Devoir 2 - LAMFA - Université de Picardie Jules Verne

Université de Picardie Jules Verne
Faculté de Mathématiques et d’Informatique
Année 2005-2006
Licence mention Mathématiques - Deuxième année - Semestre 4
Probabilités élémentaires
Devoir 2
Exercice 1 - Histoire de QCM
Partie I
1) Dans un questionnaire à choix multiple (QCM), pour une question donnée, trois réponses sont
proposées dont une seule est exacte. Un candidat décide de répondre au hasard à cette question. La réponse
exacte rapporte n point(s) et une réponse fausse fait perdre p point(s).
Soit N la variable aléatoire qui associe, à la réponse donnée par le candidat, la note algébrique qui lui
sera attribuée pour cette question.
a) Donner la loi de probabilité de N.
b) Quelle relation doit exister entre n et p pour que l’espérance mathématique de N soit nulle ?
2) A un concours, un candidat doit répondre à un QCM de quatre questions comportant chacune trois
propositions de réponse dont une seule est exacte. On suppose qu’il répond au hasard à chaque question.
Calculer la probabilité qu’il réponde correctement à trois questions exactement.
Partie II
Répondre au QCM proposé ci-après.
Pour chaque question, une seule réponse est exacte. L’absence de réponse n’est pas pénalisée.
1) On dispose de 10 jetons numérotés de 1 à 10, et on en extrait simultanément trois pour former un
"paquet". Combien de "paquets" contenant au moins un jeton ayant un numéro pair peut-on ainsi former ?
Réponse 1 : 180 - Réponse 2 : 330 - Réponse 3 : 110
2) A et B sont deux événements d’un espace probabilisé tels que PA  0, 4 , PB  0, 5 et
PA  B  0, 35 . Combien vaut PA ∩ B ?
Réponse 1 : 0, 1 - Réponse 2 : 0, 25 - Réponse 3 : données insuffisantes pour répondre
3) A et B sont deux événements d’un espace probabilisé tels que PB ∩ A  1 et P A B  1 . Combien
4
6
vaut PA ?
- Réponse 3 : 1
Réponse 1 : 2 - Réponse 2 : 1
24
12
3
xi 1 2 4
4) Une variable aléatoire X a pour loi de probabilité :
. Quel est l’écart-type de X ?
pi 1 1 1
2 4 4
Réponse 1 : 3 - Réponse 2 : 3 - Réponse 3 : 2
2
2
Exercice 2 - Problème de pannes (première partie)
On appelle durée de vie d’un composant électronique la durée de fonctionnement de ce composant jusqu’à
sa première panne éventuelle.
On considère que la durée de vie d’un composant électronique est modélisée par une variable aléatoire T
définie sur un espace probabilisé , A, P et à valeurs dans    0, .
On rappelle que la fonction de répartition F de T est définie pour tout réel t par
Ft  PT ≤ t. On appelle alors loi de survie du composant la fonction D définie pour tout t de   par
Dt  1 − Ft  PT  t.
1
Première partie : cas discret.
A. Loi de survie et coefficient d’avarie.
On suppose, dans cette sous-partie A, que T est une variable aléatoire à valeurs dans ℕ ∗ qui vérifie, pour
tout entier naturel n, Dn ≠ 0.
Un composant est mis en service à l’instant 0. Pour tout entier naturel n non nul, on appelle coefficient
d’avarie à l’instant n du composant la probabilité qu’il tombe en panne à l’instant n sachant qu’il fonctionne
encore à l’instant n − 1, c’est-à-dire le nombre  n défini par l’égalité
n  P T  n / T  n − 1 .
1) Exprimer, pour tout entier naturel n non nul, la probabilité PT  n à l’aide de la fonction D. En
déduire l’égalité
Dn − 1 − Dn
.
n 
Dn − 1
2) On suppose que p est un réel de l’intervalle 0, 1 et que T suit la loi géométrique de paramètre p,
c’est-à-dire que T est à valeurs dans IN ∗ et que pour tout n de IN ∗ , PT  n  p1 − p n−1 .
a) Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire T.
b) Calculer, pour tout entier naturel n, Dn en fonction de n et p.
c) En déduire que pour tout entier naturel n non nul,  n  p.
3) Réciproquement, on suppose dans cette question qu’il existe un réel  strictement positif tel que pour
tout entier naturel n non nul,  n  .
a) Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, Dn  1 − Dn − 1.
b) En déduire l’expression de Dn en fonction de n et .
c) En déduire que T suit une loi géométrique et préciser son paramètre.
Dans la suite de cette première partie, on considère la situation suivante.
Un premier composant est mis en service à l’instant 0, et quand il tombe en panne, est remplacé
instantanément par un composant identique, qui sera remplacé à son tour à l’instant où il tombe en panne dans
les mêmes conditions, et ainsi de suite.
Pour tout entier naturel n non nul, on désigne par U n la variable aléatoire indiquant le nombre de pannes
(et donc de remplacements) survenues jusqu’à l’instant n inclus.
B. Nombre moyen de pannes successives dans un cas particulier.
On suppose, dans cette sous-partie B, que p est un réel de l’intervalle 0, 1, et que la loi de T est donnée
par PT  1  p et PT  2  1 − p.
Pour tout entier naturel n non nul, on désigne par R n la variable aléatoire définie sur , A, P, prenant la
valeur 1 si une panne survient à l’instant n et la valeur 0 sinon. L’espérance mathématique de R n est notée r n .
1) a) Calculer l’espérance mathématique ET de la variable aléatoire T.
b) Calculer r 1 et r 2 .
2) Soit n un entier naturel non nul.
a) A l’aide de la formule des probabilités complètes, établir une relation donnant PR n2  1 en
fonction de PR n1  1 et PR n  1.
b) En déduire que r n2  pr n1  1 − pr n .
3) a) Montrer que la suite r n  n≥1 vérifie, pour tout entier naturel n non nul :
r n  1  Ap − 1 n , où A est une constante réelle que l’on précisera.
2−p
b) En déduire que lim r n  1 .
ET
n→
4) Soit n un entier naturel non nul. Exprimer la variable aléatoire U n à l’aide des variables aléatoires R i ,
puis calculer l’espérance mathématique EU n  de U n et en donner un équivalent simple lorsque n tend vers
.
La deuxième partie, cas continu, fera l’objet d’un prochain devoir ...
2