Dérivation et intégration, Partie II : Applications de

Cours de Math´ ematiques
D´ erivation et int´ egration
Partie II : Applications de classe Ck
II Applications de classe Ck
On rappelle que Id´esigne un intervalle de IR non r´eduit `a un point.
Les espaces vectoriels norm´es E, F, G sont de dimension finie sur IK = IR ou lC.
II.1 Op´erations sur les applications de classe C1
Proposition (Lin´earit´e de la d´erivation)
C1(I, E) est un sous-espace vectoriel de l’espace C(I, E) des applications continues de I
dans E, lui-mˆeme un sous-espace de l’espace F(I, E) de toutes les applications Idans E.
∀f, g ∈ C1(I, E),∀(λ, µ)∈IK2: (λf +µg)0=λf 0+µg0.
Proposition (Composition par une application lin´eaire)
Soit fune application de Idans E, de classe C1.
Soit uune application lin´eaire de Edans F.
Alors u◦fest de classe C1de Idans F, et (uof)0=uof 0.
Proposition (Composition par une application bilin´eaire)
Soit fune application de Idans E, de classe C1.
Soit gune application de Idans F, de classe C1.
Soit Bune application bilin´eaire de E×Fdans G.
Alors l’application hd´efinie par h(x) = B(f(x), g(x)) est de classe C1de Idans G.
De plus h0= (B(f, g))0=B(f0, g) + B(f, g0).
Cas particuliers
– Si Eest une alg`ebre norm´ee, et si fet gsont de classe C1de Idans E, alors h=fg est de
classe C1sur Iet h0=f0g+fg0.
Par r´ecurrence, on v´erifie alors que si f1, f2, . . . , fnsont de classe C1sur Ialors f=f1f2· · · fn
est de classe C1sur Iet f0=
n
X
k=1
f1· · · fk−1f0
kfk+1 · · · fn.
Si de plus Eest commutative, alors pour tout entier p: (fp)0=p f0fp−1.
Le cas le plus courant est ´evidemment E= IK.
– Soient f:I→E, et λ:I→IK de classe C1.
Alors g=λf est de classe C1sur Iet (λf)0=λ0f+λf0.
– Si f,gsont de classe C1dans Iet si Eest muni d’un produit scalaire, alors l’application
< f, g > est de classe C1et < f, g >0=< f0, g > +< f, g0>.
– Si Eest un espace vectoriel euclidien orient´e de dimension 3, et si fet gsont de classe C1
de Idans E, alors f∧gest de classe C1et (f∧g)0=f0∧g+f∧g0.
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D´ erivation et int´ egration
Partie II : Applications de classe Ck
Proposition (D´eriv´ee de l’inverse)
Soit gune application de classe C1de Idans IK, ne s’annulant pas.
Alors 1
gest de classe C1sur Iet : 1 g0=−g0 g2.
La formule (gm)0=mg0gm−lest alors vraie pour tout entier relatif m.
Si f:I→Eest de classe C1alors f
gest de classe C1sur Iet : f g0=f0g−fg0 g2.
Proposition (D´eriv´ee d’une fonction compos´ee)
Soit ϕ:I→IR, de classe C1. Soit Jun intervalle contenant ϕ(I) et non r´eduit `a un point.
Soit fune application de classe C1de Jdans E.
Alors f◦ϕest de classe C1de Idans Eet : (f◦ϕ)0=ϕ0·(f0◦ϕ).
Autrement dit : ∀t∈I, (f◦ϕ)0(t) = ϕ0(t)·f0(ϕ(t)).
II.2 D´eriv´ees successives
D´efinition (Applications nfois d´erivables sur un intervalle)
Soit fune application de Idans E. On pose f(0) =f.
On suppose que l’application f(n−1) existe et est d´erivable de Idans E.
On d´efinit alors l’application f(n)= (f(n−1))0.
Si l’application f(n):I→Eexiste, on dit que fest nfois d´erivable sur l’intervalle I, et
f(n)est appel´ee application d´eriv´ee n-i`eme de fsur I.
L’application f(n)est parfois not´ee Dnfou encore dnf
dxn.
Remarque (Vecteur d´eriv´e n-i`eme en un point)
Soit fune application de Idans E,aun point de Iet nun entier naturel. On dit que f
est nfois d´erivable en asi fest n−1 fois d´erivable sur un voisinage de aet si f(n−1) est
d´erivable en a.
On note encore f(n)(a) cette d´eriv´ee, appel´ee vecteur d´eriv´e n-i`eme de fau point ade I(il
n’est pas n´ecessaire que f(n)existe sur Itout entier.)
D´efinition (Applications de classe Ck)
Soit fune application de Idans E,kfois d´erivable.
Si de plus l’application f(k)est continue sur I, on dit que fest de classe Cksur I.
On note Ck(I, E) l’ensemble des applications de classe Ckde Idans E.
On dit que fest de classe C∞sur Isi fest kfois d´erivable sur Ipour tout entier naturel k
(c’est-`a-dire en fait si fest de classe Ckpour tout k).
On note C∞(I, E) l’ensemble de ces applications.
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Remarque
C0(I, E) d´esigne l’ensemble des applications continues de Idans E.
On a les inclusions C0(I, E)⊃ C1(I, E)⊃ · · · ⊃ Ck(I, E)⊃ · · · ⊃ C∞(I, E).
De mˆeme on a : C∞(I, E) = \
k∈IN
Ck(I, E).
II.3 Op´erations sur les applications de classe Ck
Proposition (Combinaisons lin´eaires d’applications de classe Ck)
Ck(I, E) est un espace vectoriel sur IK.
L’application f7→ f(k)est lin´eaire de Ck(I, E) dans C0(I, E).
Proposition (Formule de Leibniz)
Soit nun ´el´ement de IN ∪ {+∞}. Soient fet gdeux applications de classe Ckde Idans IK.
Alors fg est de classe Cksur Iet : (fg)(n)=
n
X
k=0
Ck
nf(k)g(n−k).
Remarques
– Le r´esultat pr´ec´edent implique que Cn(I, IK) est muni d’une structure d’alg`ebre.
– ”Leibniz” est encore valable si fest `a valeurs dans IK et gest `a valeurs dans E, ou si fet g
sont toutes deux `a valeurs dans une alg`ebre norm´ee E.
Proposition (Inverse d’une application de classe Ck)
Si f:I→IK est de classe Cksur Iet ne s’annule pas, alors 1
fest de classe Cksur I.
Proposition (Composition d’applications de classe Ck)
Soit ϕune application de classe Ckde Idans IR.
Soit Jun intervalle de IR, non r´eduit `a un point et contenant ϕ(I).
Soit fune application de classe Ckde Jdans E.
Alors l’application f◦ϕest de classe Ckde Idans E.
II.4 Diff´eomorphismes
D´efinition (Ck-diff´eomorphismes)
Soient Iet Jdeux intervalles de IR, non r´eduits `a un point.
On dit qu’une application fde Idans Jest un Ck-diff´eomorphisme si fest une bijection
de Isur J, et si les deux applications fet f−1sont de classe Ck.
Proposition (Caract´erisation des Ck-diff´eomorphismes)
fest un Ck-diff´eomorphisme de Isur J=f(I)⇔fest de classe Cksur Iet, pour tout x
de I,f0(x)6= 0.
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II.5 Applications de classe Ck par morceaux
D´efinition
Soit fune application d´efinie sur le segment [a, b], `a valeurs dans E.
Soit kun entier naturel. On dit que fest de classe Ckpar morceaux sur [a, b] s’il existe une
subdivision {a0=a<a1< . . . < an−1< an=b}de [a, b] telle que la restriction de f`a
chaque sous-intervalle ]aj, aj+1[ soit de classe Cket soit prolongeable en une application de
classe Cksur [aj, aj+1].
Dans ce cas, on dit que la subdivision (aj)0≤j≤nest adapt´ee `a f.
Remarques
– Si fest de de classe Ckpar morceaux sur [a, b] alors ses d´eriv´ees successives, encore not´ees
fjou Dj(f) avec 1 ≤j≤k, sont d´efinies sur [a, b] priv´e d’un nombre fini de points.
– Si Iest un intervalle quelconque de IR (et donc plus n´ecessairement un segment), l’application
f:I→Eest dite de classe Ckpar morceaux sur Isi fest de classe Ckpar morceaux sur
tout sous-segment de I.
– On v´erifie que l’ensemble Mk(I, E) des applications de classe Ckpar morceaux sur I, `a
valeurs dans E, est un sous-espace vectoriel de F(I, E).
Proposition (Caract´erisation des applications constantes)
Soit fune application de Idans E, continue et de classe Ckpar morceaux.
Alors fest constante sur I⇔Df ≡0 sur I.
(Cette propri´et´e est surtout utile dans le sens ⇐.)
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