Dérivées

D´eriv´ee d’une fonction Analyse
D´eriv´ees
Croissance, tangente et d´eriv´ee
Consid´erons le graphe de la fonction
f(x) = x3−3x2
dessin´e ci-dessous :
y=f(x)
Imaginons suivre le dessin de la courbe de gauche `a droite avec la pointe d’un crayon. Celle-ci
devra :
a) d’abord monter,
b) passer sur une bosse,
c) puis redescendre dans creux,
d) et finalement remonter.
Il est facile d’identifier sur le graphe de la fonction les zones o`u la fonction
“monte” ou “descend”
ainsi que les ´eventuels
“bosses” ou “creux”.
L’ensemble de ces divers ´el´ements s’appelle la croissance de la fonction.
Pour nous, il s’agira d’apprendre `a ´etudier la croissance d’une fonction `a partir de son expression
math´ematique pour aider au dessin de la courbe repr´esentative de cette fonction.
On va d´evelopper une technique qui permet d’associer `a toute fonction fune autre fonction,
not´ee f′que l’on appellera d´eriv´ee. Pour une valeur donn´ee de x, on pourra alors non seulement
calculer la valeur de f(x), mais aussi celle de f′(x) qui nous indiquera si la fonction monte,
descend ou reste stationnaire en x.
La question est maintenant de calculer l’expression math´ematique de f′`a partir de celle de f.
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D´eriv´ee d’une fonction Analyse
Commen¸cons par un exemple visuel qui ne permettra pas de faire les calculs `a proprement
parler, mais qui donne un id´ee de l’aspect g´eom´etrique de la situation : On a repr´esent´e ci-
dessous le graphe de la fonction
f(x) = 1 −2x2−x3
0.5
1.0
−0.5
0.5 1.0−0.5−1.0−1.5−2.0
On choisit un point sur la courbe, ici (0.35; 0.72) et on d´ecoupe autour de ce point un carr´e de
plus en plus petit pour pouvoir observer ce qu’il advient de la courbe si l’on reste tr`es proche
de ce point. On va se rapprocher de plus en plus de ce point et analyser la forme de la fonction
apr`es ce zoom.
Lorsque le cˆot´e du carr´e est assez petit, 0.01 cm, par exemple, la situation se pr´esente comme
suit :
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D´eriv´ee d’une fonction Analyse
La fonction ressemble `a s’y m´eprendre `a un morceau de droite. Si l’on reporte toute la droite
sur le premier dessin, on obtient :
0.5
1.0
−0.5
0.5 1.0−0.5−1.0−1.5−2.0
On voit alors que la droite que nous venons de dessiner n’est autre que la tangente `a la courbe
au point consid´er´e. Comme on peut le constater sur le dessin ci-dessous, la pente de cette
tangente est n´egative si la courbe descend, pour x= 0.35, par exemple :
0.5
1.0
−0.5
−1.0
0.5 1.0 1.5 2.0−0.5−1.0−1.5−2.0
1
m=−1.77
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D´eriv´ee d’une fonction Analyse
Cette pente est positive si la courbe monte, ici pour x=−0.5 :
0.5
1.0
1.5
2.0
−0.5
0.5 1.0−0.5−1.0
1
m= 1.25
Elle est finalement nulle au sommet d’une bosse ou au fond d’un creux, pour x≃ −1.333 et
x= 0 :
0.5
1.0
−0.5
0.5 1.0−0.5−1.0−1.5−2.0
Le nombre que l’on appellera d´eriv´ee en x de la fonction est pr´ecis´ement
la pente de cette tangente au point (x, f (x)).
Le point choisi au d´epart ´etant quelconque, la d´eriv´ee est bien une fonction qui associe `a chaque
valeur de xun nombre, la pente de la tangente au point (x, f (x)).
On a maintenant une id´ee g´eom´etrique de ce qu’est la d´eriv´ee d’une fonction, mais on ne sait
pas donner l’expression math´ematique de la d´eriv´ee de f(x) = 1 −2x2−x3.
Il est en effet agr´eable de pouvoir calculer les valeurs de la d´eriv´ee et d’analyser la croissance
de f`a partir d’une formule, vu que le but final est en g´en´eral de tracer le graphe de f`a partir
de l’expression math´ematique de celle-ci.
On rappelle la notation : f′d´esigne la d´eriv´ee de la fonction fet
(f(x))′=f′(x).
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D´eriv´ee d’une fonction Analyse
Les polynˆomes ´etant construits `a partir des puissances d’une lettre, il nous faut tout d’abord
connaˆıtre les d´eriv´ees de ces “briques ´el´ementaires” :
x′= 1,(x2)′= 2x, (x3)′= 3x2,(x4)′= 4x3,(x5)′= 5x4
et la formule g´en´erale s’´ecrit
(xn)′=n·xn−1
Que dire du cas o`u la fonction est une constante : f(x) = x0= 1 ?
Le graphe de cette fonction est une droite horizontale comme illustr´e ci-dessous :
1
−1
12345−1−2−3
y=f(x)
La pente de la tangente `a cette droite y=f(x) est clairement toujours ´egale `a z´ero, vu qu’elle
est horizontale. Sa d´eriv´ee est donc nulle pour tout xet on ´ecrit f′(x) = (1)′= 0.
Nous sommes alors en mesure de d´eriver des polynˆomes de la forme
f(x) = x4−3x3+ 5x2−3x+ 4
car la d´eriv´ee se comporte agr´eablement par rapport aux op´erations d’addition et de multipli-
cation par un nombre. Explicitement :
f′(x) = (x4−3x3+ 5x2−3x+ 4)′
= (x4)′−(3 ·x3)′+ (5 ·x2)′−(3 ·x)′+ (4 ·1)′
= (x4)′−3·(x3)′+ 5 ·(x2)′−3·(x)′+ 4 ·(1)′
= 4x3−3·3x2+ 5 ·2x−3·1 + 4 ·0
= 4x3−9x2+ 10x−3
Cette propri´et´e s’appelle la lin´earit´e de la d´eriv´ee.
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A l’aide de l’exemple ci-dessus, on peut d´eriver tous les polynˆomes mis sous forme d´evelopp´ee
et r´eduite. En fait, on peut d´eriver toutes les fonctions puissances qui englobent ´egalement les
racines.
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