Dérivées

Dérivée d’une fonction
Analyse
Dérivées
Croissance, tangente et dérivée
Considérons le graphe de la fonction
f (x) = x3 − 3x2
dessiné ci-dessous :
y = f (x)
Imaginons suivre le dessin de la courbe de gauche à droite avec la pointe d’un crayon. Celle-ci
devra :
a) d’abord monter,
b) passer sur une bosse,
c) puis redescendre dans creux,
d) et finalement remonter.
Il est facile d’identifier sur le graphe de la fonction les zones où la fonction
“monte” ou “descend”
ainsi que les éventuels
“bosses” ou “creux”.
L’ensemble de ces divers éléments s’appelle la croissance de la fonction.
Pour nous, il s’agira d’apprendre à étudier la croissance d’une fonction à partir de son expression
mathématique pour aider au dessin de la courbe représentative de cette fonction.
On va développer une technique qui permet d’associer à toute fonction f une autre fonction,
notée f ′ que l’on appellera dérivée. Pour une valeur donnée de x, on pourra alors non seulement
calculer la valeur de f (x), mais aussi celle de f ′ (x) qui nous indiquera si la fonction monte,
descend ou reste stationnaire en x.
La question est maintenant de calculer l’expression mathématique de f ′ à partir de celle de f .
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Dérivée d’une fonction
Analyse
Commençons par un exemple visuel qui ne permettra pas de faire les calculs à proprement
parler, mais qui donne un idée de l’aspect géométrique de la situation : On a représenté cidessous le graphe de la fonction
f (x) = 1 − 2x2 − x3
b
1.0
b
0.5
−2.0
−1.5
−1.0
0.5
−0.5
1.0
−0.5
On choisit un point sur la courbe, ici (0.35; 0.72) et on découpe autour de ce point un carré de
plus en plus petit pour pouvoir observer ce qu’il advient de la courbe si l’on reste très proche
de ce point. On va se rapprocher de plus en plus de ce point et analyser la forme de la fonction
après ce zoom.
b
Lorsque le côté du carré est assez petit, 0.01 cm, par exemple, la situation se présente comme
suit :
b
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Dérivée d’une fonction
Analyse
La fonction ressemble à s’y méprendre à un morceau de droite. Si l’on reporte toute la droite
sur le premier dessin, on obtient :
b
1.0
b
0.5
−2.0
−1.5
−1.0
0.5
−0.5
1.0
−0.5
On voit alors que la droite que nous venons de dessiner n’est autre que la tangente à la courbe
au point considéré. Comme on peut le constater sur le dessin ci-dessous, la pente de cette
tangente est négative si la courbe descend, pour x = 0.35, par exemple :
1.0
1
b
0.5
m = −1.77
−2.0
−1.5
−1.0
0.5
−0.5
1.0
1.5
2.0
−0.5
−1.0
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Dérivée d’une fonction
Analyse
Cette pente est positive si la courbe monte, ici pour x = −0.5 :
2.0
1.5
m = 1.25
1.0
b
0.5
−1.0
1
0.5
−0.5
1.0
−0.5
Elle est finalement nulle au sommet d’une bosse ou au fond d’un creux, pour x ≃ −1.333 et
x = 0:
1.0
b
0.5
−2.0
−1.5
b
−1.0
0.5
−0.5
1.0
−0.5
Le nombre que l’on appellera dérivée en x de la fonction est précisément
la pente de cette tangente au point (x, f (x)).
Le point choisi au départ étant quelconque, la dérivée est bien une fonction qui associe à chaque
valeur de x un nombre, la pente de la tangente au point (x, f (x)).
On a maintenant une idée géométrique de ce qu’est la dérivée d’une fonction, mais on ne sait
pas donner l’expression mathématique de la dérivée de f (x) = 1 − 2x2 − x3 .
Il est en effet agréable de pouvoir calculer les valeurs de la dérivée et d’analyser la croissance
de f à partir d’une formule, vu que le but final est en général de tracer le graphe de f à partir
de l’expression mathématique de celle-ci.
On rappelle la notation : f ′ désigne la dérivée de la fonction f et
(f (x))′ = f ′ (x).
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Dérivée d’une fonction
Analyse
Les polynômes étant construits à partir des puissances d’une lettre, il nous faut tout d’abord
connaı̂tre les dérivées de ces “briques élémentaires” :
x′ = 1,
(x2 )′ = 2x,
(x3 )′ = 3x2 ,
(x4 )′ = 4x3 ,
(x5 )′ = 5x4
et la formule générale s’écrit
(xn )′ = n · xn−1
Que dire du cas où la fonction est une constante : f (x) = x0 = 1 ?
Le graphe de cette fonction est une droite horizontale comme illustré ci-dessous :
y = f (x)
1
−3
−2
1
−1
2
3
4
5
−1
La pente de la tangente à cette droite y = f (x) est clairement toujours égale à zéro, vu qu’elle
est horizontale. Sa dérivée est donc nulle pour tout x et on écrit f ′ (x) = (1)′ = 0.
Nous sommes alors en mesure de dériver des polynômes de la forme
f (x) = x4 − 3x3 + 5x2 − 3x + 4
car la dérivée se comporte agréablement par rapport aux opérations d’addition et de multiplication par un nombre. Explicitement :
f ′ (x) = (x4 − 3x3 + 5x2 − 3x + 4)′
= (x4 )′ − (3 · x3 )′ + (5 · x2 )′ − (3 · x)′ + (4 · 1)′
= (x4 )′ − 3 · (x3 )′ + 5 · (x2 )′ − 3 · (x)′ + 4 · (1)′
= 4x3 − 3 · 3x2 + 5 · 2x − 3 · 1 + 4 · 0
= 4x3 − 9x2 + 10x − 3
Cette propriété s’appelle la linéarité de la dérivée.
À l’aide de l’exemple ci-dessus, on peut dériver tous les polynômes mis sous forme développée
et réduite. En fait, on peut dériver toutes les fonctions puissances qui englobent également les
racines.
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Dérivée d’une fonction
Analyse
Par exemple :
√ ′ 1 ′ 1 1 −1
x = x2 = · x2
2
1 1 2
= · x2−2
2
1
1
= · x− 2
2
1
=
1
2 · x2
1
√
=
2· x
Supposons maintenant que notre fonction soit un polynôme donné par un produit de facteurs,
comme ci-dessous :
f (x) = (2x − 1) · (3x + 2)
Montrons comment on calcule la dérivée de f (x) :
f ′ (x) = ((2x − 1) · (3x + 2))′
= (2x − 1)′ · (3x + 2) + (2x − 1) · (3x + 2)′
= 2 · (3x + 2) + (2x − 1) · 3
= 6x + 4 + 6x − 3
= 12x + 1
Voici un exemple un peu plus compliqué :
f (x) = (x2 + 2x − 3) · (x3 − x)
On a alors :
f ′ (x) = ((x2 + 2x − 3) · (x3 − x))′
= (x2 + 2x − 3)′ · (x3 − x) + (x2 + 2x − 3) · (x3 − x)′
= (2x + 2) · (x3 − x) + (x2 + 2x − 3) · (3x2 − 1)
= 2(x + 1) · x · (x2 − 1) + (x − 1)(x + 3)(3x2 − 1)
= 5x4 + 8x3 − 12x2 − 4x + 3
= (5x + 3)(x − 1)(x2 + 2x − 1)
D’une manière générale, la dérivée d’un produit est donnée par la règle suivante :
(u · v)′ = u′ · v + u · v ′
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Dérivée d’une fonction
Analyse
On aura également à dériver des fractions de polynômes :
f (x) =
x+1
x+3
La règle se complique un petit peu et le calcul se fait de la façon suivante :
′
x+1
(x + 1)′ · (x + 3) − (x + 1) · (x + 3)′
′
f (x) =
=
x+3
(x + 3)2
=
(x + 3) − (x + 1)
(x + 3)2
=
x+3−x−1
2
=
(x + 3)2
(x + 3)2
En général, pour la dérivée d’une fraction, la règle s’écrit :
u ′
v
=
u′ · v − u · v ′
v2
Considérons encore la fonction suivante :
f (x) = (3x2 − 5x + 2)5
Pour dériver cette fonction, on pourrait développer et réduire le polynôme et dériver le résultat.
Il existe une méthode plus simple que nous allons décrire sur cet exemple :
′
f ′ (x) = (3x2 − 5x + 2)5
= 5 · (3x2 − 5x + 2)4 · (3x2 − 5x + 2)′
= 5 · (3x2 − 5x + 2)4 · (6x − 5)
Pour dériver une puissance d’une fonction, il suffit d’appliquer la dérivée de la puissance en
question à la fonction et de multiplier par “la dérivée de l’intérieur”. On peut écrire une règle
générale :
(un )′ = n · un−1 · u′
On pourra également dériver la racine d’une fonction à l’aide de cette technique. Considérons
√
1
f (x) = 1 − x − x2 = (1 − x − x2 ) 2
Pour dériver cette fonction, on procède comme suit :
′
′
2 21
f (x) = (1 − x − x )
=
1
1
1
1
· (1 − x − x2 ) 2 −1 · (1 − x − x2 )′ = · (1 − x − x2 ) 2 −1 · (−1 − 2x)
2
2
1
1
−(2x + 1)
= − · (1 − x − x2 )− 2 · (2x + 1) = √
2
2 1 − x − x2
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