Devoir 2 - LAMFA - Université de Picardie Jules Verne

Université de Picardie Jules Verne Année 2005-2006
Faculté de Mathématiques et d’Informatique
Licence mention Mathématiques -Deuxième année -Semestre 4
Probabilités élémentaires
Devoir 2
Exercice 1 -Histoire de QCM Partie I
1) Dans un questionnaire à choix multiple (QCM), pour une question donnée, trois réponses sont
proposées dont une seule est exacte. Un candidat décide de répondre au hasard à cette question. La réponse
exacte rapporte npoint(s) et une réponse fausse fait perdre ppoint(s).
Soit Nla variable aléatoire qui associe, à la réponse donnée par le candidat, la note algébrique qui lui
sera attribuée pour cette question.
a) Donner la loi de probabilité de N.
b) Quelle relation doit exister entre net ppour que l’espérance mathématique de Nsoit nulle ?
2) A un concours, un candidat doit répondre à un QCM de quatre questions comportant chacune trois
propositions de réponse dont une seule est exacte. On suppose qu’il répond au hasard à chaque question.
Calculer la probabilité qu’il réponde correctement à trois questions exactement.
Partie II
Répondre au QCM proposé ci-après.
Pour chaque question, une seule réponse est exacte. L’absence de réponse n’est pas pénalisée.
1) On dispose de 10 jetons numérotés de 1 à 10, et on en extrait simultanément trois pour former un
"paquet". Combien de "paquets" contenant au moins un jeton ayant un numéro pair peut-on ainsi former ?
Réponse 1 : 180 - Réponse 2 : 330 - Réponse 3 : 110
2) Aet Bsont deux événements d’un espace probabilisé tels que PA0,4 , PB0,5 et
PAB0,35 . Combien vaut PA∩B?
Réponse 1 : 0,1 - Réponse 2 : 0,25 - Réponse 3 : données insuffisantes pour répondre
3) Aet Bsont deux événements d’un espace probabilisé tels que PB∩A1
6et PAB1
4. Combien
vaut PA?Réponse 1 : 2
3- Réponse 2 : 1
24 - Réponse 3 : 1 12
4) Une variable aléatoire Xa pour loi de probabilité : xi124
pi1
21 41 4
. Quel est l’écart-type de X?
Réponse 1 : 3
2- Réponse 2 : 3
2- Réponse 3 : 2
Exercice 2 -Problème de pannes (première partie)
On appelle durée de vie d’un composant électronique la durée de fonctionnement de ce composant jusqu’à
sa première panne éventuelle.
On considère que la durée de vie d’un composant électronique est modélisée par une variable aléatoire T
définie sur un espace probabilisé ,A,Pet à valeurs dans 0,.
On rappelle que la fonction de répartition Fde Test définie pour tout réel tpar
FtPT≤t. On appelle alors loi de survie du composant la fonction Ddéfinie pour tout tde par
Dt1−FtPTt.
1

Première partie :cas discret.
A.Loidesurvieetcoefficientd’avarie.
On suppose, dans cette sous-partie A, que Test une variable aléatoire à valeurs dans ℕ∗qui vérifie, pour
tout entier naturel n,Dn≠0.
Un composant est mis en service à l’instant 0. Pour tout entier naturel nnon nul, on appelle coefficient
d’avarie à l’instant ndu composant la probabilité qu’il tombe en panne à l’instant nsachant qu’il fonctionne
encore à l’instant n−1, c’est-à-dire le nombre ndéfini par l’égalité
nP T n/Tn−1 .
1) Exprimer, pour tout entier naturel nnon nul, la probabilité PTnàl’aidedelafonctionD.En
déduire l’égalité
nDn−1−Dn
Dn−1.
2) On suppose que pest un réel de l’intervalle 0,1et que Tsuit la loi géométrique de paramètre p,
c’est-à-dire que Test à valeurs dans IN∗et que pour tout nde IN∗,PTnp1−pn−1.
a) Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire T.
b) Calculer, pour tout entier naturel n,Dnen fonction de net p.
c) En déduire que pour tout entier naturel nnon nul, np.
3) Réciproquement, on suppose dans cette question qu’il existe un réel strictement positif tel que pour
tout entier naturel nnon nul, n.
a) Démontrer que pour tout entier naturel nnon nul, Dn1−Dn−1.
b) En déduire l’expression de Dnen fonction de net .
c) En déduire que Tsuit une loi géométrique et préciser son paramètre.
Dans la suite de cette première partie, on considère la situation suivante.
Un premier composant est mis en service à l’instant 0, et quand il tombe en panne, est remplacé
instantanément par un composant identique, qui sera remplacé à son tour à l’instant où il tombe en panne dans
les mêmes conditions, et ainsi de suite.
Pour tout entier naturel nnon nul, on désigne par Unla variable aléatoire indiquant le nombre de pannes
(et donc de remplacements) survenues jusqu’à l’instant ninclus.
B.Nombre moyen de pannes successives dans un cas particulier.
On suppose, dans cette sous-partie B, que pest un réel de l’intervalle 0,1, et que la loi de Test donnée
par PT1pet PT21−p.
Pour tout entier naturel nnon nul, on désigne par Rnla variable aléatoire définie sur ,A,P, prenant la
valeur 1 si une panne survient à l’instant net la valeur 0 sinon. L’espérance mathématique de Rnest notée rn.
1) a) Calculer l’espérance mathématique ETde la variable aléatoire T.
b) Calculer r1et r2.
2) Soit nun entier naturel non nul.
a) A l’aide de la formule des probabilités complètes, établir une relation donnant PRn21en
fonction de PRn11et PRn1.
b) En déduire que rn2prn11−prn.
3) a) Montrer que la suite rnn≥1vérifie, pour tout entier naturel nnon nul :
rn1
2−pAp−1n,oùAest une constante réelle que l’on précisera.
b) En déduire que n→
lim rn1
ET.
4) Soit nun entier naturel non nul. Exprimer la variable aléatoire Unà l’aide des variables aléatoires Ri,
puis calculer l’espérance mathématique EUnde Unet en donner un équivalent simple lorsque ntend vers
.
La deuxième partie,cas continu,fera l’objet d’un prochain devoir ...
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