
1. La d´eriv´ee d’une fonction
D´efinition. Soient Iun intervalle de R,f:I→Rune fonction et a∈I. On dit
que fest d´erivable en asi
f(x)−f(a)
x−a
tend vers une limite quand xtend vers a. Si elle existe, cette limite, not´ee f0(a),
s’appelle la d´eriv´ee de fen a.
Interpr´etation g´eom´etrique. Le rapport f(x)−f(a)
x−aest la pente de la s´ecante
(droite passant par les points (a, f(a)) et (x, f(x))). Sa limite est la pente de la
tangente au graphe de fen (a, f(a)). Donc fest d´erivable en asi et seulement si
son graphe admet une tangente en (a, f(a)).
Proposition. Si fest d´erivable en a, alors fest continue en a. La r´eciproque est
fausse.
D´efinition. On dit que la fonction f:I→Rest d´erivable si fest d´erivable en
tout a∈I. On d´efinit alors sa d´eriv´ee f0:I→R.
2. R`egles de calcul
D´eriv´ee d’une somme
Proposition. Soient f, g :I→Ret a∈R. Si fet gsont d´erivables en a, alors
f+gest d´erivable en aet (f+g)0(a) = f0(a) + g0(a).
Plus g´en´eralement sous les mˆemes hypoth`eses, pour λ, µ ∈R,λf +µg est d´erivable
en aet (λf +µg)0(a) = λf0(a) + µg0(a). On dit que l’op´eration de d´erivation est
lin´eaire.
D´eriv´ee d’un produit
Proposition. Soient f, g :I→Ret a∈I. Si fet gsont d´erivables en a, alors
fg est d´erivable en aet (fg)0(a) = f0(a)g(a) + f(a)g0(a).

D´eriv´ee d’un quotient
Proposition. Soient f, g :I→Ret a∈Ravec g(a)6= 0. Si fet gsont d´erivables
en a, alors f/g est d´erivable en aet
f/g0(a) = f0(a)g(a)−f(a)g0(a)
g(a)2
D´eriv´ee d’une fonction compos´ee
Proposition. Soient f:I→R,g:J→R, avec f(I)⊂Jet a∈I. Si fest
d´erivable en aet gest d´erivable en f(a), alors g◦fest d´erivable en aet
(g◦f)0(a) = g0(f(a)).f0(a)
3. La condition n´ecessaire du 1er ordre
Th´eor`eme. Soit Iun intervalle ouvert et f:I→R. Si fatteint un maximum
en a∈Iet si fest d´erivable en a, alors f0(a)=0.
4. Th´eor`emes de Rolle et des accroisssements finis
Th´eor`eme [Rolle]. Soient a < b et f: [a, b]→Rcontinue sur [a, b]et d´erivable
sur ]a, b[. On suppose que f(a) = f(b). Alors il existe c∈]a, b[tel que f0(c)=0.
Th´eor`eme [Accroisssements finis]. Soient a < b et f: [a, b]→Rcontinue sur
[a, b]et d´erivable sur ]a, b[. Alors il existe c∈]a, b[tel que
f0(c) = f(b)−f(a)
b−a
5. D´eriv´ees d’ordre sup´erieur
D´efinition. Soient Iun intervalle de R,f:I→Rune fonction d´erivable et
a∈I. On dit que fest deux fois d´erivable en asi f0est d´erivable en a. La d´eriv´ee
de f0en as’appelle la d´eriv´ee seconde de fen aet se note f00 (a). On dit que f
est deux fois d´erivable si f0est d´erivable.
On d´efinit par r´ecurrence la k-d´erivabilit´e d’une fonction f. La d´eriv´ee k-i`eme se
note f(k)et on a f(k)= (f(k−1))0. On dit que fest ind´efiniment d´erivable si fest
k-d´erivable pour tout k. On dit que fest de classe Cksi f(k)existe et est continue.
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