Étudier la dérivabilité d`une fonction de R dans R

Base raisonn´ee d’exercices de math´ematiques (Braise) Fonctions de R dans R
M´ethodes et techniques des exercices
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Etudier la d´erivabilit´e d’une fonction de Rdans R
PREMI` ERE ETAPE
On cherche des intervalles ouverts aussi grands que possible sur lesquels la fonction
donn´ee est obtenue comme somme, produit, quotient, compos´ee de fonctions dont on
sait d´ej`a qu’elles sont d´erivables.
Voici quelques r´esultats utiles dans cette perspective :
– La somme de fonctions d´erivables est d´erivable et sa d´eriv´ee est la somme des
d´eriv´ees.
– Le produit de deux fonctions d´erivables est d´erivable et la d´eriv´ee de uv est
u′v+uv′.
– Le quotient de deux fonctions d´erivables est d´erivable sur tout intervalle o`u le
d´enominateur est non nul et la d´eriv´ee de u
vest u′v−uv′ v2.
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– Ci-dessous le tableau des d´eriv´ees des principales fonctions :
Si fest la fonction Sur l’intervalle Elle admet une d´eriv´ee
donn´ee par f′telle que
f(x) = k∈R]−∞; +∞[f′(x) = 0
f(x) = x]−∞; +∞[f′(x) = 1
f(x) = xn, n ∈N⋆]−∞; +∞[f′(x) = nxn−1
f(x) = ex]−∞; +∞[f′(x) = ex
f(x) = ln x]0; +∞[f′(x) = 1
x
f(x) = sin x]−∞; +∞[f′(x) = cos x
f(x) = cos x]−∞; +∞[f′(x) = −sin x
f(x) = tan x(n−1
2)π; (n+1 2)π, n ∈Zf′(x) = 1 + tan2x=1 cos2x
f(x) = arcsin x]−1; 1[ f′(x) = 1
√1−x2
f(x) = arccos x]−1; 1[ f′(x) = −1
√1−x2
f(x) = arctan x]−∞; +∞[f′(x) = 1
1 + x2
DEUXI` EME ETAPE
On examine les points qui sont aux extr´emit´es des intervalles pr´ec´edents. Pour ces
points, on revient `a la d´efinition du nombre d´eriv´ee d’une fonction :
D´ efinition (Nombre d´eriv´e).Soit fest une fonction d´efinie dans un intervalle ouvert,
et soit aun point de cet intervalle.
On dit que fest d´erivable en asi la limite
lim
x→a
f(x)−f(a)
x−a
existe.
Cette limite s’appelle alors le nombre d´eriv´ee de fau point a.
La fonction qui associe `a ale nombre d´eriv´ee de fau point as’appelle la d´eriv´ee de
f.
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Il est parfois utile de distinguer le nombre d´eriv´ee `a droite et le nombre d´eriv´ee `a
gauche :
D´ efinition (Nombre d´eriv´e `a gauche, nombre d´eriv´e `a droite).Le nombre d´eriv´e
`a gauche de la fonction fau point aest la limite
lim
x→a−
f(x)−f(a)
x−a
et le nombre d´eriv´e `a droite au point aest la limite
lim
x→a+
f(x)−f(a)
x−a.
Si ces deux nombres d´eriv´ees existent et sont ´egaux, c’est le nombre d´eriv´ee de la
fonction.
Remarque.
– Si une fonction est d´erivable, elle est `a fortiori continue. C’est pourquoi la re-
cherche des intervalles o`u une fonction est continue et des intervalles o`u elle
est d´erivable se fait le plus souvent simultan´ement. De mˆeme pour des fonc-
tions ind´efiniment d´erivables sauf en quelques points, on recherche d’embl´ee les
intervalles o`u elle est ind´efiniment d´erivable.
– Il n’est pas rare de rencontrer des abus de langage concernant la d´eriv´ee. Dans
le texte pr´ec´edent le mot “d´eriv´ee” d´esigne la fonction qui `a xassocie le nombre
d´eriv´e en x. Mais on rencontre l’expression “d´eriv´ee en x” pour d´esigner “le
nombre d´eriv´e en x”.
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